CHAPITRE IV
LS8 NOMBRBS D6 MGB8ENNE
L'une des questions énigma tiques de T^irithmétique supéirieure, à laquelle il a déjà été fait allusion dans le premier chapitre de cet ouvrage, est celle qui a trait à la découverte de la méthode, suivie par Mersenne. ou par ses contemporains, pour déterminer les valeurs de p pour lesquelles un nombre de la forme a^* --' i est premier.
Pour la commodité de notre exposition nous appellerons Nombre* dé Mer$êfuiê les nombres premiers de la forme 3' «^^ i et pour abré* ger iMMia les représenterons pur la lettre N.
Pious avons déjà présenté, d'une façon abrégée, Thiitorique de la question dans un mémoire paru en 1891 àdiU^lQ Messenger of mathê* maticSy nous le reproduisons ici avec plus de détails et en le complétant par un aperçu des méthodes pouvant être employées pour résoudre le problème.
Les résultats associés avec le nom de Mersenne se trouvent énoncés dans la préface de ses Cogîtala (*). Voici le passage en question.
(( Vbi fucrit operae pretium aduertere XXVIII numéros a Pelro Bungopro perfectis exhîbitos, capîte XXVIII, libri de Numéris, non esse omnes Perfectos, quîppe 30 sunt imperfecti, adeovt (adeunt ?) solos octo perfectos habeat... qui sunt è regione labulae Bungî, i, 2, 3, 4. 8, 10, 12 et 29 : quîque solî perfectî sunt, vt qui Bungum habuerint, errorî medîcinam facîant.
Porrô numerî perfectî adeo rari sunt, vt vndecim dumlaxat potu^
(♦) Cêgitakt Phjsieo Maihemaiieay Paris t644» praefttio generaîis, article 19.
3o8 RÉGREiLTIONS MATHÉMATIQUES
erint hactenus inueniri : hoc est, alii ires a Bongianis différentes : neque enim vllus est alius perfectus ab illis octo, nisi superes exponentem numerum 62, progressionis duplae ab i încipîentîs. Nonus enim perfectus est potestas exponentis 68 minus i . Decimus, po testas 358, minus i, hoc est potestas 267, vnitate decurtata, multiplicata per potes ta tem a 56.
Qui vndccim alios repèrent, nouerit se analysim omnem, quae fuerit hactenus, superasse : memineritque interea nullum esse perfectum à 17000 potestate ad 3 a 000; et nullum potes tatum interuallum tantum assignari posse, quin detur illud absque perfectis. Verbi gratia, si fuerit exponens i o5oooo, nuUus erit numerus progressionis duplae vsque ad 3090000, qui perfectis numeris seruiat, hoc est qui minor vnitate, primus existât.
Ynde clarum est quàm rari sint perfecti numeri, et quàm merito viris perfectis comparentur ; esseque vnam ex maximis totius M atbeseos difficultatibus, praescriptam numerorum perfectorum multitudinum exhibere; que madmodum et agnoscere num dati numeri i5, aut 20 caracteribus constantes, sint primi necne, cùm nequidem sœculum integrum huic examini, quocumque modo hactenus cognito, sufficiat.
Il est évident que le nombre N est composé si p n'est pas luimême un nombre premier et à la simple inspection on peut former deux, ou plus de deux, facteurs de N. Il suffit donc, dans ce qui suit, de se limiter aux cas ou les valeurs attribuées à p sont des nombres premiers.
Mersenne a avancé que les seules valeurs de /), non supérieures à 257, qui donnent pour N un nombre premier, sont i, 2, 3, 5, 7, i3, 17, 19, 3i, 67, 127 et 257 ; le nombre 67 a été, pensonsrnous, écrit par erreur, pour 61. En tenant compte de cette correction, nous n'avons aucune raison pour mettre en doute Texaclitude de la proposition mais elle n'a pas eucore été établie d'une façon complète.
Il y a 56 nombres premiers non supérieurs à 257. Pour les 9 valeurs de p moindres que ao, il n'est pas diiBcile de vérifie^ si N est
LES NOMBRES DE MCaSENNE SoQ
un nombre premier ou un nombre composé : ce nombre est composé pour une seule des valeurs de p.
Pour 2 des 46 valeurs de p restantes (à savoir pourp = a3 et p = 37), la décomposition de N a été donnée par Fermât.
Pour 9 autres valeurs dep (à savoir p = ag, 43, 78, 83, i3i, 17g, 191» aog et a5i), les facteurs de N ont été trouvés par Euler, qui a également démontré que N était premier pour p = 3i.
Plana a décomposé N en facteurs pour p = 4i*
Landry et Le Lasseur ont découvert les facteurs de N pour les 10 valeurs suivantes dep : 47. 53, Sg, 7g, g7, 11 3, i5i, mi, aa3 et 233, mais leur analyse de la question n'a pas été publiée.
SeelbofT a montré que N était premier pour p == 61 .
Gunningham et Cole ont déterminé les facteurs de N, le premier pour p = ig7, et le second pour p = 67.
On a également avancé que N était composé pour p = 8g et premier pour p == 127, mais la démonstration n*en a pas encore été publiée ou le fait vérifié, du moins à notre connaissance.
On voit donc qu'il reste 2 1 valeurs de p pour lesquelles la proposition énoncée par Mersenne n'a pas été vérifiée. Ces ai valeurs sont ; 71, 8g, loi, io3, 107, log, 127, 137, i3g, i4g, 157, i63, 167. 173, 181. ig3, igg, aa7, aag, a4i et a57.
Suivant Mersenne, le nombre N est premier pour les deux valeurs, p = 127 et a57, qui sont comprises dans les ai ci-dessus, et est composé pour les autres valeurs de p, mais comme nous venons de le dire, il est probable que la forme de N est comme pour p = 8g et ia7.
On peut présenter les faits d'une autre façon. D'après Mersenne (en tenant toujours compte de la correction faite plus haut, c'est-àdire en écrivant 61 -au lieu de 67), sur les 56 nombres premiers inférieurs à a58, 44 donnent pour N un nombre composé et les la qui restent donnent pour N un nombre premier.
Parmi les 44 valeurs de p qui donnent pour N un nombre composé nous connaissons les diviseurs de N pour a 5 d'entre elles et la proposition reste à vérifier pour les ig qui restent.
3 10 BÉCR<Â.TIONd MA¥ttÉlkjLtlQtJfeS
Sur les 13 valeurs de p qui, d'après Meftefiné, Ibftt et N uti
nombre premier, la proposition a été vérifiée pbûf ïO et têSlC à Vérifier pour 2.
D'après les tef rfiôs du defhler ftiembre de phrase de la citation faite plus haut OU & émis cette coujefitufë que les i^^Itais énoticés par Merseuné lui avaient été Communiqués et quil les a ftllt connaître sans se ptéoccupeï de la façon dont Ils avalent été obtenus. Le fait en lui-même Semble probable. Mctsenne était un bon tnathêmaticîen sans être un gênlê êîceptlonftel et U serait étrange qu'il eut réussi à établir une proposition devant laquelle ont éehoué dès hommes tels qu*Kuler, Lagrânge, Legëndré, Oauâs, Jacobi et d'autres mathématiciens de premier ordre. Mais &i la proposition est dUe à Fermât avec lequel Mersenne entretenait une Correspondance suivie, la question se trouve changée et riOU seulement on s^Cxplique l'absenoe de démonstrations, mais encore on n'est pas certain d'avoir attaqué convenablement le problème.
Les résultats connus en ce qui concerne la composition de N pour les diverses valeurs de p Sont donnés dans le tableau ci-après, sur lequel figure également, dans chaque Cas et lorsque N est composé, le plus petit diviseur de Ce nombre.
Les cas non encore vérifiés sont marqués d un afetérlsque.
Avant d'aborder l'eiamen des méthodes pouvant être employées pour résoudre le problème, il nous parait utile d'établir d'une façon plus complète quand et par qui les résultats donnée cl -dessus ont été trouvés.
Les diviseurs (lorsqu'il y en a) des valeurs de N moindres qu'un
million peuvent être Vérifiés facilement î ils sont Connus depuis longtemps et nous jugeons inutile de ttous y arrêter.
Les facteurs de N pour p=±n,û'S et 87 oUl été donnés par Fermât (*) quelques années avant la publication de Tôuvrage de
(*) Œuvres de Fermai^ Paris, voL II, 1894, p» 210 î ou Opéra Maihema-tica^ Toulouse, 1679, p. i64; ou Précis de Buassine, Paris, i853, p. 144.
tKB llôtt&ttfeS Dt MSbseitlll!
2o(i7 = 33xS9
536870911 = 233 X lio3 X 208g
23o5B4îoo92i 3693951
ioi4i2o48oi8258352i 1973625643007
649o37io73i68534335663iMii5a5iI
premier
composé
Ferai*!
Euler
premier
Euler
Domposé
Ferm*l
Plan»
Euler
Landrj
Lendrj
Landrj
premier
Seelhoft
composé
Cole
compose
Euler
Le Lasse ur
Euler
winport
Le Lasseur
MIIIIWSJ
Le Lassëur
RÉCaÉATlOnS MATHÉMATIQUES
Le L>n«ir
Euler Eulir
Lé Lunuc Le Lasscur
Le Laseeur Euler
Euler
oompo-é
composé oompo.4
.ompo^
composé
Mersenne, dans une lettre datée du tS octobre i64o. Voici le passage visé :
En la progreasion double, si d'un nombre ctrr£, génénlemeot parliot, voua ôtei a ou 8 ou 3î, etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multipla du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'effet requis. Comme de a5, qui est un carré, âtez a; le reste 33 mesurera I* 1 !• puissance — i ; 6tez a de 49, le reste i-j mesurera la a3° puiisanco — i ; Aies 2 de 33.5, le reste aa3 mesurera la 37° puissance — i, etc.
LES NOMBRBS DE MERSENIIE 3l3
Les diviseurs de N pourp = 29, 43 et 73 ont été donnés par Euler en 1732 (*). Le fait que N représente un nombre composé pour les valeurs p = 83, i3i, 179, 191, 339 et 25 1 découle de cette proposition énoncée à la même époque par Euler : si 4 /i + 3 et 8/1 + 7 ^^^ ^^^ nombres premiers on a :
2*»»+» — 1^0 (mod. 8/1 + 7).
et démontrée par Lagrange(') dans son mémoire classique de 1775.
Cette proposition qui comprend également les cas de p = 11 et p = 23 constitue le seul théorème général sur le sujet qui ait été démontré jusqu'à présent.
Le fait que N est premier pour p = 3i a été établi par Euler (') en 1771. Fermât avait avancé, dans la lettre mentionnée ci-dessus, que les seuls facteurs premiers possibles de 2'' ih i , quand p éU\ïi premier, étaient de la forme np + i, /i représentant un nombre Qntier.
Cette assertion a été vérifiée en 1748 par Euler (*) qui a fait remarquer de plus que, l'expression 2^ di i représentant un nombre impair, tous ses facteurs doivent être impairs, et, par suite, si p est impair, n doit être pair. Mais si p est un nombre donné, n peut être défini d'une façon plus complète et Euler a montré que les facteurs premiers de 2'* — i (s'il y en a) étaient nécessairement de la forme 248/1 -h i ou 248 /i + 63, ils doivent également être inférieurs à V''2'* — i, c'est-à-dire plus petits que 46339- Dès lors,
(*) Comrnentarii Academias Scientiaram Petropolitanae, 1738, vol. VI, p. io3 ; ou Commentaliones Arithmeticœ Collectse, vol. I, p. 2.
{*) Nouveaux Mémoires de C Académie des Sciences de Berlin, 1776,
pp. 323-356.
(') Histoire de V Académie des Sciences pour 1772, Berlin, 1774» P* 36.
Voir aussi Théorie des Nombres de Legendrb 3* édit. Paris, i83o, vol. I, pp. 222-229.
(*) Novi Commentarii Academiœ scientiarum Pelropolitanœ, vol. I, p. 20 ; ou Commentationes Arithmeticœ Collectœ, Saint-Pétersbourg, 1849, vol. I, pp. 55, 56.
3t4 RfCRÉATtOHS MATttÉMATIQtTBS
pour vérifier si le nombre a^* — i est premier ou non, il suffit seulement d'essayer quarante diviseurs^
Les facteurs de N pour p = 4i ont été donnés par Plana Q) en 1869. Il a montré qUc ces facteurs premiers (s'il 7 en a) étaient de Tune des formes S^Sn + i ou 3!i8n + a47) ot compris entre laâl et ^2*1 — I, ou 1048578. Il résulte de là que pour constater si le nombres** — i est composé il suffit d'essayer 5i3 diviseurs; le dix-septième d'entre eux fournit les facteurs cherchés.
C'est là la façon d'aborder le problème qui avait déjà àïé employée par Ëuler en 1771, mais pour les valeurs de p supérieures k il celte méthode est très laborieuse. Plana (^) a fait connaître leà formes des diviseurs premiers de N quand p h'esl pas supérieur à loi.
Il paraîtrait que Lucas (^) a vérifié en 1876 et 1877 que N est premier pour p = 127, mais la démonstration n'a pas été publiée.
La découverte des facteurs de N pour p = 47, &3 et Sg paraîtrait due à F. Landry qui a établi également quelques théorèmes sur les facteurs (en supposant qu*il y en ail) des nombres de certaines formes. Au lieu de publier ses résultats, il proposa en défi, k tous les mathématiciens, la solution du problème généiaî. Ces détails se trouvent dans un mémoire publié à Paris, en 1867, et devenu rare. Nous en possédons un exemplaire dans lequel les diviseurs de certains nombres sont donnés et, à la page 8, il indique qu'il est parvenu à trouver les facteurs de a^ — i pour p = 47, &S et 69.
Il semblerait quHl a communiqué ses résultats k Lucas, car ce dernier les a mentionnés dans le mémoire rappelé plus bas (^).
(*) Gi ki k. PtAitA) Mêmorie délia Realé Academia d9H Scinntt de Totino, série 2, vol. XX, i863, p. i3o.
(*) Sar là Théorie des Nombres premiers, Tutiti, ig-je, p» 11; èï Htdhetthes sur les ouvrages de Léonard de Pise, Rome, 1877, P* ^^' mentionnées par lé lieulerianl-coldrtcl A. J. CuîrsiRGitAM, Proteêdinigs vf ihë LùAd&n Mathematiàal Society, 14 liov. iSgS, vol. XXViî, p. 54
(*) American Journal of Mathematics, 1878, vol. I^ p. 236.
LES HOMtmBS DB HBBBBIINB 3l5
Les fiicteurs de N pourp = 79 et ii9 ont été donnéft pour la première fois par Le Lasseur, et ont été itietitiontiéB par Lttcas dans le mêmd mémoire
Un faèt^ur de N pour p = riSS» dé(iouvett plus tard par Le Lasseur A été entjoro thé par Lucas en 1682 (^).
Par là suite^ les diviseurs de N pour p k= g^v id>^ ait et aa3 furent déterminés par Le Lasseur et également rappelés pér Luoàs en i883 («).
Landry avait été conduit à penser que N était premier pour p = 6î, et en 1886, Seelhoff (*) présentait une démonstration qui prête à la critique. Mais le fait ayant été vérifié par d'autres màlhématidens (*), peut être regardé comme démontré.
Lucas semblerait avoir vérifié étt 18^1 (•) qUô le nombre N est composé pour p =: 89. mais sa démonstration n'a pas été publiée et, bien plus, On ne connaît pas les diviseurs de N pour cette valeur de p.
En 1896 A. J. C. Cunningham (*) a montré que le nombre 7487 était un diviseur de N pour p ±= 197.
Lucas aurait Vérifié en 1876 et 1877 C) ^^^ *^ nombre N n'est pas premier pour/) == 67; E. Fauquembergue (•) A confirmé le fait
0) Récréations, î882-i883, vol. I, p. 24i.
(«) Ibîd., vol. II, p. 2^0.
(*) P.-H.-H. BÊÈLHoFi-, ZÈiUthHfi far Mnihemaîik und Phjiik, t886, voL XXXI, p» 178.
(*) Voir Wbbbr-Wellstein, Encyclopaedie der Elemeniar-Maihematikt p. 48; et F.-N. Gole, Bulletin of the American Mathematical Society, décembre igoS, p. t36.
f ) Théori9 dêê Nombre»^ Paris, iSgi, p» 876.
(*) Proceedings of the London Mulhemmlicài iSoewt/, mars i4) 1B95, Vol. XXVI, p. flBî.
Ç) Sur la Théorie des Nombres premiers j Turin, 1876, p. 11 mentionné par le lieùtenadt-colonel GunKtitoHAif , Ptoceedin^s of the London Mûlhematical Society, i4 nov. 1895, vol. XXVII, p. 54 ei Recherches sur leê owtuges de Léonai^d de Pwe» Rome 167^, p. :2di
(^) L'Iniermédiaite des Mathématiùwnst Parisi sepL ^4) >*ol* ^t p- i4B*
3l6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
qui fut de nouveau mentionné par Lucas en 1891 (^). Les diviseurs ont été donnés par Gole en 1908 (^).
Bickmore dans le mémoire cité plus bas (^), a montré que 1 433 est un autre facteur de N pour p = 179; et que les nombres 1 9i3 et 5 737 sont également d'autres facteurs de N pour p = 239*
Nous allons nous occuper maintenant des méthodes au moyen desquelles ces résultats pourraient être obtenus. Il est impossible d'admettre que Mersenne ait iait reposer son affirmation sur une simple conjecture empirique, mais au bout de près de a5o ans, le procédé qui lui a permis de faire une telle découverte nous est encore inconnu.
Nous ne prétendons pas résoudre cette énigme. Mais il peut être intéressant de faire connaître quelques uns des procédés mis en œuvre pour la résolution de la question.
Le but que Ton se propose est de trouver un diviseur premier q (autre que N et i) d'un nombre N de la forme 2^ — i, lorsque p est premier.
On peut facilement montrer que q doit être de la forme 2pt-^ i. q doit aussi être de Tune des formes 8 i liz i; car N est de la forme 3 A^ — B^, A représentant un nombre pair et B un nombre impair; dès lors (*) tout facteur de N doit être de la forme 3 a* — 6*, c'està-dire de Tune des formes 8i± i, et 2 est résidu quadratique de q.
La théorie des résidus paraît» toutefois , n'être que d'un faible secours pour la question qui nous occupe, bien que la possibilité de trouver un jour une suite complète de solutions au moyen de cette théorie ne doive pas être négligée (^).
(*) Théorie des Nombres, Paris, sept. 1891, p. 876.
(•) On Ihe Factoring of large numbers. Bulletin of the American Mathematical Society, décembre igoS, pp. i34-i37.
(') G.-Ë. BiGuiORE, Messenger of Mathematics, Cambridge, 189$, \ol. XXV, p. 19.
(*) Lbgeudre, Théorie des Nombres, 3* édition, Paris, i83o, vol. I, § i43.
Dans le cas des nombres de Mersenne, B == 6 = i .
(^) Pour les méthodes permettant le calcul des indices, voir Bigilhore, Messenger of Mathematics, mai 1896, vol. XXV, pp. i5-2i ; voir aussi un
