LES NOMBRES DE MBRSC>'!IC

Par conséquent

4« -4- * -+- opst = .

On peut donc poser, par exemple

4« -4- < -f- Spst = a 4- 8/)?.

Dès lors

4« -f- * = a -h 8p.x et «i = p — 05

X difiTère de p et / est impair.

Ces résultats nous conduisent encore à une équation indéterminée.

Dans les deux cas, à moins que p ne soit un petit nombre, les équations résultantes ne sont pas abordables.

Troisième méthode. — Une méthode connue conduisant à la solution des problèmes de la nature de celui que nous avons en vue, c'est-à-dire des problèmes ayant pour objet la décomposition des grands nombres en facteurs, est basée sur la théorie des formes quadratiques (*). La méthode est d'un emploi difficile, et nous n'avons aucune raison nous laissant supposer qu'elle a pu être utilisée par un mathématicien du 17' siècle. Nous nous contentons donc d'y faire allusion ici.

Quatrième méthode. — Voici encore une autre manière de traiter la question.

Le problème sera résolu si nous pouvons trouver un nombre

(*) Pour un aperçu de la question voir G.-B. Mathetvs, Theory of num~ hers, part. I, Cambridge, i8gr, pp. 261-271. Voir aussi la note de Coie dans le Balletin oj the Americcm mathematUal Society, sur la décomposition des grands nombres en facteurs, décembre, 1908, pp. i34-i37; et Qaadratic partitions par A.-J.-G. Guihiingham, Londres, 1904.

Récréations Mathématiques a i

3a 3 l^GRÉATIONS MATHiMATIQVVS

premier impair q tel que Ton ait par rapport h oe nombre pris comme module

y eiz pouvant prendre toutes les valeurs possibles.

En admettant la possibilité de trouver des valeurs de q, y et 2 remplissant les conditions indiquées, on âutait

av (aP — i) = o

et, par suite 2^ ^i\ c'est-à-dire que q serait diviseur de N. Par exemple, par rapport au module aS, on a :

également

Par conséquent

gi6 .«^ aS ^ O et 2*^ -** I as o»

aans nous étendre plus longtemps sur ce sujet, nous po^vons dire que la détermination à priori des valeurs de g, j'. et ? noua entraînerait dans le domaine de Tinconnu.

Il eat possible (bien que peu probable selou nous) que la clef de Ténigme repose sur la détermination des règles permettant de trouver des valeurs de g, y et z remplissant les condition» ci-<lesjsuft

énoncées.

Par exemple, s'il était possible de connaître le reste de la division de 2* par un nombre premier q de la forme apf -h i.^ et si les restes étaient les mêmes pour x = u et x = v, nous aurions par rapport

au module q

et, pat conséquent Il Y a lieu cependant de prendre nale de ce M% que le CaMH

Lie IfOMBUGS DB IfinSBllNIS 8 33

(xrithmitiqne de Jaoobi et celui semblable dresié ptr Gunningham, s'ils étaient poursuivis suffisamment loin, nous permettraient de résoudre le problème par cette méthode.

Le eanên de Gunnlngham donne la solution de la congruence a' ^ R pour lo«is les modules premiers moindres que i ooo, mais il ne petit servir à la détermination des facteurs de N plus grands 4|ue t ooo. Il est cependant possible que pour de certaines formes de R ou de q, un tel canon puisse être oonstifuit tel qu41 nous conduirait à une solution du ptoblëme.

Cinquième méthode. — Il est à remarquer que les valeurs impaires dap indiquées par Mersenne sont des nombres premiers de Tune des quatres formes a^ rb i ou a? zb 3, mais on ne doit pas ea conclure que tous les nombres premiers de ces formes donnent pour N un nombre premier : par exemple, ce nombre N est composé pour

p=:a' + 3=ii ou pour p = a* — 3 = ag.

Cette observation a suggéré à plusieurs mathématiciens lidée qu'il serait possible de découvrir l'essai qu'il y aurait lieu de faire pour se rendre compte de la forme du nombre N quand p est de Tune des quatre formes précitées* Ceci bien entendu n'est qu'une simple conjecture. Il faut cependant dire à l'appui de cette opinion, qu'il est connu que Fermât (^) s*est occupé éeê nombres de cette forme.

Sixième mAUiQde. «— Le nombre N exprimé dans 1^ système de numération binaire est représenté par une suite de p chiffres i. On a dès lors pensé que la question relative à la détermination des facteurs de N pourrait avantageusement être traitée en faisant usage de ce systèn^e de numération, G. de Longchamps (*) a indiqué une

(1) Voir plus haut page agi.

(*) Comptes rendus de V Académie des Sci^nceSf P^irls, Nov. 1877, vol» LXXXX pp. g5o-d5a.

3a4 RÂGRÉATIOIffS MATHÉMATIQUES

méthode basée sur les propriétés du système, mais telle qu'elle est exposée elle ne pourrait être utilisée pour la recherche des grands diviseurs.

Nous inclinerions cependant à croire qu'il serait encore plus avantageux de faire intervenir le système de numération à base 4p ou à base 8/>. — Les nombres qui résulteraient de celte application étant alors exprimés par un nombre raisonnable et suffisamment petit de chiffres. En fait, si on adopte la dernière base mentionnée, sur les 35 cas pour lesquels les diviseurs de N sont connus, dans un seul seulement le plus petit facteur contient plus de a chiffres.

Septième méthode. — Nous avons réservé pour la fin l'exposition de la méthode qui nous semble la plus heureuse.

D'après le théorème de Fermât, si a; H- i est un nombre premier ^9 — I est divisible par a? -+- i . Dès lors, si api + i représente un nombre premier, nous aurons par rapport au module 2pt -h i

d'où

(aP ». i) (i 4- 2P 4- aV -1- ... 4- aC»'-*)/') = o.

Par conséquent, on connaîtra un diviseur de a^* — i • si on peut trouver une valeur de t telle que ap/ + i soit un nombre premier, premier avec le second facteur.

Cette méthode peut être employée pour établir le théorème d'Euler de I73a; car si nous posons < = i et si ap + i est un nombre premier, nous avons, par rapport au module a p >H i

(aP — i) (a^ -H i) = o.

Par suite, a*» ^ i , si a*» + i est premier avec ap + i. 1

Tel est le cas pour p = 4 'h + 3. Alors ap -h i est facteur de N

pour p = II, a3, 83, i3i, 179, 191, a39 et a5i, car pour ces

diverses valeurs ap 4- i est premier.

Le problème des nombres de Mersenne est un cas particulier du

LES ROBfBRES DB liERSBKNE 3a5

problème relatif à la détermination des facteurs de a'* — i . Cette dernière question a fait l'objet des recherches de bien des mathématiciens et un aperçu des conclusions auxquelles ils sont arrivés a été donné par Bickmore (^). Nous devons également mentionner la méthode générale suggérée par F. W. Lawrence (') pour la décompo* sition en facteurs d'un grand nombre quelconque : il est possible que Fermât ait employé quelque méthode analogue.

Enfin nous ajouterons qu'on a imaginé des machines {^^ permettant de vérifier si un nombre est premier ou non, mais il n'est pas venu à notre connaissance qu'il ait encore été construit de telles machines convenables pour des nombres aussi grands que ceux compris dans les nombres de Mersenne.

(*) Messenger of MathematicSf Cambridge, 1895-1896, vol. XXV, pp. i-44; également 1896- 1897, vol. XXVI, pp. i-38; voir aussi une note par M. E.-B. EscoTT dans le Messenger, 1903- 19049 vol. XXXIII, p. 49.

(•) Messenger of Mathematics^ Cambridge, 1894-1896, vol. XXIV, pp. 100-109; QuarUrly Journal of Mathematics, 1896, vol. XXVIII, pp. 285-3 II ; et Transactions of the London mathematical Society , mai i3, 1897, vol. XXVm, pp. 465-475.

(*) F.-W^. Lawrbncb, Quarterly Journal of mathematics, 1896, déjk mentionné pp^ 3fo-3ii ; voir aussi G. -A. Laisant, Confies rendus de VAssocia-tion française pour ^avancement des Sciences, 1891 (Marseille), vol. XX, pp. i65-8.

COMPTABILITÉ