I 4- 2"""* c = 2« — I -4- 2"+* et en déduire

avec les conditions que a, h, c soient des nombres premiers ; par suite a est impair, car autrement a serait composé.

Pour a = I , on trouve une première foi*me de nombres amiables en supposant

OUU-QOES QtrUnOHS D'uUTBldTlQDB sup£ueuKB 9g3

l'on doDoe à n lei valeurs successives a, 3. 4, ■■■ en ne conservant e celles pour lesquelles les nombres a, b, c sont premiers, on uve les solutions

aao

ii5i

On ne peut supposer a =^ 3 ; car dans ce cas, l'un des nombres m c serait une différence de deux carrés ; il reste à étudier les cas

a = 5, ^. ... ce qui parait assez diFRcile.

Le mémoire classique d'Euler : De namer'u amicabilibus opaieala riiarg., p. aS ; 1730, — L. Eclibi Commentaliotut arilkmelicœ UeeUe Petropoliyol. 1. p. ioa-i45; 17^9) contient un catalogue

soixante et un nombre amiables de formes diverses et des înve^ ^tions ingénieuses à ce sujet. En outre, dans le vol. Il des }mmenl. arith, (p. 627-639) se trouvent deux compléments, dont m contient encore quatre couples de nombres amiables, Euler mentionne le couple 633a et 6368 (Comm. arith, vol. I,

iA5) qui peut s'écrire a'. 19.^1 et a'.igtf, mais dont la forma nérale n'est pas donnée.

Euler donne également le couple des a nombres impairs

3'. 7». 13.19.53.6959; 3',7*.i3.i9.i79.ao87.

La biblit^^phie du sujet jusqu'à Euler se trouve dans ses mélires. Au XII* siècle. Le Lasseur s'est occupé des nombres amiables a cons' "^ "' l'eiiste pas pour n <; 35 d'autres nombres liable

3g4 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

(a, 6, c étant des nombres premiers des formes indiquées ci-dessus) que les trois couples qui figurent dans le tableau plus haut (*).

Théorème de Fermât sur les puissances binaires. "-^ Fermât a enrichi les mathématiques d'un grand nombre de propositions inconnues jusqu'à lui. Sauf deux exceptions, toutes ont été reconnues exactes par la suite. La première de ces exceptions constitue le théorème sur les puissances binaires qui s'énonce ainsi :

Tout les nombres de la forme a»» -+- i où m = 3*» sont premiers.

Il écrivait à Pascal :

« C'est une vérité de laquelle je vous réponds* La démonstration en est très malaisée, et je vous avoue que je n'ai pu encore la trouver pleinement ; je ne vous la proposerais pas pour la chercher si j'en étais venu à bout. »

Et à Mersenne, le 25 décembre i6l\o :

a Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que

sont nombres premiers, îl me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car déjà j*ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part. »

On démontre facilement que a"* -H i est composé si m n'est pas une puissance de a.

Si, en effet, m était un nombre premier différent de a, et, par suite un nombre impair, -rexpression 2"^ -h i serait divisible par a* -t- I ou 3 et ne représenterait un nombre premier que pour la valeur particulière m = i .

Si m est un nombre de la forme a»&iC, les facteurs premiers a, 6, c étant impairs, on aurait

(*) Intermédiaire des Mathématiciens, T. VII, 1900, p. 38o. Encyclopàdie der Math, Wiss. (Leipzig, Teubner, 1898 et suiv.). T. I, p. 578.

QUELQUES QU£STI0:HS D'ARITHAliTIQUE SUPERIEURE 2^5

ce qui montre que a"* -h i est divisible respectivement par

Enfin, si un seul des facteurs premiers de m était impair, tous les autres étant égaux à 2» l'expression 2*'^+ i se présenterait sous la forme

et serait divisible par a*" -+- î et par a^ H- ï.

Ainsi si m n'est pas une puissance de 2, l'expression a"* -f- i représente un nombre composé, mais il ne s'ensuit pas que cette expression représente nécessairement un nombre premier, si m est une puissance de 2.

L'inexactitude de la proposition de Fermât a été signalée pour la première fois en 1782, par Euler (*), qui a montré que pour n = 5

Dans ces trente dernières années, il a été établi que l'expression 2*" H- I représentait un nombre composé pour

n = 6, 9, II, 12, 18, 23, 36 et 38.

Avec ces deux dernières valeurs les résultats contiennent plusieurs millions de chiffres. (*)

Avant Fermât, Stifel avant avancé que la formule 2"*"^* — i ne donnait que des nombres premiers, sans cependant en renfermer

(*) Commentarii Academiœ Scientiarum Petropolitanœ, Saint-Pétersbourg, 1738, vol. VI, p. io4; voir aussi Novi Comm. Acad, Scient. Pétrop., Saint- Pétersbourg, 1764» vol. IX, p. loi, ou Commentationes Arithmeticœ CoUeciady Saint-Pétershourg, 1849, ^^1- ^> PP* ^y ^^7*

(') Pour la coaiposition des facteurs et les références bibliographiques, voir le mémoire de A.-J.-G. Cunningham et A.-Ë. Westbrr inséré dans les Transactions of tlie London Mathematical Society ^ t4 mai, 1908, 2^ série, vol, I, p. 175.

ag6 RÉCRÉATIONS MATHéHATIQUES

la totalité ; mais cette assertion a été également reconnue fausse car pour M = ^» on a

3>x4+i i=5ïT = 13.37.

La proposition de Fermât a d'ailleurs été modifiée comme il suit : « Tous les nombres, et les seuls nombres premiers, qui surpassent de Tunité les puissances de 2, sont ceux delà suite

De plus, Eisenstein a énoncé ce théorème dont il possédait probablement la démonstration :

« Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 2'" -h i. »

Les démonstrations de ces deux propriétés sont encore à trouver (*).

Parmi plusieurs autres, Euler a donné les trois formules suivantes (Mém* de Berlin pour 1772. p. 36).

qui fournissent respectivement, pour les valeurs entières successives de x,h partir de zéro, 17, 29 et 4o nombres premiers.

M. F-B Escott (2) a obtenu d'autres nombreuses formules donnant des nombres premiers pour un groupe étendu de valeurs de x. On peut citer les suivantes

47ic* H- 5aî H- I 670?^ -h 5a; — I

(*) A consulter : Annales de Gergonne^ t. XIX, p. 236. — Journal de Crelle, t. XVII, p. 87. — Journal de Sylvester, t. II, p. 238. — Bulletins de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg (nov. 1877 et janvier 1878).

(^) Voir Intermédiaires des Mathématiciens, T. V, 1898, pp. il4 et 184 ; t. VI, 1899, p. 10.

QUELQUES QUESTIOHS D*ARITHm£tIQUE SUPÉiOEUIlE 397

La première formule peut s'écrire lii x^ -\- (2 x -{- i)(3aî-4- i). Elle donne donc, pour x = 20, un nombre composé (divisible

par 4i)-

La seconde peut s'écrire 710;* — (x — i) {lix — 1). Pour a; = ï8 elle donne un nombre composé (divisible par 71).

M. Escott fait d'ailleurs remarquer que la formule d'Euler

ne donne pas seulement des nombres premiers pour les valeurs positives de a;, 1, 2, S, .,., Sq, mais qu'elle en donne aussi pour les valeurs négatives — i, — a, — 3, ..., — 4o. Et en remplaçant x par X — 4o il obtient une formule donnant des nombres premiers pour

Il détermine par ce moyen, les formules suivantes fournissant des nombres premiers pour plus de 4o valeurs de x.

Quantité

Formules originales

de nombres premiers

Substitution

Formules nouvelles

de nombres premiers

a;2 + aJ4-4i

2x2 — II20? + 1 597

x' + aia?^ I

2x2 4. 4oa? -f I

OJ — 37

a?2-f lyx — I

3o?2 — i4Ta?+ 1667

20j*H-3oo7— I

Mais ces formules et toutes celles analogues, ne peuvent repré-

2g8 RÉCREATIOrtS MATHEMATIQUES

senter exclusivement des nombres premiers, car on a la proposition connue :

Le polynôme à coefficients entiers

f(x) = a -{- bx -\- cx^ -f- dx^ 4- ...

ne peut donner continuellement des nombres premiers, pour toutes les valeurs entières de x.

Lie dernier théorème de Fermât. — Consacrons maintenant quelques lignes à la seule autre proposition de Fermât n'ayant pai encore été démontrée ; on la désigne quelquefois sous le nom de dernier théorème de Fermât et elle s'énonce ainsi :

L'équation a:" -t- j" = z" ne peut être satisfaite pour aucune valeur entière de x, y, z, si n est un nombre entier plus grand que 2 (*).

Cette proposition est très célèbre parcequ'il n'en a pas encore été présenté une démonstration générale malgré les recherches des plus grands savants, mais il n'y a pas jusqu'ici, de raison pour douter de son exactitude.

Fermât paraît l'avoir démontrée premiètement (^) pour n = 3. et ensuite pour n = 4- Sa démonstration pour le premier cas a été perdue, mais celle pour le second existe Q) et une démonstration identique, pour n = 3 a été présentée par Euler(*). Ces démonstrations reposent sur ce fait que, si on peut trouver trois valeurs entières X, j, z satisfaisante l'équation, il sera également possible de trouver *rois autres valeurs entières, moindres que les premières, qui satis-

Q) On trouvera Ténoncé de Fkrmat dans son édition des œuvres de Diophante^ Toulouse, 1670, livre II, qu. 8, p. 61 ; ou dans le Précis de Brassir.ne, Paris, i853, p. 53.

(') Voir la lettre de Fermât citée dans notre Histoire des mathémaliqaes, Londres, chapitre xv.

(') Fermât. — Diophantus, note de la page SSg ; ou Précis de Brassiniîe, p. 127.

{*) Algèbre d'Euler (traduction anglaise, 1797}! vol» II, chap. xvt pé 247.

QUELQUES QUESTIONS D* ARITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE 2gg

feront encore à l'équation posée ; de sorte que, finalement, l'équation serait satisfaite par trois valeurs qui manifestement ne répondent pas à la question. Par suite, aucune solution en nombres entiers n'est admissible. On a remarqué que cette méthode ne s'applique qu'aux cas de n = 3 et /i = 4.

La découverte par Fermât du théorème général ne fut faite que plus tard.

Il est facile d'en donner une démonstration en admettant que tout nombre peut être décomposé en facteurs premiers (de forme complexe) et que cette décomposition ne peut s'elTectuer que d'une seule manière. Celte supposition a été faite par plusieurs auteurs, mais elle n'est pas vraie dans tous les cas. Il est possible que Fermât ait fait une pareille supposition, mais il est plus probable qu'il avait en sa possession une démonstration rigoureuse.

Ce qu'il y a de certain c'est qu'il afErmait posséder une telle démonstration — demonstratio mirabilis sane — et le fait que tous les théorèmes sur le même sujet, dont il avait, disait-il, une démonstration» ont été reconnus exacts par la suite, constitue un témoi- |[nage sérieux à l'appui de son afûrmation. Il faut encore tenir compte de cette remarque qu'en énonçant la seule de ses propositions dont ^inexactitude a été constatée, il ne manquait pas d'ajouter qu'il n'avait pas réussi à en trouver une démonstration satisfaisante*

Il faut aussi se rappeler que Fermât était un mathématicien de premier ordre dont toutes les recherches ont eu spécialement pour objet la théorie des nombres. Or, ce sujet d'étude, hien que présentant beaucoup d'intérêt et conduisant à decT démonstrations vraiment élégantes* est, au point de vue pratique, d'une faible importance, et, depuis son temps, il n'a été abordé que par quelques mathématiciens dont la plupart même n'en faisaient pas leur principal objet d'étude. Ceci explique pourquoi plus d'un siècle s'est écoulé avant que les résultats les plus simples énoncées par Fermât fussent examinés et vérifiés ; il eàt donc bien évident que la démonstration d'un théorème qu'il est arrivé à établir après avoir consacré son existence à de telles recherches, doit présenter de grandes difficultés.

300 r£gb£aTIONS MATHélfA.TIQUES

En i8a3, Legendre Q) démontrait le théorème pour le cas de n = 5; en 1882, Lejeune Dirichlet (*) présentait une démonstration pour n = i4i et en i84o. Lamé et Lebesgue (*) l'établirent pour n = 7.

La proposition parait être vraie dans toute sa généralité. En i S^Qi Kummer (*), au moyen des nombres premiers idéaux, démontra la proposition pour tous les nombres, à l'exception de ceux (si toutefois ils existent) qui remplissent trois conditions. On ne sait pas s'il existe des nombres remplissant ces trois conditions, mais cela paraît peu probable et dans tous les cas, il n'y en a aucun plus petit que 100. La démonstration est compliquée et fort difficile à saisir; sans aucun doute elle est basée sur des considérations complètement inconnues à Fermât. Ajoutons que pour démontrer le théorème quand n est plus grand que 4* il suffît évidemment de se limiter aux cas où n est un nombre premier, et Kummer débute dans sa démonstration en établissant que dans ces conditions l'un des nombres X, y y z doit être divisible par n.

Naturellement on a fait bien des conjectures sur la façon dont Fermât était arrivé à un tel résultat. Les méthodes modernes de Tarithmétique supérieure sont basées sur une notation, spéciale introduite par Gauss qui a montré que la théorie des grandeurs discontinues différait essentiellement de celle des grandeurs continues, mais jusqu'à la fin du xvni* siècle, la théorie des nombres était considérée et traitée comme une branche de l'algèbre; les démonstrations de Fermât que nous possédons encore ne s'appuient que sur les principes élémentaires de la géométrie et de l'algèbre et même certaines d'entre elles ne renferment aucun signe. Quelques

(*) Voir sa Théorie des Nombres^ Paris, i83o, vol. II, pp. 36 1-368 : voir aussi pp. 5 et 6.

(•) Journal de CrelU, vol. IX, pp. Sgo-SgS,

(^) Journal de Liouville, i84i» vol. V, pp. 195-216, 276-9, 348-9.

(^) On trouvera les références aux mémoires de Kummer dans le rapport présenté par Smith k PAssociation britannique sur l'étude de la Théorie des Nombres f Londres, 1860.

QUELQUES QUESTIONS d'aRITHMÉTIQUB SUPÉRIEURE 3oi

auteurs en ont inféré que Fermât n'employait que des méthodes algébriques élémentaires; cela peut être vrai, mais la remarque suivante qui, pensons-nous, n'a pas encore été faite, conduirait à une conclusion contraire. 11 avait proposé, comme problème, aux mathématiciens anglais, de démontrer que l'équation x* -f- a == y* ne pouvait être satisfaite que pour une seule valeur entière de x et de j : la solution est évidemment a? = 5, y = 3. A ce sujet il avait rédigé une note (^) pour établir que le fait de trouver une solution en fractions à termes entiers n'offrait aucune difficulté et qu'il était en possession d'une méthode entièrement nouvelle — sane pulcherrima et subtilissima — qui lui permettait de résoudre en nombres entiers toutes les équations de cette nature. Son intention était de publier toutes ses recherches (^) sur la théorie des nombres, mais son ouvrage n'a jamais été complété et ses méthodes d'analyse nous sont très peu connues. Cependant une opinion personnelle, que nous nous risquons à formuler ici, est que la théorie des fractions continues joua un rôle important dans ses recherches ; nous ajouterons pour justifier cette conjecture que quelques-uns de ses résultats les plus abstraits — par exemple le théorème déjà énoncé plus haut : tout nombre premier de la forme 4 ^ H- i p^^t être décomposé en une somme de deux carrés — s'établissent relativement avec assez de facilité en faisant intervenir les propriétés de ces fractions.

Combien y a-t-il de chiffres dans la suite des nombres de 1 à N inclusivement ? ('). — Ecrivons les uns au-dessous des autres, les N premiers nombres.

N étant supposé avoir m chiffres, complétons tous les nombres du

(*) Fermât. — Diophantas, livre VI, prop. 19, p. 32o; ou Précis de

BRASSINIfB, p. 122.

(•) Fermât. — Diophantus, livre IV, prop. 3i, p. 181 ; ou Précis de Brassinke, p. 82.

(^) Ce qui suit est extrait d^une note publiée par M. d'OcAGNE dans le Journal de Scieneias mathematicaê de M. Gomes Teixeira (année 1886).

tableau en leur ajoutant des zéros sur la gauche, de façon h les composer tous de m caractères.

Enfin, ajoutons, en tète de cette liste une ligne de m zéros.

Pour avoir le nombre cherché, il faut évaluer le nombre total des caractères figurant au tableau ainsi formé et en retrancher le nombre de zéros qu'on y a ajoutés.

Or, le premier de ces nombres est évidemment

Passons au nombre des zéros.

De io"»~* à N, nous n'en avons point ajouté. Maintenant, audessus de 10"*"*, dans la première colonne de gauche, nous avons ajouté io"*~* zéros; au-dessus de io*'»~', dans la deuxième colonne, nous en avons ajouté lo*»""*; etc.; au-dessus de 10, dans la deuxième colonne de droite» nous en avons ajouté 10; au-dessus de I, dans la première colonne de droite, nous en avons ajouté i. Nous en avons donc ajouté en tout :

jQm-l ^ io"»-2 ^ ^^, ^ 10 ^- 1

c'est-à-dire

et le nombre cherché X est donné par l'égalité

Cette formule peut se traduire en langage ordinaire de la manière suivante :'

Poar savoir combien il y a de chiffres dans la suite des N premiers nombres, il suffit de multiplier le nombre N -h i par le nombre des chiffres qui entrent dans le nombre ^^ et de retrancher, d^ produit^ un nombre formé d'autant de i qu'il y a de chiffres dans le nombre N»

QUELQUES QUESTIONS d'aRITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE 3o3

Par exemple, dans la suite des 365 premiers nombres il y aura

3 X 366 — 1 1 1 = 1 098 — 111= 987 chiffres.

Examinons le cas particulier où N = 10"* — i. Alors

On a donc, dans ce cas, Xi en retranchant d'un nombre formé de m suivi de m zéros, un nombre formé de m fois le chiffre I, Le premier chiffre à droite de la différence sera évidemment un 9 ; avec Tunité de retenue, le chiffre suivant du plus petit nombre devient 2 et, par suite, le deuxième chiffre à droite de la différence est un 8; il en est de même des m — 2 chiffres qui précèdent, et le dernier chiffre à gauche est m — i (si m n'a qu'un chiffre), autrement les premiers chiffres à gauche constituent le nombre m — i .

Exemples ; le nombre de chiffres que Ton doit écrire pour faire le tableau des 99 premiers nombres est 1 89 ; pour les 999 premiers nombres, il en faut 2889; pour les 9999 premiers nombres, 38889, etc.

Dét^rminor dans la «uite naturelle des nombres, le k"»" cbiUre ^rit. — Représentons lei nombres 189, 2889, 88889, 488889, ... etc., par les notations symboliques % (i), % (2), % (3), % (4). ... etc.

Gela posé, il est facile de déterminer un nombre n tel que Ton ait :

et on en conclut que le chiffre inconnu de rang k appartient à un nombre de n chiffres que nous représenterons par N.

On a, d'ailleurs, le rang occupé, dans la suite des nombres de n chiffres, par le chiffre inconnu, en faisant la différence

fc — U (n — 2)*

3o4 RÉGRIÊATIONS MATHÉMATIQUES

Pour avoir, le rang occupe, dans la suite des nombres de n chiffres par le nombre de n chiffres N. auquel appartient fc, il suffit évidemment de diviser

k — %(n — a) par n.

Désignons par q le quotient et par r le reste de cette division, il vient :

k — 1fb(n — 2) = g X n '^- r,

et nous distinguerons deux cas suivant que r est différent de zéro ou nul.

I® r ^ o. Le rang occupé par N dans la suite des nombres de n

chiffres est alors g -f- i , et r représente le rang occupé par le chiffre inconnu dans N (en comptant de gauche à droite).

Or, le premier nombre de n chiffres étant égal à io"~*, on a :

Tvr M-i «-i . 'f — °ïk>(n — a) — r

N = 10"^ -+- ûf = lo" * H ^^ f

ou encore

^ k -h n X fo"*""^ — U (n — a) r

Mais, la différence n X lo»**"* — % (n — a) est égale à un nombre composé de n fois le chiffre i , et il vient, par conséquent,

/f + iii"''^" ... II =n X N -hr;

d'ailleurs r est plus petit que n, d'où cette conclusion que N peut être considéré comme le quotient de la division du nombre

k-h iii"^°" ... II

par riy r étant alors le reste de cette division.

a<) r = o. Le quotient q est alors le rang occupé par le nombre de n chiffres N et le chiffre à déterminer est évidemment égal au dernier chiffre à droite (en allant de gauche à droite) de N.

QUELQUES QUESTIONS d'aRITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE 3o5

On a dans ce cas

ivr « 1 . «-1 . ^ — % (n — 2) N = 10**-"* -h q — I = 10" ' -— I H ^^ f

ou encore

^ fe 4- n X lo^""^ — U (n — a)

et si l'on remarque, comme plus haut, que la différence

n X 10»""* — U (n — a) est égale à un nombre composé de n fois le chiffre i, il vient *

fc-hiii'^f^"... ii=(N-h i)n, d'où

et le chiffre demandé est le premier à droite de Q — i . On voit donc, en résumé, qu'en posant

(i/i) = i, (2/1) = iT, (3/t) = iii, ...

et en général

(n/i) = iii'»''*»"... II.

On peut formuler la règle suivante donnée par M. d'Ocagne (*). Pour trouver le chiffre de rang k, on détermine le nombre n tel que

U(n — a)< fc < %{n — i)

puis on effectue la division de k -^ (n/i) par n; soient Q le quotient et R le reste :

I' Si R nest pas nul, le chiffre cherché est le R"»* (à partir de la gauche) du nombre Q ;

2"* Si R est nuly le chiffre chercJié est le premier (à partir de la droite) du nombre Q — i .

(^) Académie des Sciences, Comptes rendus, 1890, p. 190.

Récréations mathématiqaet. ao

3o6 RéGE]iA.TIONS MATH]fillATfQ1719

Exemples : Soit à déterminer le 85642* chiCFre de h luite naturelle des nombres.

On a :

il suffit donc de diviser par fi la somme

Le quotient étant 19350 et le reste 3; le chiffre cherché est 3. Déterminons encore le millionième chiffre écrit dans la suite naturelle des nombre,

k = lOOOOQQ

et comme

on voit que

Donc M = 6. En outre

/c -f- (n/i) == I Qooooq -h I u I n = i n 1 1 u ;

en divisant ce nombre par 6, on trouve pour quotient i8§i85 çt pour reste i .

Le millionième chiffre est donc le premier, à gauche, du nombre i35i8q, o^est à^idire le chiffre i»

Autre exemple : Quel est le 1 234^6789* chiffre éerit )

Ici 71 = 8, et l'on a :