I PI ■■ I ■ ■■ ■—■M
multiplication abrégée
3590779^2 323î70^fi58 28726236tj6 4x8924289 1266772867
t3oi57q59569o£)49
|ÏT*—
HISTOIRE DES KOM&RES 5l
Le deuxième produit partiel vaut 9 fois le premier; le troisième » vaut 8 fois le premier ;
le cinquième d vaut 3 fois le quatrième.
— Multiplicatipii de deux nombres de 4^^^ cl^iffres ayant le même chiffre des dizaines.
Proposons-nous, par exemple, de multiplier 87 par 34.
Oi) multiplie )^ noq[)bre des dizaines du multiplicande par le multiplicateur augmenté du chiffre des unités du multiplicande, et on ajoute au produit ainsi obtenu, le produit des chiffres des unités.
37 X 34 = 3o X 4ï -i- 7 X 4 = i îï3q -^ r^S == ia58.
De même
Ce procédé est une application immédiate de la formule
(<| 4- t) (a -h c) = a (a 4- & -f- c) 4- bc,
— Multiplication de d^ux nombres de deux chilfrQ^ lorsque les deux chiffres de l'un des facteurs sont identiques.
Soit, par exemple, à multiplier 48 par 33.
On ajoute à 48 le chiffre de ses dizaines, 4i ce qqi dppne 5a.
On multiplie 5a par 3o et on fijouto au produit, le produit des chiffres des unités o X 3.
Ainsi
De même
63 X 44 = 69 X 4o 4- la = a 77a, 96 X 2a == io5 X ao -h la = aiia.
Ce procédé est une application de la formule
(lo . a-+-fc) U . c = (ii . a + è) 10 . c 4- 6c.
53 HÉGRÉATIONS MATHÉMATIQUES
— On obtient le carré d'un nombre de deux chiffres terminé par 5, en écrivant le nombre 30 à la suite du produit de son premier chiffre par le chiffre suivant.
Exemple :
75* = 7 X 8 X 100 + aS = 56a5.
La démonstration est intuitive :
(aby = (a X 10 -h 5)2 == a' X 100 -4- a X 10 X 5 X 2 + aS = a (a -f- i) X 100 4- 25.
On obtient le carré d'un nombre de deux chiffres dont le chiffre des dizaines est 5, en écrivant le carré du chiffre des unités à la suite de la somme obtenue en ajoutant à aS le chiffre des unités.
Exemple :
532 = (a5 -h 3) X 100 H- 9 = aSog.
(5a)2 = (5 X 10 -i- ay = 25 X 100 -f- a X loo -f- a« = (a5 + a) X 100 -h a*.
Procédé de multiplication russe Q), — Les paysans russes, quand ils doivent effectuer une multiplication, procèdent ordinairement de cette manière ; si, par exemple, il leur faut multiplier 35 par 4a, ils divisent le multiplicande par a, et en même temps doublent le multiplicateur, et si le multiplicande est impair, ils marquent le multiplicateur par un signe.
Si, par exemple, ils multiplient 35 par 4a, ils écrivent comme suit les nombres à côté l'un et l'autre
(*) Journal de Mathématiques Elémentaires, 1896. p. aa, a3 et 37.
Additionnant les nombres marqués du signe -f- on trouve le produit cherché 1470.
L'explication est simple : le produit ne change pas quand divisant le multiplicande par 2, on multiplie en même temps le multiplicateur par 2, Quand le multiplicande est pair, le produit n'a donc pas changé, tandis que si l'on a un multiplicande impair, dans le multiplicande suivant on néglige^, ce qui revient à négliger le multiplicateur précédent.
Ainsi
ji ^
Quelques procédés de divisions abrégées. — Nous avons déjà fait connaître des procédés de division par 9,99.999 ; .-. et par 98,996, ... etc.
Division par 5. — On multiplie le dividende par 2 et on sépare un chiffre sur la droite.
La moitié du chiffre ainsi séparé représente le reste de la division ; la partie à gauche de la virgule est le quotient.
Division par 26 = 5*. -r- On multiplie le dividende par 4 (2*) et on sépare deux chiffres sur la droite.
Le quart du nombre formé par les deux chiffres séparés donne le reste de la division, dont le quotient est représenté par la partie à gauche de la virgule.
Division par 126 = 5^. — On multiplie par 8 (2^) et on sépare trois chiffres sur la droite.
Le 8* du nombre formé par les 3 chiffres séparés représente le reste, le quotient est donné par la partie à gauche de la virgule.
pi vision par un nombre terminé par 5. Qn double le dividende
54 RÉCllÉAtld^S MATttÉMAttQtJES
et le ditlsewt. On eflectile la division, le qiiotieill IrdbVé ëfct le quotient cherché, mais le reste doit être divisé pat 2. Ainsi :
Le quotient est 4^ et te reste - = 3.
Remarques sur les diviseurs 9, 19, 29, 39, ..., 99, 109, 119, ... etc. — Si Ton divise Tunité par 9 et par une suite de notntres se terminant par 9, on aperçoit entre les différentes fractions déci— hiales consécutives une suite de relations doiit là loi est évideiile et d'où il ressort un procédé de division rapide.
En effet :
- = o,iti 11 ...
Le chiffre 5 une fois posé» on le divise par 2, ce qui donne a àvfec reste i, on divise 12 par 2, ce qui donne 6, on divise 6 par 2, ce qui donne 3, on divise 3 pat 2, ce qui donne 1 avec]reste i, oh divise II par 2, ce qui donne 5, avec i pour reste, on divise i5 par 2) ce qui donne 7 avec i pour reste, on divise 17 par 2^ ee qui donne 8 avec i pour reste, etc., elc<
Le chiffre 3 une fois posé, le reste étant i3i on dit, le tiers de i3 est 4 avec i pour reste, le tiers de i4 est 4 avec a pour reste, le tiers de 24 est 8, le tiers de 8 est 2 avec 2 pour reste, le tiers de aa est 7 avec I pour reste, le tiers de 17 est 5 avec 2 pour reste, le tiers de a5 est 8 avec i pour reste, etc», etc.
-^ == o,oî?564ïô256 ...
inSTOlhE DES IfOMBUES 55
LecbifFre a «ne fois poséi le reste étaht 22, on dit : le quart de il 3 est 5 avec 2 pour reste, le quart de 25 est 6 avec i pour reste, le quart de 16 est 4. le quart de 4 est i, le quart de i est o, le quart dé 10 est 2 avec 2 pour reste, etc., etc.
~- = Ojôiiiiin ...
— = o,oo84o3 ...
= 6,od3o25i25G28i4o7o35ï75879396o ...
ïfl9
— rz^ b,bo477 209 ' '
=^ O.OOlltl II ...
Dans le cas de - , chaque nombre décimal exprime le - du nombre
marqué par le chiffre antérieur : dans le cas de ~ , le - du nombre
marqué par le chiffre antérieur ; dans le cas de -^ , le i du nombre
marqué par le chiffre antérieur ; dans le cas de ^ , le > , etc. ;
dans le cas de — , le — du chiffre antérieur ; dans le cas de -- , le
— ; dans le cas de — ; le --, etc. ; dans le cas de — -; le :^; dans le II 119» la 199 ' 20'
cas de — , le — : etc. ; dans le cas de -— , le ' du chiffre précédent: 309» 21* ' 999 100 f
etc., etc.
Lorsque la fraction exprimant le rapport des deux nombres décimaux consécutifs du quotient a pour dénominateur un multiple de
10, comme dans le cas de — la fraction —, dans le cas de — la
fraction ^ , dans le cas de -^ la fraction -4- 1 il suffit évidemment
3o ' 1999 aoo *
de diviser par -, l, ... des tranches de 2, 3, ... chiffres.
Lorsque le dividende est plus grand que le diviseur, il est clair qu'il faut calculer d'abord la partie entière du quotient et le premier chiflre décimal, puis appliquer à ce premier nombre la fraction convenable.
Nous ajouterons ici une petite récréation, que nous empruntons au remarquable ouvrage de M. Laisant, Ylniliaiion mathématique. Si on demande quel est le plus grand nombre qu'on peut écrire en employant 3 fois le chiffre 1 et 3 fois le chiffre 0, au premier abord on serait tenté de dire que c'est le nombre 11 1000, ce n'est pas tout à fait exact. Le plus grand nombre que l'on peut écrire avec les chiffres 1 et o employés chacun 3 fois est l'unité suivi de dix
milliards de zéros. C'est le nombre 10**^ .
Le nombre 10^^ est égal à dix milliards. De même le plus grand nombre que l'on peut former avec le chiffre 9 pris 3 fois n'est pas
