PREMIÈRE QUESTION
Dans ce qui suit nous nous abstenons pour le moment de faire aucune hypothèse sur la valeur de l'unité de temps adoptée, afin de laisser toute leur étendue aux résultats obtenus. Nous donnerons à cette unité non précisée le nom générique de période.
De plus, au lieu de considérer comme taux le revenu de loo francs pendant un an, nous prendrons i franc seulement comme capital de comparaison, et nous désignerons par t Tintérét produit par I franc au bout d'une période.
Cela posé cherchons à déterminer :
Le temps x [exprimé en périodes) pendant lequel il est possible à une personne possédant un capital A placé au taux t de dépenser périodique^ ment une somme a prélevée au commencement de chaque période.
Il est d'abord évident que la somme a dépensée périodiquement doit être supérieure 'au' revenu produit *dans une période par le capital A.
La personne considérée prélevant a au commencement de la pre-
RÉGRÉATIOlfS HATRJlfATIQUES
mière période, il lui rçste A •-* a et ce eapital est productif d'inté^ rets au taux t pour i franc. De sorte au^à la fin de la première période ou au commencement de la seconde, il est devenu
A -— o -4- (A — a)< =fl (A — a) (i"!- Ov^ sur ce nouveau capital on prélève encore a francs et il reste
Cette somme augmentée de ses intérêts pendant la seconde période, devient à la fin de cette seconde période ou au conimencement de la troisième
(A 'TT. a) (ï ^ t) ^a-i- [(A ^Q]ii -ht)^ç]i
= [(A - a) (n- /)-«](! 4-0 ou encore
(A -- a) (i 4- 0' «- fl (i H» 0-
De même à la fin de la troisième période ou au commencement de la quatrième, le capital restant est devenu :
(A - a) (i -+- ty — a (i -h /)2 -^ a (ï 4- f).
Sans pousser ces oalpuU plus loûi, on voit que l'on peut former le tableau suivant :
au commencement de
la I" période la 3® période la 3® période la 4* périodjB
Capital restant à la fin d^ chaque période u au eemmencement àe la période sulTjmto
(A - a) (1 -j- t), (A — a) (i -+. ty — a(i ^ t), (A — a) (n- ty -T' a(i -h 0' — «(i + 0.
(A — a) (i H- ty — a(ï + /)3 — a (i -h 0* — a(i -f- t).
la (a? — i)"" période a la £c** période a
{k — a){i -^ty-^-^aÇi -\-ty-^ — a{i +tY'* — ... — a(i 4- <).
GOMi»TABlLIT£ 33 1
On peut donc poser l'équation
ou
Les termes entre crochets forment une pn)gi>eisiQtt géôtnélrique, Ii| somme de ces termes a pour expression
f)t après substitution Téquation pren4 la Forme
A (, + /)x-. a Ciif-=4 ^ 0.
OU encore
On tire de là
