QUELQUES QUESTIONS D'ARITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE
Au début du chapitre premier nous faisions allusion à l'intérêt tout spécial, à l'attrait, que les mathématiques trouvent dans l'étude de certains théorèmes d'arithmétique dont voici un exemple en passant :
Tout nombre premier de la forme 4n h- i, peat, ainsi que ses puissances, être décomposé en une somme de deux carrés (*) et la décomposition de la première et de la seconde puissances ne peut se faire que d*une seule manière.
Ainsi
i3 = 3« -h aS i3« = la^» + 5^, iS^ = 46^ -h 9» ;
de même
et ainsi de suite.
Les propositions de cette nature sont traitées dans les ouvrages spéciaux sur la théorie des nombres et par conséquent, sortent de notre programme, mais il existe une ou deux questions d'arithmc-
(*) FBRMA.T. — Diophante, Toulouse, 1670, livre III, prop. 22, p. 127 ; ou Précis de Brassinne, Paris, i853, p. 65.
QUELQUES QUESTIONS d'aRITUMÉTIQUE SUPÉRIEUHE 277
tique supérieure présentant encore quelques points obscurs et dont nous croyons devoir dire quelques mots.
Nombres premiers- — La première de ces questions est relative à la possibilité de déterminer rapidement si un nombre donné est premier ou non. Euler et Gauss attachaient une grande importance à ce problème, mais ils échouèrent dans les tentatives faites pour trouver une méthode d'essai conduisant à un résultat absolument certain. 11 parai trait cependant que Fermât possédait des procédés lui permettant d'assurer, d'après sa composition, si un nombre donné (ou tout au moins un nombre appartenant à de certaines formes déterminées), était premier ou non. C'est ainsi que dans une réponse à Mersenne qui lui demandait s'il pouvait lui dire, sans y consacrer trop de temps, si le nombre 100895598 169 était premier, Fermât écrivait, le 7 avril i643, que ce nombre était le produit des deux suivants 898428, ii2 3o3, tous les deux premiers. Nous avons signalé dans une autre publication une méthode permettant d'obtenir ce résultat, et M. F. W. Laurence en a fait connaître une autre qui peut avoir été celle employée par Fermât dans le cas particulier visé.
Nombres de Mersenne (*). — Une autre preuve venant à l'appui de celte assertion que Fermât (ou quelques-uns de ses contemporains) disposait d'une méthode lui permettant de reconnaître si certains nombres étaient premiers ou non, résulte d'un passage des Cogitata Physico-mathematica de Mersenne qui furent publiés en 1644. On lit dans la préface de cet ouvrage que le nombre 2? — i est premier pour les seules valeurs suivantes de p non supérieures à 257 : I, 2, 3, 5, 7, i3, 17, 19, 21, 3i, 67, 127, et 257. Lenombre67 a probablement été écrit par erreur pour 61. Avec cette correction, la proposition paraît être exacte et elle a été vérifiée pour toutes les valeurs de p k l'exception de dix-neuf qui sont : 71, loi, io3,
(*) Pour les références voir le chapitre.
S7S BiCRiATlO^S HATHiMAtlQinBS
107, 109. 137, 189, 149, î57, i63, 167, 178, i8î, 198, 199, 337, 339, 341, 357. Daprès Mersenne, parmi tontes ces valeurs, p = 367 donne seule pour 3^ — 1 un nombre premier ; pour les autres 2^ — i est un nombre compose.
Les démonstrations pour les cas p = 89, et p =^ 137 n^ont pas encore été publiées. Les facteurs de 3^ — 1 quand p = 89 ne sont même pas connus et leur recherche présenterait peut être de l'intérêt à ceux qui s'occupent de la théorie des nombres.
Le résultat auquel est arrivé Mersenné né peut s'obtenir d^utie façon empirique et il est inadmissible qu'il ait étudié chaque cas efî particulier d*où cette conclusion que celui qui le ptetniéf a mis en évidence cette propriété, que ce soit Mersenné où un autre, devait connaître certains théorèmeâ d^arilhttiêtiquè àupêrieufe qui n'ont pas été retrouvés jusqu'ici.
Théoi'ème de G^oldbach. -^ Geptoblèmeifitéresâàtltd'&rlthmétique supérieure s'énonce ainsi î
Tout nombre pair 3rt est la somme de deux nombres premiers.
On trouve cette question posée pâf Wafing dans Ses Meditaiiortes analyticœ (*). Elle est mentionnée pour la première foià, croyôns-
(') D'après Terquem» ce théorème empirique généralement attribué à GoLDDAGii, semblerait dÀ à Waring. Voici en efifet, ce quHl écrivait danb Ion Bulletin de Bibliographie, d'Histoire et de Bidgraiphiô tnathéinatlques, 1H59, p. a.
On lit dans la 3* édition (1783) des Mediiatiwei atxafytUœ, hii haut de Ik pago 379 ;
Oitmis par numeras constat a duobus primis nameris et omnis impar numerus vd est primai, numerus^ vel constat h tribusprimis nameris.
Il ofet évident que si un nombre pair est la somme de deut nombres premiorif tout nombre impair, premier ou non, est la somme de trois nombres premiers.
Ain»!, ce théorème, d*un énoncé si simple et dont la démonstration est bien plus difilcilo que colle du théorème de FerUat, appartient à WARinc et non à CiOLonAcit ; je l'ai dit par erreur {Nouvelles Annales, t. XIV, p. 1 1 1) d*aprèa la Correspondance mathématique et phjùque (Fuss).
QUELQUES QUESTIONS d'aRITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE 379
nous dans une lettre adressée à Goldbach, par Euler, le 3o juin 174^* où l'on voit que Qoldbach était Fauteur du théorème. Cette lettre a été imprimée par Fuss dans sa Correspondance malhémûtique et physique f 1. 1, p. i35 (Saint-Pétersbourg, i843).
Euler écrit qu'il considère le théorème comme tout à fait certain quoiqu'il ne sache pas le démontrer. Dans les Nouvelleë Annales dé mathématiques, p. 356 ; 1879^ Lionnet a publié un article très intéressant sur la question^ il arrive à cette conclusion que la proposition est très probablemeilt faussé pour de grands nombreSé
Georges Gantor a envoyé au Congrès de Caen (Association fran* çaise pour l'avancement deâ sciences* i8g4* p. 1 17 à i34) un tableau où se trouvent, pour chaque nombre pair inférieur à i ooO| touteê les décompositions de ce nombre en deux nombres premiers. Il fait cette remarque empirique que si Ton appelle N,n Is nombre de décompositions en une somme de deux nombres premiers dont an est sus* ceptible, on a pour toutes les valeurs de p, à partir de p =: 4 et y compris p 33 4»
c'est-à-dire que des maxima relatifs de N ont lieu de 3 en 3 pour les multiples de 6 dans toute Tétendue de la table»
Aubry a continué le travail de Cantor et a fait une table de décomposition des nombres pairs de 1003 à a 000; de son examen il résulte que dans ces limites , le théorème empirique de Goldbach se vériQe ainsi que les relations trouvées par Cantor.
Le travail le plus récent et le plus complet sur la loi empirique de Goldbach est celui de M. Robert Haussner (professeur à l'école supérieure technique de Karlsruhe), publié sous le titre Tafeln fur dos Goldbach*sche Gesetz (Halle, 1897).
Les tables dressées par M. Haussner vérifient le théorème jusqu'à
an = 5ooo
En résumé, on ne connaît pas de nombre pair ^ a qui ne soit que d'une seule manière la somme de deux nombres premiers, et
38o RéCRÉATIOllS BiÀTHEMATIQUES
l'on ne peut afBrmer avec certitude qu'il en existe un, à moins» sans doute, qu'il ne soit très grand, ce qui retardera d'autant la vérification désirée (*).
Théorème de Lagrange. (') — Un autre théorème qui, autant qu'il nous a été possible de le vérifier est encore à démontrer est le suivant :
Tout nombre premier de la forme lin — i est la somme d'an nombre premier de la forme 4^^ + i e( du doable d^an second nombre premier ayant la même forme 4« -f- i. »
En faisant connaître cette proposition Lagrange ajoutait qu'il ne l'avait obtenue que par induction.
Des nombres parfaits- — Il existe une classe de nombres qui jouissent d'une propriété singulière et curieuse et auxquels on a donné le nom de nombres parfaits.
On appelle ainsi tout nombre égal à la somme de ses diviseurs, abstraction faite du nombre lui-même.
6 est un nombre parfait, car ses diviseurs sont i, a et 3 dont la somme donne bien 6.
Le nombre 28 jouit de la même propriété, car ses diviseurs sont I, a, 4f 7 et i4dont la somme est aS.
('] Gomme références à consulter au sujet du théorème de Goldbagh, nous citerons une note intitulée : une polémique entre Goldbach et Ber- NOUiLU (Daniel) dans le Bulletin du P. Boneompagni, i885.
Des articles parus dans la Nouvelle Correspondance mathématique, 1879, p. 3o4 et i88o, p. 487.
V Intermédiaire des Mathématiciens, T. l. 1894, p. aoa; 1. 11, 1896, p. 179; t. III, 1896, p. 75; t. IV, 1897, p. 60; t. IX, 1902, p. 2^6; t. X, 1903, pp. 61, 166-168 et p. 283; t. XI, 1904, p. 83; t. XII, 1906, pp. 107-109, et p. i3i. Consulter aussi un article de M. Haussier : Ueber dos Goldbasch^sche Gesetz dans le volume V du Jahresbericht der Deatschen Mathe^ matiker-Vercinigang (Leipzig).
(*) Nouveaux Mémoires de r Académie royale des Sciences, Berlin, 1776, p. 356.
QUELQUES QUESTIONS d' ARITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE 28 1
Un nombre premier ne saurait être parfait, car il n'a pas d'autres diviseurs que lui-même et Tunité.
Une puissance quelconque (Tun nombre premier ne peut être un nombre parfait.
Considérons, par exemple, le nombre premier a élevé à la m"* puissance ; on ne peut avoir
puisque les deux nombres a"* et a 4- a^ -f- a' 4- -h a*"~* élant
divisibles par a, leur dilTérence i devrait l'être aussi. On sait d'ailleurs que l'expression
est égale à , quantité évidemment plus petite que a"*.
Forme des nombres parfaits. — Puisqu'aucun nombre parfait ne peut être de la forme a ou a"*, cherchons si un pareil nombre peut avoir la forme a*"6, a et 6 désignant des nombres premiers.
Le nombre a^b devant être égal à la somme de ses diviseurs, abstraction faite du nombre a^b lui-même, on a
ou
[a^-{- a» 4- ... + a*") 6 ou encore
d'où Ton tire
h — g^ 4- (i -h g -4- g' -h 4-fl^~0 g'^ + Q
en désignant par Q la quantité entre parenthèses.
282 AÉGRiAtlONS MATHÉMAtlQnES
Or, 6 doit être entier et il résulte que le dénomitiateur doit être égal à I, car autrement le reste de la division de a*" -f- Qpar d** — Q
serait -h 2Q ou 2(1 -+- a 4-a* -f- a' -h H- a*"~*). et d étant un
nombre entier positif, ce reste ne se réduirait pas à zéro.
On doit donc avoir :
ou
a — I ou encore
Le nombre a étant plus grand que i , on ne peut admettre que la valeur a = 2, qui donne pour 6
On a, par suite
rt«».6 ii= a*"(i 4- 2 4- 2* 4- 2* 4- 4- 2**)
et pourvu que les nombres a et 6 soient premiers, cette valeur de a"*.6 jouit de la propriété énoncée.
Ainsi, on aura une suite de nombres parfaits en faisant la somme des puissances successives de 2, 2^, 2^^ 2*, 2' .... jusqu'à ce qu'on obtienne, comme somme^ un nombre premier, et en multipliant cette somme par la dernière puissance de 2 à laquelle on s'est arrêté, le produit satisfait à la question.
Si Ton observe que
on en déduit en désignant par N, un nombre parfait de la forme a"*. 6
QUELQUES QUÈâtlOKS b' ARITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE ^83
D'où la règle suivante plus Tacile & appliquer que la précédente.
On obtient une suite de nombres parfaits en formant la suite des
puissances de a, c'est-à-dire en écrivant la progression géométrique
et en prenant tous les termes qui» diminués de l'unité, sont des nombres premiers.
Ceux à qui convient cette propriété sont ;
4| 8, S2, 128, 8ig2, ..., etc.
car ces nombres^ diminués de l'unité» donnent les nombres premiers
En multipliant chacun de ces nombres par le terme de la progression géométrique qui précède celui dont il dérive, par exemple
3 par 2, 7 par 4, 3i par 16, etc., on détermine les nombres parfaits
6, 28) 496, 8128, ....« êtC;
La première règle que nous avons donnée est due à Euclide, qui renonçait ainsi (*) :
c. -Si, à partir de Vumié^ tant de nombres quon voudra sont sucéessivement proportionnels , en raison double, jusquà ce que leur somme soit un nombre premier, et si, avec cette somme multipliée par le dernier, on forme un nombre, coproduit sera un nombre par fait ».
Cette règle qui ne donne que des nombres pairs est tout ce qu' Euclide a laissé sur les nombres dits parfaits.
Il en est fait aussi mention dans Théon de Smyrne qui leur consacre le XXXII* chapitre de son livre sur Y Arithmétique (*J.
(^) Livre IX, proposition 36. Voir édition Peyrard, Paris, Pàtrîs; 1816,
4 vol. in-4°, t. II, p. 107.
(*) Voir édition d'Ismael Bouilkud : Lutetiœ Paiisiorum, Ludôyicus ob HEUQUEviiîLB, iû-4* ; i644«
284 RÉGRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Presque toutes les Arithmétiques qui ont vu le jour avant la fin du XVI® siècle font mention plus ou moins longuement des nombres parfaits. Presque toutes commettent des erreurs, faute de savoir reconnaître si un nombre (5n par exemple) est premier ou non.
La question des nombres parfaits a préoccupé un grand nombre de mathématiciens, et plusieurs en ont cherché à*impairs (*).
Descartes écrivait à Frénicle, le 20 décembre i638 : « ... et je ne « sais pourquoi vous jugez qu'on ne saurait parvenir par ce moyen « à Tinvention d'un vrai nombre parfait; que si vous en avez (( une démonstration, j'avoue qu'elle est au-delà de ma portée et « que je l'estime extrêmement; car, pour moi, je juge qu'on peut <t trouver des nombres impairs véritablement parfaits, n
Quoiqu'il en soit la question de savoir s'il existe ou non des nombres parfaits impaire n'a pas encore été résolue scientifiquement, et on n'en connaît pas d'autres que ceux qu'on déduit de la formule
établie précédemment.
11 est d'ailleurs facile d'établir, à priori, que cette formule est l'expression générale des nombres pairs tels que chacun d'eux soit égal à la somme de tous les diviseurs, abstraction faite du nombre lui-même.
L'expression générale des nombres pairs est en effet
a, 6, c, étant des nombres premiers quelconques.
La somme de tous les diviseurs de ce nombre, y compris le nombre lui-même, est
(*) Sur la Théorie dos nombres parfaits on peut consulter les références bibliographiques données par Sethop, Brocabd, A. -P. Ericsson et E.-B. EsGOTT dans V Intermédiaire des Mathématiciens, t. II, 1896, pp. 52-54; t. VI, 1899, P* 'o^î *• ^^ï^» 1901» PP» ïo3, 176 et t. XIT, 1905, p. 19..
QUELQUES QUESTIONS d'aRITHMÉTIQUB SUPÉRIEURE 285
On doit donc aToir l'égalité
a'».a*.6P.c1f ... = (i 4- 2 -1- 22 + ... -|- 2"') (i + a -+-a* -+- ... + a^)(H-6-f-63 + ...--h6^)(n-cH-c2-l-...4-c1^) — 2"'.a*.6P.c^..
qui peut s'écrire
ou encore
(am+i,)aa.^p,j ...— aa.6P.J ...=(2»^'+* — i)(i + a -h a'-f- .., + a*) (i -f- 6 -h 6* -h ... 4- 6?) (i + c H- c^ 4- ... 4- c^) ...
d'où Ton tire
(i -f- a 4- a^ -h ... H- a*) (i + 6 + 6» + ... + 6?) (1+ c-hc* 4- ... 4-
Y, «.B Y a^6P.cï
cT) =r ... =r a«.6P.cï ... 4- ^^ifî— iT •
Le premier membre de cette égalité étant un nombre entier, il en est de même du second membre; par suilc la fraclion
représente un nombre entier. Mais, le premier terme du second membre se trouve aussi dans le premier membre comme produit des derniers termes des expressions entre parenthèses ; il en résulte
donc que le quotient . — '—^ — '-^-^ doit contenir tous les autres
termes du premier membre développé.
Or, m est au moins égal à i ; le dénominateur 2*'*+* — i est plus grand que 3 et le quotient est, par suite, plus petit que
niClUuTIOHS IfATHilUTIQim
Cette fraction ne peut donc représenter que l'un des termes du développement du premier membre, d*où cette conclusion que le nombre des termes du développement du premier membre est limité à a.
D'ailleurs ce nombre des termes a pour expression
11 en résulte donc l'égalité
(a+i){P-M)(T-hi) = 2.
Cette égalité n*est manifestement possible que si Pun des exposants a par exemple, est égal à i, tous les autres, ^, y, ... étant nuls. On a alors
d'où
Les nombres cherchés sont donc de 1^ forme
m étant tel que 2"*+* — i soit un nombre premier.
Nous donnons ci-après une table des neuf premiers nombres parfaits connys jusqu'à ce jour.
QUELQUES QUK8TION8 D'AHITHICfTIQUji SUPÉRIEURE 387
Ainsi Ton voit que de i à 10, il n'y a qu'un nombre parfait ; il n'y en a également qu'un dans les intervalles de 10 à 100, de 100 à 1000 et de 1000 à 10 000; mais eette loi ne se poursuit pas, car on n*en trouve plus qu'un depuis 10 000 jusqu'à 800 millions. I^a rareté dtê nombres parfaits, a dit un auteur, est un symbole do eelle de la perfection.
On voit aussi que les nombres parfaits sont terminés par 6 ou a8 ; cette loi d'alternance n'est pas générale comme Boôce Tavait énoncé par erreur. D'ailleurs les anciens ne connaissaient que les quatre premiers nombres parfaits qui sont bien alternativement terminés par 6 et 28.
Remarques diverses, — i , En multipliant par 8 les nombres parfaits donnés par la formule générale
et, en ajoutant Puni té au produit, on forme les carrés des nombres de la forme (2*"+* — i). On a bien, en effet
2. Pour que le facteur 2**»+* — i soit un nombre premier, il faut que l'exposant m -f- i soit lui-même un nombre premier. On ne peut, en effet, avoir m -h i =p.g, car on en déduirait
2»»+i — I = 2PÎ — I = (2P)« — li' = [29)P .— IH
et le facteur 2*"+* — i , étant ainsi divisible par a^ — i et par 2^ — i ne serait pas premier.
Il résulte aussi de là que, sauf le cas où m = i, qui donne m -h 1 = 2, nombre premier pair, tous les autres nombres premiers m -h 1 sont impairs, et. par suite, m est pair.
La condition que nous venons d'énoncer est nécessaire^ mais elle n'est pas suftisante ; si nous faisons, en effet, m = 10, on a
am+i — I — 3*« — I = 23 X 89.
a88 RÉCa£A.TIOHS HATHÉHATIQtlES
Sachant que m + i est ua nombre premier, nous ne pouvons donc pas affirmer que l'expression 3"'+' — i le soit' également, et nous ne connaissons pas les conditions nécessaires et suffisantes pour que ce facteur soit premier; on est donc réduit à véri&er, pour les dilTéren tes valeurs de m qui donnent pour m + i un nombre premier si 3"<+' — I n'a pas d'autre diviseur que lui-même et l'unité.
3. 11 résulte de la remarque précédente que : Tout nombre parfait pair, antre qae G. est divisible par (i, et qœ toal nombre parfait pair attire que 6 et a8 est divisible par 1 6.
4. Tout nombre premier m + i plus grand que 3 est de l'une des formes (6q -+■ i) ou (6^ + 5), d'autre part, on a ;
a> = — I {mod. 9) 2*q ^ + I (mod. ff) par suite pour
m + I = 6^ -t- I . a"(a*+' — i) = i(a — i) = i (mod. 9)
nu- I = 6g + 5, a"'(a"+' — i)= i(a'— i)= 1 (mod. 9) donc : Tout nombre parfait pair, autre que 6, est an mallip^ de g augmeiilf de i.
1) en résulte que si l'on fait le total des chiffres d'un nombre parfait aulro que 6, puis la somme des chiffres du total, et ainsi de suite, on arrive k 10 ou à un multiple de 10 (Kbaft, Novi Comm. Petrop,, i;3il.
!). On a de m^me. pour le module 7, la congruence a* ^ 1 ; par suite pour
(m -h 1) == C-i + I, a-^a"+' — i) = 1(3 — 1) = + r (mod. 7) tm i- l) ^ ■- 6./ + 5, a-va-*' — i)= i(a> — i) = — i (mod. 7;
ne ; roiil n>>r;iF>rf parftiil pair, autre qœ a8. est an multiple de 7
\\> ni^iDo, {tanir lo utodule i3, la congruence a' ^ i, appliquée \ itumbivs d>>s f\tnn«is
QUELQUES QUESTIONS d' ARITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE sSq
donne cette proposition : Tout nombre parfait pair^ autre que 6, est un multiple de iS augmenté de i, a, 3 ou 8.
On a encore a^ ^ — i (mod. 19) ; en appliquant ce résultat aux nombres d'Euclide pour les nombres des formes
(m 4- i)= iS.q -h 1,5, 7, II, i3, 17
il vient : Tout nombre parfait pair, autre que 6 et aS, est un multiple de 19 augmenté de i, 3, 3, 7, 10 ou i5.
On a enfin a^^ ^ — i (mod. a 5) ; en appliquant ce résultat aux nombres d^Euclide pour les exposants (m + i) des formes
(m -+- i) = ao.7 -h I, 3, 7, 9, II, i3, 17. 19
on trouve ; Tout nombre parfait pair, autre que 496, est un multiple de a5 augmenté de i. S, 6, 11 ou 16.
En combinant ce résultat avec le premier, il en résulte que : Tout nombre parfait pair, autre que 6 ou 496, est terminé par V ensemble des deux chiffres 16, a8, 36, 56, ou 76.
On trouverait de même les restes des nombres parfaits pairs pour les modules 11, a3, ag, 3i, 37, 4i* 43 et 1000 [Mathésis. t. IX).
6. Sur les nombres parfaits impairs, Lionnet a énoncé le théorème suivant (Nouvelles Annales de Mathématiques, 1879, p. 3o6).
S'il existe des nombres parfaits impairs, ils sont donnés par la for^ mule
dans laquelle a désigne un nombre premier de forme (4^ -h i) et p un nombre impair, plus grand que i, non divisibh par a.
Le nombre n étant, en effet, décomposé en ses facteurs premiers, supposons que Ton ait :
et ce nombre étant parfait on doit avoir :
an = (i H- a H- a* H- ... H- a*) (i -h 6 H- 6« + ... -I-
b^){i -hc-f-c'-f. ... -hclf)
Réoréationt Mathématùjues. 19
a go RÉCRÉATIOîfS MATHÉMATIQUES
OU en posant
I ^- 6 -l-fe» -f- ... 4- 6? = B
Or, n étant impair, un seul des nombres A, B, C| ... est double d'un impair, A par exemple, et les autres B, G, ,♦, sont impairs. Mais puisque a, 6, c, ... sont impairs, on a :
A^a-f-i B^P-i-i G^Y"^^-" (mod. 3)
il faut donc que p, y, ... soient pairs et que (a -+■ i) soit le double d'un nombre impair ; donc si Ton remplace a par 4« H- i et p, 7, ... par 2p, aY, ... il vient
d'autre part, a étant impair, on ne peut faire que les deux hypothèses a^-l-ieta^ — 1 (mod. 4) ; par suite, a est un nombre
premier de forme (4? H- i)»
D'ailleurs les nombres p, ^, ... ne peuvent être tous nuls en même temps; car on aurait, dans le cas contraire
2a* ;= ou a"(2 — a) = I
ce qui donnerait a = i et n = i . D'où résulte encore cette proposition : Il n existe aucun nombre parfait impair déforme (4g H- 3).
Enfin J. J. Sylvester a prouvé l'impossibilité de l'existence d*un nombre parfait impair qui ne contient pas au moins cinq diviseurs premiers distincts [Comptes rendus des séanoes de V Académie dis sciences, GVI, 632, 1888) et Stuyvaert a démontré qu'un nombre parfait impair s'il en existe, est la somme de deux carrés {Mathesis, XVI, i3a; 1896).
QUELQUES QUESTIONS d'aHITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE SQ I
En résumé Texistence de nombres parfaits impairs n'est pas établie ; il e^t seulement démontré que de tels nombres, s'il en existe, doivent être très grands.
Pes nombres amiables. — Deux nombres N et N' sont dits amiables lorsqu'ils jouissent de la propriété suivante :
La somme des diviseurs du premier nombre N, abstraction faite de ce nombre lai-même, est égale à N' et réciproquement, la somme des diviseurs de N', abstraction faite de N', est égale à N.
Par exemple, les deux nombres 230 et ^84 sont amiables, car le premier 220 est égal à la somme i-+-2H-4-f- 71 -+- i42 des parties aliquotes de 284, et réciproquement 284 est égal à la somme des parties aliquotes i, 2, 4> 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et iio du nombre 220.
Le problème qui consiste à trouver deux nombres jouissant de la propriété que nous venons d'énoncer est plus qu'indéterminé.
Supposons, en effet, N et N' décomposés en leurs facteurs premiers, et soient
N = a^.b^.c'^ N' = af .6f'.cy'
en appelant S et S' les sommes des parties aliquotes de ces nombres on doit avoir
ai — I p^ ^ j c^ — i
d'où la relation
a« +' — I b^+' — I CÏ+' — I a- I ^ 6-1 ^ c- 1 ^
2ga HÉGRÊATIONS MATHÉMATIQUES
Cette relation est trop générale pour qu'il soit possible d*ea dé* duire des formules donnant des couples de nombres amiables ; mais si nous assignons à N et N' les formes particulières plus simples
dans lesquelles a. b, c sont des facteurs premiers impairs, on peut déterminer des couples de nombres remplissant les conditions énoncées.
On a, en effet
(an+t — i) (a -I- i) = (2"+« — i) (6 4- i) (c H- i) = 2»(a 4- 6c)
d'où Ton déduit
et en éliminant a
en supposant a <i n.
On peut donc poser
