LA CAVERNE DALI BABA

Dans le même Ouvrage, Archimède observe encore que le produit de deux termes d'une progression géométrique ayant pour, premier terme l'unité s'obtient en ajoutant les rangs qu'ils occupent à partir de l'unité; c'est là l'embryon de cette admirable théorie des logarithmes qui ne vint au monde que deux mille ans plus tard, et qui sert de fondement aux règles et cercles à calcul dont nous parlons plus loin. Il considère les progressions géométriques indéfiniment prolongées dont la raison est plus petite que l'unité, et trouve la limite de la somme de leurs termes lorsque le nombre en augmente indéfiniment. Plus particulièrement, avec la progression géométrique

4 ib 64

de raison - et dont la somme des termes a ^ pour limite, il

obtient le volume de la pyramide et l'aire du segment de parabole, en montrant que les deux résultats proviennent du même théorème arithmétique. Il dit encore que les termes d'une progression géométrique, dont la raison surpasse l'unité d'une quantité aussi petite que Ton veut, arrivent à dépasser les termes correspondants d'une progression arithmétique dont la raison est aussi grande qu'on voudra. Nous citerons de ce fait analytique le résultat suivant. Supposons que l'on ait placé, au commencement de rère chrétienne, un centime à intérêts composés au taux de 5 pour 1 00 par an, et que l'on demande d'évaluer la somme produite par la capitalisation des intérêts à l'époque

4Ô Deuxième récréation.

actuelle. Il faut calculer le 1884* terme d'une progression géométrique commençant à o'',oi et ayant pour raison i, o5 ; c*est un nombre dont la partie entière a 38 chiffres. Pour nous faire une idée de cette somme véritablement prodigieuse, nous ne pourrions même pas la comparer à la totalité des métaux renfermés dans le sein de la terre. Mais prenons pour unité la somme représentée par une sphère d'or pur, dont le volume serait égal à celui de la Terre. Eh bien, si l'on suppose qu'une telle sphère tombe de minute en minute depuis le commencement de l'ère chrétienne, il faut encore attendre trois siècles pour que la somme représentée par toutes ces immenses boules d'or, au nombre de plus d'un milliard, soit égale à la valeur actuelle de notre centime capitalisé!