LES NOMBRES DE MERSENKE

Tout ce que nous savons actuellement en ce qui concerne les moyens de décomposer le nombre N en facteurs se résume dans cette assertion (*) qu'un diviseur premier de la forme apt -^ i peut être trouvé directement en appliquant les règles dues à Legendre, Gauss et Jacobi, quand ^ == i, 3, 4, 8 ou 12 et que tout facteur de la forme 2pA.l/ -+- i peut être déterminé indirectement par une méthode, due à Bikmore, quand <= i, 3, 4* 8 ou 12 et que V représente un nombre entier impair plus grand que 3.

Ceci montre bien le peu de progrès accompli jusqu'ici dans la recherche d'une solution générale du problème.

Première méthode. — Nous avons d'abord la méthode simple mais primitive qui consiste à essayer tous les diviseurs premiers possibles q de la forme 2/)< 4- i, et en même temps de Tune des formes 8 i ± i .

Les principaux résultats connus pour les plus petits facteurs peuvent être résumés en disant qu'un nombre premier de cette forme divise N,

quand t —

I, sip 11, 23, 83, i3i, 179, 191, 239 et 25i ;

quand t

3, sip 37,73 ou 233;

quand t —

5, SI p — 43 ;

quand t

i5, sip — ii3;

quand t

17, sip = 79:

quand t =

19, sip 29 ou 197;

quand t

25, sip— 47;

quand t =

4i, sip — 223;

quand t

59, sip = 97:

quand t =

i63, sip 4i ;

quand l ]

f525, sip — 59;

article du lieutenant-colonel Gunningiiam dans les Proccedings of the London mathematical Society, 1 895-1896, vol. XXVII, pp. 85-122.

(*) Transactions of the British Association for the Advancement of Science (Congrès dlpswicb), 1896, p. 61 4.

3l8 RiflRiATMUiS HALTBBMA.*nQUi:S

(juandlnn 4isi/)s= 11,39,179011239; quand ^ as 8, si p =r 11; quand ^ = 13, si p = 389; quand t »c 36, si j» :?s 39 ou 21 1 ; quand I tes 60, 9\ p r=K. 53 ou i5i ; et quan4 t tzs 1 44^ 58o, si p ss 67.

Parmi les 35 c^« pour lesquels nous ^ftYona quç l'a^ertioR de Mersenno e»! exacte m ce qui concernci le caractères composé de N, tous à Texception de 3 peuvent être vérifié» par des essais do ce genre. Car, en négligeant toutes les valeurs de i ne dépassant pas un certain nombre, 6p par exemple, qui donnent pour q un nombre composé ou non dp Tune des formes 8 i it i , nou^ n'avon? seulement à essayer dans chaque cas, qu'environ 210 diviseurs.

Pour les 3 autres cas, Tun d*eux {p = 40 a été. vérifié par Plana

qui a avoué frauchement qu'il ét^it arrivé au résultat « par yn heureux hasard » ; la yérifîcation d'un autre cas (p = 5j^) est due

à Landry qui n*a pas expliqué comment il avait trouvé les facteurs de N ; et le troisième cas (p = 67) a été vérifié par Cole en cherchant les résidus quadratiques de N ce qui Va entraîné dans un travail des plus laborieux.

Parmi les 10 cas pour lesquels nous connaissons Texactitude i^ l'assertion de Mer senne en ce qui concerne la forme de N qui repré-» sente un nombre premier, tous à l'exception d'un seul, peuvent être vérifiés par des essais du môme genre, attendu que le nombre des diviseurs possibles n'est pas considérable.

Le cas faisant exception correspond à la valeur p =* 6 1 el Seelhoff ainsi que d'autres mathématiciens ont montré que le nombre 3 61 — I était premier.

Ainsi, nous pouvons pratiquement dire que de simples essais empî* riques nous conduiraient aussitôt à toutes les conclusions connues, à l'exception des cas. p ■= 4i, 5(), 6ï et 67, vérifiés respectivement par Plana, Landry, Seelhoff et Cole,

En fait, les quatre cas donnés ci-deasus étant négligés, UI19

tfta IfQMBRBS DU MIBIBNIIB SlQ

personne un peu familiarisée avee les calculs arithmétiques pourrait vérifier en quelques heures les conclusions formulées par tous les maibématîciens jusqu'à ee jour.

A mesure que p augmente, le nombre des diviseurs h essfiyer augmente lui-même à un point tel qu'il devient pratiquement im-^ possible d'appliquer le procédé à la recherche des grands facteurs lorsque p représente un grand nombre. C'est là un point important attendu qu'on a affirmé qu41 n'y avait pas de facteurs inférieurs à 5oooo dans les cas où la vérification n'a pas encore été faite. On peut raisonnablecneni en eopclure que la méthode dont nous veinons de parler, n'qsl certainement pas celle suivie pour la détermination des résultats à l'origine, et qu'elle n'est pas à utiliser ici pour trouver les diviseurs encore inconnus.

Il n'y a, bien entendu, rien d'impossible à ce qu'il existe des méthodes au moyen desquelles le nombre des valeurs possibles de t puisse être limité d'une façon plus complète, et si nous pouvions les trouver, le nombre des diviseurs à essayer serait naturellement réduit; mais il y a Uçu, tgutcfoia, de faire observer, que les valeurs de N ayant jusqu'ici échappé à toute vérification sont très grandes, par exemple pour /) = 257, N ne contient pas moins de 78 chiffres.

Il est à peine nécessaire d'ajouter que lorsque q est connu et n'a pas une valeur très grande, il est possible de déterminer si celte valeur représente ou non un facteur de N. sans qu'il soit utile d'effectuer la division.

Si on se propose, pftr excanple, de vérifier que q =3 18367 est un diviseur de N pourp =5? 4i. on peut procéder eomme il suit 2

Noos avons» par rapport au module q

2** = i6584 = 3017 = 7 X 43i, par conséquent

2iH2T^(3oi7)(-3i9) = i,

et enfin 2*^ ^ i.

320 R£GRéA.TiONS hath£hatiques

Seconde méthode. — JNous pouvons ramener le problème à la résolution d'une équation indéterminée.

Il est clair que Ton peut trouver un diviseur de N s'il est possible d'exprimer ce nombre sous la forme d'une différence de deux carrés, ou plus généralement de deux tV^'* puissances de deux nombres entiers u et v. Bien plus, si Ion peut mettre un multiple de N, mN par exemple, sous cette forme, il sera possible de trouver un diviseur de mN (avec certaines limitations évidentes en ce qui concerne la valeur de m), et ce diviseur fournira un facteur de N.

Ajoutons aussi que si la valeur de m peut être choisie telle que

— soit exprimable sous forme d'une fraction continue d'une certaine

forme, un certain continuant (^) défini par la forme de cette fraction continue est un diviseur de N.

Puisque N peut toujours être exprimé comme une différence de deux carrés, cette façon d'aborder le problème semble naturelle.

Si nous posons

N = n* + a = (/i -h fc)8 — (6« -+- a 6n — a),

nous pouvons utiliser les formes connues de u et de v, et obtenir ainsi une équation indéterminée entre deux variables a? et y, de la

forme

a:2 = (apj^ + H)2-.4(K~j)

H et K étant des nombres pouvant être aisément calculés.

Les valeurs entières de x et de y, y étant plus petit que K, détermineront les valeurs de a et v et donneront ainsi les facteurs de N.

On peut aussi traiter la question d'une autre manière, mais toujours au moyen d'une équation indéterminée. Les facteurs de N doivent, en effet, être de la forme apt -h i et Sp,s -f- i, par suite.

{2pi + i) {8ps + i) = N = 2i^ — I = 2 (2^-* — i) H- I.

(1) Voir J.-G. BiRCH dans le Messenger of Matheniatics d\i moîsd'oût 1902. Vol. XXII, pp. 52-55.