RiCRÉATIOHS IIATBÉMITÏQOT

d'où, en faisant la différence.

a» (N ,)« a un chiffre de moins que N». c'est-à-dire n — i. Le» formules donnant p, et P, , s'écriront ;

P. = nN» — »

Dans la première de ce» formules, le pyemiçr twrae de h quantité entre crochets se réduit à E (^). car il est clair que, dans <S6

cas, a est égal à N — i ; dans la seconde formule, le nombre A ne doit évidemment pas intervenir ni, par conséquent, le carré flS == (N — i)« qui alors doit être retranché de la somme s. En faisant la différence de ces valeurs de P„ et de P, j. on trouve,

comme dans Tautre cas, P,-P,.=.(aN-i)-a[E(§) + E(g) + E@+...].

Cela posé si Ton se reporte par la p^î^nsée aux tables de multiplication étendues jusqu'à (N — i) (N — i) et jusqu'à N X N, il est visible que la différence entre ces deux tables est constituée par les nombres qui ae trouvent dans la dernière rangée et dans la dernière colonne de la table relative à N et que h différence entre ?> et

QUBLQUE8 QUS8TIOTI8 PIYBRSES Wjb

Pjj , est égale au nombre total de» chiffre» de ces aN — i

nombres ; or, le plus grand d'entre eux N*, a n chiffres et les autres, qui sont égaux deux à deux, sont les N — i premiers multiples de N : on peut donc écrira

P, — P^ , = n (2N — i) — 3 (Ri -+- 2R3 -+- 3R3 H- ..,)

Rj représentant combien il y a de multiples de N qui ont i chiffres de moins que N^. Mais, d'après la définition des nombres A, B, G... on reconnait facilement que Ton a

R.==eQ-.e(jj);...

il vient alors

['=(â)-''©]-<-'[^©-MN)]

ou, en réduisant,

PH-P--. = "(='N-i)-2[E(^) + E(g) + E(§) + ,..].

expression identique & celle qui a été trouvée précédemment au moyen de la formule que Ton se proposait de démontrer et qui est ainsi étiiblie d'une manière générale.

Remarque- ■»— Pour le cas particulier de N = 10, on a :

Pj,j = 3.100 — 90

rK = ïo K=io "1

néCRÉATIONS MATHEMATIQUES

Pour N = 100, on trouve

P,oo = 5.1002 — (99« H- 3i« + if 4- 32)

K==ioo K= 100

K= 100 K=ioo

K=ioo

K=io