SUR LE

EXERaCES SUR LE CALCUL DIFFERENTIEL.

Problème n9 i.

Etudier les variations de la fonction

j^ = X -— - ungx — -sin j:

quand x varie de zéro à - • Je calcule -r- :

aa:

(îy I 2 Scos'x- — I — 2C0S*.r -- z= I — 5 ; cosx = 5 5

dy , V 2 cos' j? — cos a: — I

— = I — cos:r) r »

dx ^ ' ocos^iT

dy (l — COSJ:)'(2COSar -+- i)

dx 3 cos'x ,

T. — Bec. I

Donc — est toujours négatif^ y décroît sans cesse quand x

dx

varie de zéro à -> et, comme y==^ o pour a: = o, j^ est négatif dans tout cet intervalle \ ainsi, x dAiignant un arc compris entre zéro et - ? on a

V équation

a: < - tang.r 4- - siri:r, 6 o

Problème n» 2.

{i) arc tang^ --—-—== 771

a-t-elle des racines réelles ?

Considérons la fonction

nous trouverons

arc

tangor —

dx

(l -h or

cette dérivée étant toujours positive, y augmente constamment quand x varie de zéro à -j pour x = o^j =-o\ pour

x = -f- co , j^ = - 5 quand on change j: en — a:, 7 se change

en — j^. Donc l'équation (1) aura une racine réelle si m est

compris entre et H — 5 cette racine aura du reste le

sii^ne de m; si m est en dehors des limites précédentes, il n*y aura aucune racine réelle.

Problème n» 3.

Combien l'équation

arc tang JT — mx = o,

dans laquelle m est une quantité positivée, a-t-elle de racines positives ?

En prenant arctangx <^ -, considérons la fonction

j- =r arc tango: — m.r,

qui donne lieu à la dérivée

df I î — m — m.r^

dx I ■+• a:' J H- a;'

dy , Si m est plus grand que i , y- étant toujours négatif, y dé-

croit sans cesse : il varie donc de zéro à — oo quand x varie de zéro à -f- oo •, si m est plus petit que i, la dérivée

est positive quand x varie de zéro k i / '- ^y augmenltî

depuis zéro jusqu'à un certain maximum

y^ =z arc tang i / \jm — m' ,

pour décroître ensuite de ce maximum y^ jusqu'à — oo ^

quand x varie de i/ à -}- oo 5 donc, dans le cas de

m<[i, Inéquation proposée a une racine positive et une seule.