LE TAQUIN DE NEUF CASES AVEC UN SEUL PONT

On peut rendre le jeu plus difficile en supprimant l'un des dia-

Troisième récréation.

mètres, CL par exemple. Toutes les lignes peuvent alors être parcourues dans les deux sens.

Le jeu revient encore à un taquin de neuf cases sur lequel il n'y a plus qu'un seul pont {fig. 20).

Pour faciliter les explications qui vont suivre, remplaçons les

lettres par des chiffres. Huit pions, numérotés de i à 8, étant placés au hasard sur les cases, il s'agît de les ramener dans Fordre naturel.

On peut modifier leur disposition en tournant dans le rectangle de gauche ou dans celui de droite. Chacun de ces rectangles peut être parcouru, soit dans le sens de la marche des aiguilles d'une montre (que nous appellerons sens direct), soit dans le sens contraire (sens rétrograde}.

En faisant alterner convenablement ces mouvements, on pourra transformer comme on le voudra la disposition des pions donnée.

Soit, par exemple, la disposition 48672135, formée par des pions qui occupent les cases 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 de Idjig. 20.

Exécutons les mouvements suivants :

Le jeu du Caméléon et le jeu des jonctions de points.

t tour (sens rétrogr.) dans le rectangle de gauche. 86752134;

2 » » » droite.. 86713452;

2 » » » gauche. 71283456;

I » » » droite.. 71234568;

I » » » gauche. 12384567;

I » » » droite.. 12345678.

Mais il est assez difficile de déterminer à priori les mouvements à exécuter pour ramener dans Tordre naturel une disposition donnée.

II nous paraît préférable d'adopter la marche uniforme, indiquée par notre ami M. Delannoy.

Il est toujours possible et facile de mettre en place les jetons I, 2, 3, 4. Les quatre jetons restants donnent lieu à 24 permutations qui, d'après la règle générale donnée dans la Récréation sur le jeu du Taquin (Tome I, 2® édition, page 200), se divisent en deux classes, comprenant chacune 12 permutations :

La première classe, d'ordre pair (soit par le nombre des dérangements, soit par le nombre des cycles pairs), comprend les permutations pour lesquelles la solution est possible. Ce sont :

La deuxième, d'ordre impair, comprend les permutations pour lesquelles la solution est impossible :

Troisième récréation.

Il y a lieu de remarquer que, dans le jeu du Caméléon^ le nombre des permutations se réduit à 12, à cause de la lettre E répétée deux fois, et que ces 1 2 permutations correspondent toutes à des solutions possibles.

Supposons que, après avoir mis en place les pions i, 2, 3, 4, on ait la permutation 7685. Pour la transformer, on devra faire mouvoir au moins un pion de la première rangée verticale, car, si on ne faisait mouvoir que les pions 4, 7, 6, 8, 5, on ne pourrait que les faire tourner en cercle, sans changer leur ordre respectif.

Le pion qu'il est le plus simple de déplacer est le pion 3, voisin du pont.

Si nous amenions ce pion sur la case centrale ou sur Tune des* cases 4, 5, 8, il est facile de voir que, lorsqu'on le ramènerait à sa place, on retomberait sur la disposition primitive. Il faut donc amener le pion 3 soit sur la 6® case^ soit sur la 7®.

Amenons-le d'abord sur la 6", en faisant :

1 tour (sens direct) dans le rectangle de gauche. . 5 1 237684 ;

2 tours » » droite... 51284376.

Ramenons i et 2 à leur place, en faisant :

I tour (sens rétrogr.)dansle rectangle de gauche. 12864375.

Ramenons 3 à sa place, en faisant :

3 tours (sens direct) dans le rectangle de droite. . 12837564

I tour » » gauche. 41287563

I » i> » droite.. 41238756

I » (sensrétrogr.) » gauche. 12368754

Le jeu du caméléon et le jeu des jonctions de points. 95

Enfin, ramenons 4 à sa place, en faisant :

I tour (sens direct) dans le rectangle de droite. . 12346875 .

Les mouvements effectués ont changé la permutation 7685 en 6875 (transformation a), c'est-à-dire que les pions qui étaient sur la 4® et sur la 8* case n'ont pas été déplacés, tandis que le pion qui était sur la 5® case est venu sur la 7*, » » 6* » » 5®,

Si, partant de la même permutation 7685, nous amenons 3 sur la 7® case, et qu'ensuite nous ramenions successivement à leur place I et 2, puis 3 et enfin 4, d'une manière analogue à celle qui a été indiquée ci-dessus, la permutation 7685 est changée en 8657 (transformation (3), c'est-à-dire que les pions qui étaient sur les cases 4 et 6 n^ont pas changé de place, tandis que le pion qui était sur la 5® case est venu sur la 8'',

Examinons maintenant les permutations de la première classe et voyons comment on pourra, au moyen de l'une des transformations a ou p, les ramener dans l'ordre naturel.

45678. — Rien à faire, le problème est résolu.

45786. — Amenons 4 sur la 6® case, en faisant 2 tours (sens direct) dans le rectangle de droite; ce qui donne 86457. En appliquant à cette dernière permutation la transformation a, elle deviendra 84567 et il suffira de faire un tour en sens rétrograde,

Troisième récréation.

dans le rectangle de droite, pour que tous les pions occupent leurs cases respectives.

45867. — Amenons 4 sur la 8® case, nous aurons 58674 qui, par la transformation a, deviendra 56784, et le problème sera résolu.

46587. — Amenons 4 sur la 8® case, nous aurons 65874 qui, par la transformation p, deviendra 67845 ; le problème sera encore résolu, il suffira de tourner dans le rectangle de droite pour ramener chaque pion sur sa case.

Et ainsi de suite.

Désignons par 4, 5, 6, 7, 8 les dispositions dans lesquelles, le pion 4 occupant les 4% 5% 6% 7% 8* cases, on amène 3 sur la 6^; par 4', 5', 6', 7', 8' les dispositions dans lesquelles, le pion 4 occupant les mêmes cases, on amène 3 sur la 7®.

Nous pourrons indiquer, par le Tableau suivant, la marche à suivre pour chaque permutation.

Pour 8765, il faudra faire une transposition quelconque, 4 par exemple, on aura 7685 qui, par la transposition 5', deviendra

La pratique du taquin de neuf cases avec un seul pont donne lieu à la règle suivante :

Mettre en place les pions i, 2, 3 ;

Lire, dans le sens direct, à partir du pion 4, le nombre formé par les quatre derniers chiffres ;

Le jeu du Caméléon et le jeu des jonctions de points.

Se reporter à la Table ci-dessus (qu'il est facile d'apprendre par cœur) pour savoir sur quelle case il faut amener les pions 4 et 3 ;

Ramener à leur place les pions i et 2, puis le pion 3 et enfin le pion 4.

Tous les pions seront alors placés dans l'ordre naturel.