X -i- y 3 ' 55 ou
(2) 67^ 4- iixy — lox^ = G.
En résolvant ces deux équations (i) et (2), on trouve
X = ib et y == 10.
Vers 1848, un élève du lycée Charlemagne, adonné celte réponse comme il suit :
Dans cette occasion Silène eut tout l'honneur. En quinze heures Bacchus acheva la besogne ; Il n'en fallut que dix au digne précepteur :
J'en conclus qu'il était de moitié plus ivrogne I
Nous avons emprunté cette question à la Nouvelle Correspondance mathématique de Catalan (tome i", page 32).
Catalan indique en note que cet énoncé lui avait été communiqué par le savant professeur et philologue Vincent.
On en trouve une version un peu différente dans les Problèmes plaisants et délectables y de Bachet.
64. Un marchand se fait adresser une caisse de bouteilles de Champagne qu'il se propose de vendre de façon à gagner 10 °/^ sur le prix d'ac}iat.
Il charge un de ses garçons du placement qui s effectue en 3 jours.
Le premier jour le garçon détourne une honieille et verse à la caisse le produit de sa vente. Le second jour il détourne le gain réalisé sur la vente d'une bouteille et verse à la caisse Vargent qui lui reste. Dans la soirée t le marchand compte ce qui lai reste de bouteilles et estime que la vente de ce reliquat doit produire 261^ francs. Enfin le troisième jour le commis détourne encore une bouteille, le gain réalisé sur la vente d*une bouteille et verse sa recelte à la caisse.
Le marchand une fois ses comptes faits, constate que le gain réalisé nest que de ofr. 60 par bouteille et que les sommes portées comme gains journaliers sont égales.
Déterminer diaprés cela le nombre des bouteilles achetées j le prix d'achat et le nombre de bouteilles vendues chaque jour.
On sait d^ailleurs que le nombre de bouteilles contenues dans la caisse est un multiple de 5.
Soient x le nombre de bouteilles prises le premier jour. y 3 \e deuxième jour.
z » le troisième jour,
et 10 p. le prix d'achat, le prix de vente est alors 1 1 . p.
Bénéfices, c'est-à-dire différences entra les Sommes versées à la caisse sommes encaissées et le prix d'achat
des bouteilles portées comme vendues-
lei*'jour(a; — i) ii,p, (x — i) ii.p — x.iop=^x.p — ii./), lea* » yXii'P — Pi y-^^-P — p —y X lop =zy.p — p. Ie3* » (z — i)ïip — P (^ — i) iip — p — z.iop=zp — 13p.
D'après l'énoncé
x,p — II. p = y-p — p = z,p — i3.p.
ou :
X — Il =y — 1=2 — 13,
d'où :
y=:x — 10 et z^zx-i-i.
3&G AioiiiATioiia mtwtuATiqvMB
Le nombro total dei boutoUles eit donc :
Le béoifiM total
= (as + y + P "^ 24p = 3/) (x — 1 1).
et le bénéfice par bouteille a pôuf expression
Spjx-^ II) __ /) (g^ u) 3x — 9 X -^ i
On a donc
d'où ;
(l) bp{x^ Il)iai3(flB*-.8).
En second lieu
Z»ltp ::=: a64 OU Z.p rt» 94
ou encore
Divisant alors membre à membre (i) par (9), on trouve
5(a?--ïi) 3 [x — i) flc— .3 a? 4- I 24 8
d*où l'équation
x^ — 4aa^ 4- 437 = o.
ar = 23 ou 19 , 3a; — 9 = 60 ou 48.
Le nombre des bouteilles est donc 60.
QUEIiQUI» QUeSTIOKfl DIViMBi 34?
Le nombre des bouteilles prises chaque jour est donc a;sss:!i3 , y s= i8 et ZCSS94* Le prix d'achat était de lo francs et le prix de vente 1 1 francs.
65. Deax tireurs A e/B, engagent une partie de tir en deux séaneei d* après les conditions suivantes ; chacun d^ eux a un nombre pair de coups à tirer fixé à l'avance ^ et chaque fois que Vun des deux touche le but, il doit recevoir de Vautre autant de francs qu'il y a d'unités dans le nombre de fois que le but a été manqué par ce même tireur.
Dans la première séance^ le iecond tireur B, a manqué le but autant de fois que le premier tireur A, Va touché dans la seconde séance, et le premier tireur a manqué le but le double du nombre de fois que le second tireur Va touché dans la seconde séance, A Ut fin de cette première séance le second tireur est redevable au premier d'une somme de 4 francs. Dans la seconde séance^ chacun d'eux touche le but le nombre de fois qui lui est le plus avantageux, et à la fin, le second tireur est rede-^ vable au premier d^une somme de 36 francs.
Déterminer d'après cela, le nombre de fois, que chacun des tirewrs a touché lebut^
On voit facilement que, dans la seconde séance, le cas le plus avantageux pour les tireurs a lieu lorsque chacun d'eux a touché le but autant de fois qu'il l'a n^nqué.
Soit alors x le nombre de fois que le premier tireur A, touche et manque le but dans cette seconde séance.
Soit également y le nombre de fois que le second tireur B touche' et manque le but dans cette même séance.
Dans la première séance, A a manqué 2 y fois le but et Ta touché 2x — iy fois, et B a manqué x fois le but et l'a touché 2y ^ x fois.
D'après l'énoncé on a les deux équations
(a» •-• aj) a.y — (ay — ») x a» 4
a 48 RÉGRÉATIOIfS BlATHélfA.TIQUE8
OU
aary — 4y* -h x' = 4 et x* — y* = 36.
Posons
