îSi « 3 a

Pour monter les ^ de l'escalier du troisième, il lui faut

= 2 secondes, et le ^ restant du même escalier exige, en secondes.

X — ? se

Or le temps total de l'ascension ainsi faite est égal aux ^ du

temps mis pour monter l'eicalier h la viteaae ordinaire»

On a donc l'équation

Cette galion devient successivement

i 5y 28 461 483 6a; — 2 sTpTr — i) 55 10 ^So"* a: *

>(vî^ (x « "11) a 9 X — 2

a^^.^ "■ \r ox — i x (5x — i)'

QUEW0B6 QvniTiotis oimiuini a5i

Il en résulte

« — a = o, d'où « = a ; ou

-^ "^ ?J~n • d'<>* « *= M^ yftleuf fnadmiMiMe.

Par suite le nombre total des marches de l'escalier est

La volée du premier contient 24 marches, La volée du second en contient ig, et enfin la volée du troisième 27.

67. Les périmètres de trois rectangles A. B, C sont proportionnels aux nombres 2, 3 et 5; les surfaces de ces mêmes rectangles sont entre elles comme les nombres 2, i et j. Un rectangle semblable àB et dont la surface est égale à la somme dès surfaces des trois rectangles contient dans la mesure de son périmètre autant de foie un centimètre qtte la somme des surfaces de KetdeB contient de fois un centimètre carré. Le périmètre d*an rectangle semblable à A, et dont la surface est égale à r excès de la somme des surfaces de B et C sur la surface de A, contient 8 centimètres de moins que le périmètre d'un carré ayant pour surface la somme des surfaces des trois rectangles.

Déterminer d'après cela les dimensions des 3 rectangles.

Soient 9/), 8p et 5p les périmètres des 3 rectangles A, B, C, et a a, Sa et 7a leurs surfaces respectives.

La somme des surfaces des 3 rectangles égale 12 a ou 4 fois la surface de B,

Donc un rectangle semblable à B et ayant pour surface 12 a aura ses côtés 2 fois plus grands que ceux de B et pour périmètre 6 p.

D'après l'énoncé

(0 êp^Ha.

a52 RÉGRÉATIONS MATHÉMATIQUES.

Le côté d'un carre dont la surface égale la somme des surfaces de A, B et C, est égal à y^i2 a ou à a y^3a. Son périmètre = 8 y/Sa.

Le rectangle égal à B -h G — A a pour surface 8 a ou 4 fois la surface de A, et puisque cette figure est semblable à A, ses côtés sont deux fois plus grands que ceux de A et son périmètre = 4p.

Donc :

4p -h 8 = 8 v/3a, ou en tenant compte de(i)

5a H- 13 = 13 y/3a d'où a = i3 ou a =^ ^5' Désignons maintenant par x eiy les côtés de A.

a; + j' = p=-^=io x = oou4 aîy = 2 a = 34 ^ = 4 ou 6.

La seconde valeur de a, a = -^ ne convient pas.

On trouve de même pour les côtés de B, i3 centimètres et 3 centimètres, et pour les côtés de G, 3i centimètres et 4 centimètres..

68. Deux équipes de rameurs A. el B prennent part à une course. Les deux canots parlent en même temps, mais A a une avance de loo mètres. Le canot A doit atteindre un but D et le canot B un second but G.

Tout d* abord les vitesses des 3 canots sont dans le rapport de 4o àSg,

mais quand la distance entre A e^ B est leide la distance qu*il reste

à A à parcourir, la vitesse de ce canot diminue dans le rapport de 79 à 8o, de telle sorte que 3 minutes après^ la distance entre les deux canots surpasse de 3 mètres la moitié de la distance qui reste à B à parcourir. A ce moment de la course, la vitesse de B gai, jusqu'ici avait été uniforme, augmente de 8 mètres par minute, tandis que celle de A diminue encore de 6 mètres par minute et au bout d^une minute, B

QUELQUES QUESTIONS DIVERSES â53

atteint le bat G. k est alors à 3 mètres du but D. Trouver la distance CD.

Représentons par ^ox la vitesse initiale de A, en mètres et par 3g a; celle de B.

Soit de même y le nombre de minutes pendant lesquelles le canot B a accompli sa course totale.

{y — 3) sera le nombre de minutes pendant lesquelles le canot A a marché sans modifier sa vitesse.

Sgxy H- 8 représente le parcours total, en mètres, du canot B ; et le parcours total du canot A aura pour expression

hox(y — 3) + 2. 22î ^- (m 6) -f- 3.

La distance entre A et B, quand A change pour la première fois sa vitesse = ce (y — 3) -H loo et la distance que A a encore à parcourir est égale à

Par conséquent (i) a; (y - 3) -h lOO = g (79a; -+- i 790: - 3 j = i (22? i J

2 minutes après la distance entre les deux canots est égaie à X (y — 3) -h 100 et la distance qu'il reste à B à parcourir est égale à 39a; -h 8.

Par suite :

(2) x(y — 2) H- loô = - (390? H- 8) -H 3.

Les équations (i) et (2) nous donnent a? = 6 et y = 6.

Le parcours de A est donc de 240 x3 + 3X79X3 — 3 = 1428 mètres.

Le parcours de B est donc de 39x36-4-8=i4i2 mètres, et la distance CD = 1428 — i4i2 -h 100 =116 mètres.

â54 iii(miAtioif§ matbémayiqvbs

69. Lêi diêtanôês AB, BC et CA de trotê villages sont respectivement égales à 24 kilomètres, i4''4oo et 28*^,800. Pour aller de kenB la route est plane mais le village C est situé sur une montagne. Deux bicyclistes P elQ se proposent d'effectuer le parcours ABC, i,e$ vitesses

du premier P sut les rampes el les pentes sont respectivement les ^ et les s de sa vitesse sur une route phne^ tes vitesses de Q eh rampe et en pente sont respectivement les ï et les tdesa vitesse en plan.*

Pour effectuer le parcours AGB, P met 3o minuies de moins que Q pour effectuer le même parcours f mais en sens opposée

Q pour effectuer le parcours dans la direction AGB met i^,48 de plus que P pour effectuer le même parcours en sens opposé*

Déterminer les vitesses respectives deP el Q sur une route plane. On demande de plus de trouver le point ou se rencontreront les deux bicyclistes en supposant qu'ils partent en même temps de A, mais dans des directions opposées.

Représentons par 1 2 a; la viio^fte en kilomètres et par heure, de P sur une route plane ; sa vitesse en rampe sera gx et sa vitesse en pente 16 x.

Représentons par 5y la vitesse en kilomètres et par heure de Q, sur un plan : sa vitesse en rampe sera 4/ et sa vitesse en pente 67.

D'après l'énoncé on a ;

- ^ !i8,8oo , i4»4oo , 24 a4 , i4.4oo , 28,800 i

gx i6x 12a? 5y 4/ 6y 9

. 28,800 i4,4oo 24 24 i4>4oo 2 8,800 48

^ ^ i6x gx 12a; hy 6/ ~ 4/ 60

L'équation (i) nous donne

iSa 61

et l'équation (2)

QVBLQVU QUISTIOHft DfVmtSS 355

d'où

X = 1 et y =z 2,

Les vitesses de P et Q, sur une route plane, sont donc de 12 kilomètres et 10 kilomètres à l'heurf «

Supposons maintenant que P parte dans la direction ÂBC et Q dans la direction ACB.

P arrive en C en — -h - • ou en 3*',6 et Q arrive au village C

I2X gx » ^ o

dans le temps -y^ ou S^y6, c'est-à-dire dans le même temps. La

rencontre a donc lieu en C.

Supposons que Q parte dans la direction AB. P arrive en C en

-*-U 3c? 3^,a. Q atteint le village B en — ou a^.A^t arriverait quC en 9 ** 10

-^ ou iS8 de plus. Q rencontre donc P entre B et C çt à une

distance 2 de G donnée par réqttàtion

3,2 4- -g = 2,4 4- -^-^^^ dou 2;==5S^.

•yo. Deux écoliers A e/ B s* exercent à la course sur une piste circulaire de I kilomètre de tour. Ils partent ensemble dans le même sens. A prend immédiatement F avance et rencontre S fois B, il continue encore pendant 12 minutes, puis râvieni sur ses pas à la même allure; il croise encore 3 fois B, puis 6 minutes après la première rencontrey il reprend $a direâiion primitive et dépassa incor^ k fois B. Ils s* arrêtent tous les deux à la lo™' rencontfe, La durée de Vépreuve a été de 3 heures H A. a pcu'couruS kilomètres déplus que B. Déterminer les vitesses respectives des deux écoliers sachant d'ailleurs que A a réduit sa vitesse de i kilomètre pendant les deux dernières heures de course et que la vitesse de B a été également réduite de 1 kilomètre pendant la dernière heure,

X = nombre de kilomètres parcourus par A pendant la première heure de course

256 RÉGRiATIONS MATHÉMATIQUES

y = nombre de kilomètres parcourus par B pendant la première heure de course.

Distance parcourue par A en 3 heures

X H- 2(x — i) = Sx — a,

Distance parcourue par B en 3 heures

aj^ -f-;)^— I = 3/ — I.

3a? — 2 — 3/4-1=8, ou X — ^^ y = 3.

A gagne un tour sur B en Â d*heure. A rencontre donc B pour

la troisième fois à la fin de la première heure.

Pendant la première heure de course la différence des vitesses est égale à 3 comme dans la première heure, et puisque A rencontre B pour la dixième fois à la fin de la troisième heure,nous en concluons que les 4 dernières rencontres se sont faites pendant la dernière heure ; la première de ces 4 rencontres .'ayant lieu exactement au commencement de la troisième heure ou à la fin de la seconde heure.

Les rencontres 4} 5, 6 ont eu lieu pendant la deuxième heure de course.

Or I a minutes après la troisième rencontre, la distance entre A et B est égale à

ï = * de kilomètre.

La quatrième rencontre aura donc lieu au bout d'un temps marqué par :

La cinquième rencontre au bout d'un temps représenté par

a; -hy — I*

La sixième rencontre demande le même temps

6 minutes après cette rencontre la distance entre A et B est

égale à ~ •

A change alors de direction et la septième rencontre a lieu au bout dun temps représenté par

Cette rencontre ayant Heu exactement à la fin de la seconde heure^

on a :

d'où

JL . g +y— I

b{x-{-y — i) ' ac-hy — i ^^ 10 20

{x -f- y)^ — 1 6(x -h j) 4- 63 = o a;-f-y = 9 0U7 x = 6ou5 y=3ou2.

71. Quatre mobiles A, B, C, D, se déplacent (Tane façon uniforme et avec des vitesses en progression géométrique sur 4 droites parallèles équidistantes dont les extrémités sont situées m F G

sur 2 autres droites parallèles. Ils partent en même temps des extrémités situées sur une même droite , et quand ils arrivent à Vautre extrémité ils reviennent et ainsi de suite d'une façon continue.

Au bout d*un certain temps , les 3 mobiles B, C, D sont en ligne droite pour la première fois; au bout d*un temps double A, B, G sont en ligne droite pour la première fois; 36 secondes après A, C, D sont en ligne droite pour la seconde fois, et V espace qui a été parcouru par B surpasse de Récréations mftthématiques» 17

a58 RÉCRÉATIONS MÀTH^MATtQlJES

i4 centimètres celai p<wcoara par A, quand ks 4 mobiles se retroavent en ligne droite.

Déterminer les vitesses des 4 mobiles.

Soient x, rx, r^x et r'x les vitesses de A, B, G, D en centimèlrés et par seconde, y la longueur commune des 4 droites.

Le fait que B, G, D, sont en ligne droite avant les â mobiles A, B, G montre que les vitesses de A, B, G et D vont en croissant, et il est visible alors que B, G et D seront en ligne droite pour la première fois quand B et G se déplacent encore dans le sens AM, tandis que D est à son premier retour.

Soit t le temps en secondes qui s*est écoulé depuis le départ jusqu'au moment où B, G, D sont en ligne droite.

Les distances des 3 mobiles aux points de départ sont respectivement

t,r,x, tr^x et ay — tr^x

et on a

tr^x — t.r.x = (ay — - t,r^x) — [tr'^x ou

(i) t.x^rij^ 4- 2r — i) = aj.

Pour trouver quand A, B, G sont en ligne droite, il suffit de changer x en -, il vient alors

(2) 2t.x{r^ H- ar — i) = ay

De ces deux équations on déduit r;=:â, c'est-à-dire que les vitesses de A, B, Gi D sont respectivement :

Xt ao;, iix et 8a;.

Les vitesses de A, G, D étant proportionnelles h i, 4, et 8, on voit sans difficulté que ces 3 mobiles se trouvent une seconde fois en ligne droite quand G est sur son premier retour de F et que D se dirige pour la seconde fois vers G.

QUELQUES QUESTIOUS DIVERSES 269

Soit f| lô temps en secondes qui s'est écoulé depuis le départ jusqu'à cette position des 3 mobiles Â, C, D. Les distances de ces 3 mobiles aux points de départ sont :

i^œ 3y — ii^tix et li.Sx — 2y, On a :

(^y — tiM) ^t^x^2 |(«i.8t — îxy) ^ (aj — i^./ix)\ d'où

Mais

et (i) donne

donc

i sa ^

loy 2y

^ ' 29a? 'JX

Enfin, d'après les rapports des vitesses A, B, G et D, on voit que ces 4 mobiles seront de nouveau en ligne droite quand A aura parcouru -Z . Par suite

et les vitesses cherchées sont respectivement

jcm^ 2°™, 4^™ et 8°'".

72. t/n instituteur dispose en cercle un certain nombre d'élèves et leur distribue des billes en marchant en sens inverse des aiquilles d'une-. .

a60 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

montre et de façon que chaque enfant reçoive une bille de plus que son voisin de gauche. Revenu à V élève servi le premier et qui, par conséquent, possède le plus petit nombre de billes, il invite le voisin de gauche qui possède le plus grand nombre de billes, à en donner i à son voisin de gauche, celui-ci à donner à son voisin de gauche 2 billes, ce dernier à remettre à son voisin de gauche 3 billes et ainsi de suite. Cette nouvelle distribution qui se fait dans le sens des aiguilles d*une montre, se continue aussi longtemps que possible. Au moment ou V opération ne peut plus être continuée dans les conditions indiquées, il se trouve que les nombres des billes possédées par le premier et le dernier élèves sont tels que Vun de ces nombres vaut lifois Vautre; trouver diaprés cela le nombre des élèves, le nombre des billes remis au premier enfant et le nombre total des billes.

Soit X le nombre des enfants.

Si y représente le nombre de billes remis au premier enfant, son voisin de gauche ou le x""* enfant en recevra

se -hy — I.

D*après les conditions du problème, le x"® enfant donne i bille au [x — !)"•, celui-ci en donne 2 au (a? — 2)°®, et ainsi de suite, de sorte qu'après un tour complet, il y a x billes en circulation et chaque enfant se trouve avoir i bille de moins.

Au bout de y tours, le premier enfant n'a plus rien, mais il vient de passer yx billes au x"' enfant, le deuxième enfant n'a plus qu'une bille, mais il vient d'en passer xy — i au premier, et ainsi de suite.

En continuant le mouvement de distribution, le x""* enfant donne (xy 4-1) billes au (x — i)"®, il lui en reste donc

(y -h X — i) — y -h x.y — (pcy -i- i) = x — 2.

Le [x — i)"® enfant donne [x.y -t- 2) billes au [x — a)"**, et ainsi de suite jusqu'au second qui en reçoit x.y -i- x — 2 et en passe x.y 4- a; — i au premier.

Or, celui-ci n*a plus rien, il ne peut donc en passer xy -f- x à son voisin et le jeu cesse.

On a donc alors, ou

x,y -ha* — I =r [\{x — 2).

La première relation ne conduit à aucune solution entière. De la seconde on déduit

d'où

a;==7, alors

Il y avait donc 7 enfants, le premier a reçu 2 billes, le dernier 8 et l'instituteur en a distribué 35.

73. Un groupe de 5oooo électeurs doit nommer un membre d'une Assemblée. U élection est à deux degrés : ces 5oooo votants sont divisés en sections comprenant chacune le même nombre d* électeurs; cJiaque section désigne un de ses membres et cest le vote des membres ainsi choisis qui décide du choix du mandataire chargé de représenter les 5oooo votants.

Deux candidats X et B sont en présence; dans les sections qui désignent des membres favorables à A., la majorité représente le double de la minorité; tandis que dans les sections qui désignent des membres

favorables à B, la minorité ne forme que le ~ de V ensemble.

Il y a ballottage. Un troisième candidat G surgit^ il est accepté et élu par un nombre de votes surpassant de 3 celui attribué à K et de i4 celui attribué à B,

362 miCMikTlOmê MATHfillAnQIIBI

Si C ne s'était peu présenté A« aurait été élu, mcds sa majorité n* aurait surpassé que de 19 le nombre actuel des votes attribués à G» Si les 5oooo électeurs avaient voté directement pour A et B, B aurait eu une majorité de 6 000 voix.

Trouver le nombre des sections?

Soit X le nombre des sections = le nombre des électeurs appelés à voter directement pour A et B.

= le nombre des votants dans cbaque section.

Soit y le nombre des sections favorables à A, le nombre des sections en faveur de B sera x -^ y.

Le nombre des votants dans les sections favorables à A = X y

et d'après Ténoncé, ces sections comptent

^^ looooo . A * y X 5oooo . „

y X — ô votes pour A et ''- q votes pour B.

Dans les sections favorables à B, le nombre des votants

/ V 5oooo

et il y a dans ces sections

votes pour B. et

votes pour A.

Soit enfin z le nombre des électeurs directs ayant voté pour C. On a

z 4- (2: — 3) -h (z — l4) = ÛC, y — (ac — J') =r= « — 19

yX— 5^ H-(aj^y)-^=:3^X-3^-h(aî-y)^^-^^ 6000

On en dé4uit

« «s= 100, j' = 6ô et 2 r= 89.

74. Vn régiment marche à la cadence de lao pas par minute; on demande quek sont les soldats qui poseront le pied droit sur lé sol en même temps que la musique.

Même problème en changeant la cadence,

(Lucien Léyt. — Journat de Mathématiques élémentaires, 1894* p- a 10) (^),

Suivant une observation de Catalan, il est nécessaire de spécifier la donnée numérique relative à la vitesse du son. En admettant» pour cette vitesse, 33o mètres par seconde, on voit que si la troupe formée en colonne, musique en tête, suit une route rectiligne, à la cadence de lao pas par minute, c'est-à-dire d*un double pas par seconde, les hommes — marchant ou simplement marquant le pas — poseront le pied droit, par exemple, à chaque seconde, et le pied

(*) Nous reproduisons la solution donnée par M. H. Brocaiid avec la note suivante du journal.

En nous adressant cette solution, M. Baogard nous informe que luimême a proposé cette question à des élèves du cours de physique dès 1877, puis en i885 et en 1888, etqu*il a fait mention de la même observation dans la deuxième édition de son cours lithographie à Versailles en 1879*80 (§ 58).^

Voici comment l'énoncé est formulé ;

« Dans une colonne de troupes en marche à la cadence de lao pas par minute, à quelles distances sont répartis les hommes se trouvant au même

pas que la musique. On prendra ^-^ — pour la vitesse du son. » (10 janvier i885).

Au § 8 de mon cours lithographie de i88oj je disais ceci : « Dans une colonne de troupes marchant à la cadence de la musique, les hommes qui

264 RiCRéATI03rS MATHÊHATIQUES

gauche une-decû seconde après. A la cadence désignée ci-dessus, les hommes placés à des distances représentées par des multiples entiers de 33o mètres seront, pour un ohserrateur de Tensemble, au même pas que la musique. Si celle-ci vient à cesser de jouer» les hommes placés aux distances de 33o mètres, 660 mètres..., feront encore un, deux..., doubles pas. Le mouvement démarche — exécuté ou simulé — présentera donc l'aspect de pendules identiques échelonnés, battant la même durée, à la même phase de leur oscillation à tous les intervalles de 33o mètres et arrivant progressivement à leur point le plus bas.

La physionomie de ce mouvement mériterait, croyons-nous d'être étudiée au kînétographe.

Les développements ci -dessus exposés font voir que la longueur du pas, si elle était indiquée, serait une donnée étrangère à la question. La véritable donnée utile n'est donc point la longueur du pas, mais sa vitesse.

Un changement de cadence revient donc à dire que les hommes feraient le double pas en N secondes. Mais, en N secondes, le son parcourt 33o N mètres. Les hommes placés aux distances multiples de 33o N seront donc au même pas que les musiciens.

occupent los cxlrémilés de la colonne ne se trouvent point au même pas. C'est ce que l'on peut aisément observer lorsque la colonne a une centaine de m6tres de longueur ».

Le i3 décembre 1888, j'ai donné aux élèves la question suivante (je copie textuellement) :

« Dans une colonne de troupes en marche, à la cadence de 120 pas par minute, à quelles distances se trouvent : i® les hommes qui posent le pied gauche au môme instant que les musiciens; 2° ceux qui posent le pied gauche pondant que les musiciens posent le pied droit P

« Quelle phjfsionomie doit présenter la cadence du pas sur la profondeur do la colonne P

(( On admettra pour vitesse du son i kilomètre par 3 secondes et pour longueur du pas o",G6. »

Récemment, d'ailleurs, le môme problème a été proposé dans les Tablettes du Chercheur (i«' mars 1894)*

Afin de rester dans les limites de la pratique, il conviendra de réduire à quelques unités seulement les modiEcations à proposer pour la cadence.

Soit, pour fixer les idées, une vitesse de i3o pas par minute.

Le double pas est alors de o",923 de durée. Par conséquent les hommes posant le même pied que les musiciens seront à la distance que le son franchira en o%9a4> c^est-à-dire à 3o4™>59 et aux multiples entiers de cette distance.

Remarque, — Ce problème peut s'énoncer d'une autre manière :

A quelle distance se trouvent les auditeurs d'un orchestre jouant sur un rythme uniforme, pour que les sons de la musique semblent correspondre aux mesures marquées par le chef d'orchestre ?

En réalité l'occasion, est rare de pouvoir observer avec facilité sur une colonne suffisamment longue de troupes, le serpentement dont il vient d'être parlé ci-dessus, mais il est assez fréquemment donné de constater que, vu à certaines distances, un groupe de musiciens en marche est à un pas différent de celui qui correspond aux sons qui parviennent à l'oreille du spectateur, pour ensuite, à d'autres distances, se retrouver au même pas.

76. Disposer les neuf premiers nombres entiers aux sommets et sur les côtés dun triangle, de telle sorte que la somme des carrés des 4 nombres placés sur un côté soit constante ^ quelque soit le côté considéré.

En représentant par a, 6, c, 3, e, /, g, h et i les neuf premiers nombres disposés sur le périmètre d'un triangle et aux ^ sommets, de manière à remplir les conditions de l'énoncé, on a, par hypothèse :

«a -1- 62 -h c2 4- d* = s d^-he^-hp-hg^ = S

^8 -f Aï | 1*2 4- a2 = S

a64 HÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

teh.™e.pUcé. ide. di,un<» T.pré.e»té« p^ d- »»^ P' e.Uer.d. 33o ■„«» «,o„l, pour u„ ob,e™l.u, 1=' ™ »*' même p.. ,u. 1. mu.ique. Si celle-ci vient » ""' ''"J°"";„ hommes pLcfa .u. di.tonce. de 33o mètre,. 660 ■""'•'•■■ '"° encore u„,d,u<....do„ble,p... Le moovem.atdem.-ch-»^'-

ou .imolé - pré.enler. donc l'aspect de P'»''"'" /?°'''°' "i?:' lonné., belUol la mémo durée, i 1. »«"• pb"« ■>» '""' .'"' „ à ton, le. intecUe. de 33o mitre, et .ra..nl progr«».vcoe,.

leur point le plus bas. , ., „„o n

L. pl,,,ionomie de ce mouvement mériterait. ero,on,-n d'être étudiée au kinétographe. . ^

Le, développement, ci-dcuui cipo* font voir que 6 ^

du pa,, ,i elle él.il indiquée. ..r.it une donnée «""6«" ' qoe,tion. L. véritable donnée utile u'ot donc po.nt la longue» pas, mais sa vitesse. . , v^,„

Un changement de cadence revient donc » d,r. que to Mn feraient 1. double p., en N .econde,. Mais. .nN •«»»''»■ parcourt 33o N mèlr«,. Le, homme, placé. .»» d..unce. mun de 33o K ■■ ~'~- "•• """ '» »"■«'•»■•

occupent 1 ce que i'c

mètres àe Le i3 d

textuelle m I

gauche au

gauciie pen

» Quelle

do la colon n

longueur du

Rt^cemmei;

du Chercheur

liliittfBqui) nu

iL tous ; sont,

RéCRÉATIONS M/kTHéMATIQVES

comme la somme S est divisible par 3, il en résulte, puisque a^ = 4 et d^ = 25, que Tun des carrés 6*, c* est de la forme multiple de 3 + I, et Tautre de la forme multiple de 3.

La même observation s'applique aux carrés e*,/* et h^, i*.

De plus, la somme 6^ + c^ étant impaire, Pun de ces deux nombres est pair et l'autre impair. On ne peut donc avoir que :

avec

6 = I ou 7, 3 ou 9, 4, 6

c = 6, 4. 3 ou 9, 7 ou I

et Texamen de ces diverses hypothèses nous montre que l'on a :

6 = 9 avec c = 4 ou 6 = 4 avec = 9

Les mêmes essais faits pour e', f^ avec les nombres qui restent I, 3, 6 et 7, nous donnent

Enfin

e = i avec / = 6 e = 6 avec / = i •

avec

i = 7 avec h = S.

La question admet donc la solution indiquée par la figure ci-contre.

Il faut remarquer que Ton a, en même temps

a -i- b -^ c -h d = d -h e -hf -h g

= g -]- h -hi-ha = 20.

On peut considérer comme une généralisation de la question qui précède la récréation suivante exposée par Laquière au Congrès de V Association française de Rouen (1880).

Placer un certain nombre des entiers naturels consécutifs aux points éC intersection d'une série de circonférences concentriques avec une série de diamètres, ainsi quau centre, de telle sorte que la somme des termes contenus soit sur une même circonférence, soit sur un même diamètre, reste toujours la même.

Soit n le nombre des couronnes ; m celui des diamètres, z le nombre central, £ la somme totale des termes, s la somme constante des termes d'une couronne ou d*un diamètre ; le nombre des termes sera : amn + i, et Ton aura :

relations qui déterminent s et z dans chaque cas particulier défini par les valeurs de m et de /i.

On en tire :

Le nombre m des diamètres doit donc être toujours supérieur au nombre n des couronnes si la série des entiers commence à l'unité, et toutefois exceptionnellement en nombre égal si Ton fait entrer le zéro» placé dès lors au centre, dans la série des nombres entiers naturels.

Les expressions de z et de s en fonction de m et n sont :

S s z (am/i -f- i) (m./i + i)

m/i-l-m — n m m — n m/i-hm — n

Il en résulte, en dehors de la solution z = o, que pour que le problème admette une solution, chacun des deux produits :

(am.n -h i) (m.n H- i)

(am.fi -h i) (m./i -h i)('w — n)

doit être divisible par :

RÉCr£aTIOIIS MATBfiMâTIQUBS

double condition qui détermine les règles de possibilité du problème

sur lesquelles nous reviendrons tout à l'heure. Premier cas. — mrs= n.

Il en résulte 2 = 0. Le «éro étant placé ati centre, on obtiendra une solution immédiate et évidente en jumelant deux à deux les nombres à égale distance des extrêmes dans la progression arithmétique des am./i nombres entiers de i à 2m. n^ tels que ^ et am.n — k^ et plaçant indifféremment à une case libre quelconque l'un des nombres de chaque groupe binôme et à la case diamétralement symétrique son complément.

Fig. II.

Il j a donc :

,mn

(mn) 1

solutions du problème.

2^ cas, — m = M 4- i..

Il vient

Le nombre central est alors le plus fort de tous, et l'on obtiendra comme ci-dessus 2"'" {mn) ! solutions en plaçant successivement dans un ordre absolument arbitraire tous les groupes de termes dont la somme est égale au nombre central, les deux termes du groupe occupant les deux cases symétriques par rapport au centre.

Le nombre central z joue dans chaque somme diamétrale le rôle des deux nombres placés aux points d^ntersection de ce diamètre avec chacune des circonférences.

Cette observation nous amène à remarquer que dans toute solu*

tion la moyenne des sommes des nombres symétriquement placés sera toujours forcément égale au nombre central.

Soit m = n -I- fJt et ^ la moyenne des sommes formées dans chaque groupe de nombres symétriques deux à deux par rapport au centre,

(d'où g = j il faudra que le nombre central z remplace

dans chaque diamètre fx doubles intersections diamétrales pour que s soit la même dans les diamètres et les couronnes ; donc

Conséquemment :

(m/i -+- i) 2 = (iB

ou bien, d'après les équations de condition :

m — n = fJL ; donc jji = i ,

Conclusion. — Le problème n*est possible qu'avec un nombre m de diamètres égal & celui des couronnes, ou supérieur d'une unité seulement à ce dernier nombre n. Le chiffre central sera dans le premier cas zéro, dans le second le plus fort des nombres de la série.

On aura ainsi :

n = nombre des couronnes, m = n + I nombre des diamètres»

« = 2/1^ H- 2rt -H I = ft^ H- w^ nombre central.

S = [/i(rH- i)-h i]2: = 2 (ai* -+- n -h 1)* — («2 -H n -h i),

les nombres de i à m. n étant indifféremment distribués sous la seufe tx)ndition, après avoir plaeé arbitrairement l'un d'eui, de mettre le complémentaire à z sur la case symétrique.

Dans ces conditions les valeurs de s et z sont toujours entières, ce sont celles qu'entraîne la double équation de possibilité signalée plus haut, c'est-à-dire que :

(2/n.M + i) (m,n -H i) m et {2m.n H- i) (m.n -h i)./i

soient séparément divisibles par :

mM -h m — n = n' H- Hfx 4- fA.

En effectuant la division par le dénominateur des deux facteurs communs des numérateurs :

(an^ H- an.fJL -h i) (n* -h n.fx -+- i)

on voit que cette divisibilité est ramenée à celle de :

(2fx - i) (fi — i) ,x . (2fi — i) (|i — i) m.

(3JX— i)(jx--l)/l

par

qui est vérifiée par

jx = o, fx = i, |x= I.

76. Combien faudrait-il de caractères pour imprimer une table de multiplication étendue jusqu à N X N ? en particulier jusqu à (10^ — i) X (loî'— i)?C)

Soit n le nombre des chiflres du carré N^ Considérons les nombres

A = 10»»-* — I ; B = 10"-* — I ; C == io"~^; .... 999 ; 99; 9,

ainsi que les plus grands carrés contenus dans ces nombres

(1) Cette question a été proposée sous le n° i83, par H. Dbllag, dans V Intermédiaire des mathématiciens (t. I, p. 96).

Elle est également posée, pour N = 100* dans les Tablettes du Chercheur tous le n® 999 (1893, p. 192) et résolue dans le même recueil (iSgS,

QUKLQUE8 QUESTIONS DIVERSES 2 78

désignons par 8 la somme de ces carrés

et appelons P,, le nombre demandé des caractères d'imprimerie nécessaires pour imprimer une table de multiplication étendue jusqu'à N X N ; on trouve la formule suivante où la lettre E indique, comme d'babitude, la partie entière de la fraction devant laquelle

elle est écrite.

On démontre cette formule en constatant qu'elle est exacte pour les faibles valeurs de N et en faisant voir qu'elle est vraie pour N si elle l'est pour N — i . Pour ce dernier objet il y a deux cas à distinguer.

I** (N — i)* et N* ont le même nombre de chiffres.

Si Ton écrit les deux formules pour N et N — i , en observant qu'alors n est le même, ainsi que A, B, G ... et, par suite, la somme 8j on a

K=a+i ^ K=6-fi ^ ^

p. 233), par une analyse assez ingénieuse. L^auteur de la solution qui signe Un vieil X, trouve comme résultat 36296.

La solution que nous donnons est due à G. Moreau [Intermédiaire des Mathématiciens, t. II, 1896, p. 34i-343).