I -h A -4- B -h 2 AÂ' -h 2 B

régions, dont 2B au plus sont illimitées.

Si l'on ajoute b droites et d circonférences quelconques, le nombre précédent augmente de CJ -h 2 Cj.

Les trois théorèmes précédents sont dus à Steiner.

La Géométrie des régions. i63

LES POLYEDRES.

Nous commencerons par démontrer le théorème suivant (*) : Dans tout polyèdre convexe, le nombre des arêtes augmenté de deux est égal au nombre des faces augmenté du nombre des sommets. En d'autres termes, si Ton désigne respectivement par A, F, S les nombres des arêtes, des faces et des sommets du polyèdre, on a l'égalité

Considérons d'abord une surface polyédrale convexe ouverte, terminée à une ligne brisée plane ou gauche. Si l'on conserve les notations précédentes, les éléments de cette surface vérifieront la

relation

F4-S=iA-f- I.

En effet, cette formule est exacte dans le cas d'une seule face; car, pour un polygone, F = i et S = A. Il suffit donc de prouver que la formule étant vérifiée pour un certain nombre F de faces. Test encore pour une face en plus. Pour cela, modifions la ligne brisée qui termine la surface polyédrale, en ajoutant à cette surface un polygone ayant m côtés et m sommets. Cette nouvelle face laisse encore la surface ouverte, et son contour ne pourra coïncider entièrement avec celui de la ligne terminale primitive; si elle touche cette ligne par p arêtes communes, elle aura avec

(») Ce remarquable théorème est habituellement attribué à Euler (Novi comm. Petrop,, 1752); on le trouve dans les Œuvres inédites de Descartes, publiées par M, Foucher de Careil (t. II, p. 214; Paris, 1860}. La démonstration que nous donnons ici est due à Cauchy.

164 Septième récréation.

elle (p-h i) sommets communs. En désignant par A', F', S' le nombre des arêtes, des faces et des sommets de la nouvelle surface polyédrale, on aura donc

F'=:F-hi, S' = S-hm—{p-+-i) A'=zA-+-m-p,

et par suite

Et ainsi de suite, tant qu'on ne fermera pas le polyèdre.

Cela posé, revenons au cas d'un polyèdre convexe ; pour obtenir une surface polyédrale, il suffit d'enlever une face, ce qui ne modifie pas le nombre des sommets et des arêtes ; donc la relation proposée est vérifiée.

Si l'on désigne par y}, le nombre des faces à p arêtes, par Sp le nombre des sommets des angles polyèdres à p arêtes, on a les formules

S = 53 -t- ^4 -h . . . -H Sp-h . . . ,

2 A— 3/3 + 4/44- ... -hp/p-+- ..., 2S= 353 + 454 -h . . . -hpSp-\~ ... ;

on en déduit facilement

Si Ton conçoit la surface d'un polyèdre convexe décomposée en plusieurs portions, chaque portion étant une face seule, le théorème de Descartes a lieu entre le nombre des portions dont il s'agit, et l'on retrouve les théorèmes sur les réseaux géométriques.

La Géométrie des régions. i65

KxERciCE I. — Il n'existe aucun polyèdre convexe qui ne renferme au moins une face triangulaire ou un angle trièdre. — On a, en effet, la formule

Exercice 2. — Il n'existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces aient plus de cinq côtés ou dont tous les angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.

Exercice 3. — L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre des sommets diminué de deux.

Exercice 4. — Trouver le nombre des diagonales d'un polyèdre convexe. — Si Ton pose

M= 1.3./, -1-2. 4./, H- 3. 5/, -+-..., et si l'on désigne par D le nombre des diagonales, on a

8Drr (L-+-2)(L-+-4)-4M.

Exercice 5. — Le nombre des régions formées par n plans quelconques, tels que trois d'entre eux ne soient pas parallèles à une même droite et que quatre ne passent pas par un même point, est

et les régions fermées sont en nombre Cj.j.

Exercice 6. — Trouver le nombre des régions limitées par des systèmes de plans parallèles. — Si l'on désigne par/?,,/?,, ...,/?« les nombres des plans parallèles dans chaque système, par A, B, G leur somme, la somme de leurs produits deux à deux, la somme de leurs produits trois à trois, le nombre des régions est i -h A -4- B -h G, dont 2B -h 2 sont sans bornes, et les autres forment des solides.

Exercice 7. — Des systèmes de plans parallèles et m plans quelconques partagent l'espace en un nombre de régions qui ne surpasse pas

les régions incomplètement bornées sont en nombre

i06 Septième récréation.

Exercice 8. — On considère des systèmes de plans parallèles ;?,,;?„ >*»,Pn, et de sphères concentriques s,, 5„ ,,., et l'on désigne par A, B, C et par A', B', C les sommes des nombres p ets pris un à un, deux à deux, trois à trois ; cet ensemble partage l'espace en un nombre de régions au plus égal à

i+A-i-B + C-h2 ( AB' -H BA') -h 2 A' -f- 2C'.

Les régions illimitées sont au nombre de 2B-4- 2.

Exercice 9. — Le système formé par n plans quelconques (tels que trois d'entre eux ne soient pas parallèles à un même plan et que quatre d'entre eux ne passent pas par un même point) et m sphères quelconques partage l'espace en un nombre de régions au plus égal à

I H- « -h Cj 4- C,^ -h mn ( « — I) -h 2 m 4- 2 C J^ .

Les régions illimitées sont au nombre de 2 -h 2» (h — i ).