PB£MI£EZ PARTIS
ProUèma n« 4.
Faire connaître le nombre de racines comprises entre zéro et it de l'équation
(i) — \— i=rm,
dans laquelle m désigne une quantité positive et a un
angle compris entre zéro et -• (Cette éqaation se présente
dans le calcul de l'orbite d'une planète à l'aide dé trois observations.)
ConsUiiisons la courbe qui a pour équation
sînfo: — a) sin^j:
on trouve
djr çînf cos(a; — a) — 4^os^sîQ(-^ — «)
dx sin^x
{fy cosjrcosfar — a) [tangx — /^taLng{x — a)]
dx siû*:r
Cherchons les valeurs de x qui annulent
tangx — 4^°S('^ — *)»
nous aurons
, , 3 zhi'Q — ïô tangua
(2^ tango: = ^^^ ^— •
^ ^ 2tanga
Supposons d'abord tanga > j 5 alors les valeurs que nous
venons de trouver pour tango: sont imaginaires^ -^ est
toujours positif pour les valeurs de x comprises entre zéro et TT J donc y croit sans cesse de — c» à -{- » quand x varie
de zéro à tt. Donc, dans ce cas, Téquation (i) admet une racine et une seule.
Supposons maintenant (fig» i) tanga <^ y? les deux valeurs de tango:, fournies par Téquation (2), sont réelles et positives. Soient x* et x" les angles aigus correspondants \ ce variant de zéro à x\ y croit de — 00 jusqu'à un certain maximum^'] \y décroît ensuite jusqu'à un certain minimum Y^ ]> o, qu'il atteint pour x = x"\ enfin, x variant de x^* à TT, ^ croît de j^j à -*- 00 .
Fîg. I.
Si donc m est plus petit que j^„ Téquation (i) aura une seule racine entre zéro et tt 5 elle en aura trois si m est compris entre y^ et j^i, et une seule si m est plus grand que ji.
Problème n^ 5.
Combien V équation
dans laquelle a désigne un arc compris entre zéro et -1 et m une quantité positive, a-t-elle de racines réelles?
6 raCMlÊKE
Je Tais construire la cotiri>e qui a pour ëquatxm
jr=zxe » ^"",
les abscisses des points de rencontre de cette courbe avec la droite j- = m seront les racines cherchées. Formons — j
JT— -»
le signe de cette dérivée sera le même que celui de l'expression
— [2J- — sina(j:'-4- i]'].
Les deux racines de l'équation
sina
sont
ce a
tanff — et cot — :
on aura donc
dr sina/ a\ ( a\ -~^('-~)
remarquons que tang-est plus petit que cot-- Pour ar = o, ^ se présente sous la forme o X QC : on trouve que y est infini ; — sera négatif tant que x sera plus petit que
^^g ~'' J^ ^^^ donc décroissant : son minimum est
sina/, « .a\ CL (UDf COl-J
^,=:tang-^ » \ » »/,
EXEUCICES Sun LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 7
OC étant compris entre tang - et cot-» ~- est positif ; y croit jusqu'à un maximum qui a lieu pour a: = cot-^ et qui est
Xi z= cet - e-^**.
Enfîn, X variant de cot - à -f-oo ,y décroit sans cesse de
y^ à zéro. Si donc m est plus grand que cot- e~*****, Téquation (i) aura une seule racine réelle 5 cette racine sera com-
prise entre zéro et tang -• Si m est compris entre cot - e
Fîg. a.
— co««t
et tang-e*^*, Téquation (i) aura trois racines réelles : une
entre zéro et tang-> la deuxième entre tang- et cot-? la
troisième plus grande que cot-« Si tw est plus petit que
tang -e*°'*, Téquation (i) n*aura qu'une racine réelle plus
grande que cot-*
On peut remarquer que /ijK« = ^ 5 cherchons les variations dej^i et de j^j quand a varie de zéro à -• On a
dfx ces' a
dcK.
2 cos' -
donc, a variant de zéro à - 1 j^i croît de zéro à i et, par suite,
j , décroît de -H 00 à 1^ ainsî ces deux quantités, d'abord très-différentes, finissent par devenir égales. La fonction
yz=xe *^ "'
n'a plus de maximum ni de minimum quand x varie de zéro à -f- 00 5 elle décroit constamment de H- oo à zéro. La dérivée
s'annule bien pour a: :^ i, mais sans changer de signe.
Problème n» 6.
Combien V équation ( I ) arc tangx — -^— — - — - = o
a- 1- elle de racines réelles? On prend dans tous les cas lu valeur de arc tango: entre les limites et -\ —
Construisons la courbe qui a pour équation
et il nous suffira de chercher les points où cette courbe coupe l'axe des x. L'équation (a) ne changeant pas quand on change a: en — a: et ^ en — JT^ '^ courbe admet l'origine pour centre \ les racines cherchées- sont donc deux à deux égales et de signes contraires. Pour j: = o, j = o\ pour
X = H- 00 , la fraction 5-— ^ — r n -> est nulle, r est égal à
te dy
~ • Afin de savoir comment varie j^ je forme — •, je trouve
dy __ I
dx 1 H- J7*
et, après certaines réductions, il vient
dy i6^(3^^ — ix^ — i)
dx (n-or'J (3x^ + 14^'+ 3)'
ou bien
dy i6.r<(3x'-i- i)(a:* — 1)
di ~' (i -4- x') (3 JT^-H i4.r»-+- 3")' '
cette dérivée est négative pour x<^i^ positive pour x ^ i ; donc jr décroit tant que x est plus petit que i ; par conséquent, dans cet intervalle, la valeur de r est négative; son minimum est
pour X compris entre i et -h oo , j^ croît sans cesse \ il est
égal à H — pour x= -I- oo 5 donc il existe une valeur x^
comprise entre. -h i et -f-00 , qui annule y^ et il n'y en a qu'une seule. Pour x == ^(3, on trouve
quantité positive; donc x^ est compris entre t- et — • Ainsi
l'équation (i) admet les trois racines réelles o, -+- x© et — Xo, Xq étant compris entre j et ,•
*0 PREMliUB PAKTIE.
Problème n» 7.
L'équation
(i) €'yf^^'=.m{x ^sjx^—i)
dans laquelle on suppose m >o, est- elle vérifiée par une ou plusieurs valeurs de x supérieures à i?
Considérons la fonction
et demandons-nous si, x variant de -hi à H- oo , cette fonction peut devenir égale à m. Pour x = j , j^ = i •, pour x = -|-oo,j=-+-oo. De Téquation ( 2 ) nous tirons
logj = X ^x^ — I — log(j: H- y/x* — I ), 1 dy x^
-^ a toujours le signe -h ^ donc, x variant de -i- 1 à -4- oo ,
y augmente constamment de i à -h oo •, donc l'équation (1) admet une racine x supérieure à 1 , et une seule si m est plus grand que i : elle n'en admet pas si în est plus petit que I .
Problème n» 8.
L'équation tangz = z a-t^elle des racines imaginaires
de la forme z = X'hj' ^ — 1 ?
On sait que cette équation a une infinité de racines réelles', cherchons si elle admet des racines imaginaires.
EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. Il
Oii devra avoir, en faisant z = x -4- r \/ — i ,
z = tangz ou
M y sini.r -t- >^i/ — i)
fi) . / a7^-jf-i = tangz=:r —1 '-^h=--\
^ ' \ cos\x •^xsj—i)
sin 2 j: -f- sin ( 2/ \/ — i ) ^
C0S2ar 4- cos(2j sj — i)
mais
sin(2jrv/— '}= — :; — v — 'i
C0S(^2J y— Ijzzz —
il viendra donc
sin 7.x H \/ —
^2/ + er^r ' ces 2 a:
égalons les parties réelles et les coefficients de yj — i, et nous aurons
sin2.r
(3) \ cr—e-^r
ces 2 a: H
On tire de là, par division, en supposant x q\.j différents de zéro,
, , . sin 2 a: c^y — cr^y (4) — =
1t2 PREMIERE PARTIE.
Or le second membre de cette équation développé en série convergente est égal à
il est toujours supérieur à i, sauf pour j^ = o, auquel cas il est égal à i . Le premier membre de Téquation ( 4 ) est toujours plus petit que i \ Téquation (4) est donc impossible, et, par suite, il faut que, dans les équations (3), j: ou j^ soit nul. Je dis que, si x est égal à zéro, il en est forcément de même àey\ en effet, dans Téquation (2), faisons a: = o, et il viendra
5 evr—er^
ou bien
c'est-à-dire, en remplaçant les exponentielles par leurs développements en séries suivant les puissances de j'*,
y-L yK '
les termes du numérateur de la fraction du second membre sont respectivement inférieurs à ceux du dénominateur; donc le second membre est toujours plus petit que i, excepté pour y"=,o. Ainsi la dernière équation, pour être satisfaite, exige que y soit nul \ la supposition de j: = o entraîne donc j^ = o, et il ne reste plus qu'à faire r = o,
EXERCICES Sl}R LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. l3
auquel cas Téquation ( a) deviendra
X =z tangj?;
donc réquatîon tangz = z n'a pas de racines imaginaircsl
Problème n» 9.
. L'équation tang z = kz a-t-elle des racines imaginaires ? Faisons
et l'équation
(i) A'zz=: tangz
deviendra
(l) X(.r-f..;rv'-i) =
sm2x H V — '
Cette équation donne les deux suivantes :
sia2.r
C0S2Jr H
(3) { e'r^er^
on en déduit par division, en supposant x ^X, y différents
de zéro,
sin2J: é^^ — er'^y
*ix ^y
et nous avons vu, dans le problème précédent, que cette
équation est impossible; il faut donc. admettre) ou bien que j = o, et alors l'équation (i) n'aurait pas de racines imaginaires, ou bien que x==o. Dans Téquation (2), faisons :r == o, et nous aurons
^îr-f-^-v^-a
ou
Pour savoir si cette équation admet des racines réelles, je vais construire la courbe représentée par Téquation
er-hc-y
et je n'aurai qu'à chercher les points où cette courbe est coupée par la droite u = ky. On a
du
cfy {cr -4- e-r)
u croit constamment avec j^; pour j^ = o, m = o-, pour y = -i-oo , ?*== 15 nous obtenons ainsi [fig^'i) la branche
Fig. 3.
infinie OC tangente en O à la bissectrice de l'angle uOjr\ car, pour j:= o,
du
dy ~ *
EXEUCICES sua LE CALCUL difféhentiel. i5
La courbe est située au-dessous de cette tangente, car, en développant les exponentielles, on a
ur^y --^ 5
c'est à-dire
Enfin, l'origine étant le centre de la courbe, nous tracerons facilement la branche OC répondant aux valeurs négatives dej)^.
Cela posé, si h est plus grand, que \ , la droite u = hj est une droite telle que OB, comprise dans Tangle uOK\ elle ne coupe pas la courbe : l'équation (i) n*a donc pas de racines imaginaires.
Si /r est plus petit que i , la droite u :=:= liy est comprise dans r angle AOj^ : elle coupe la courbe en deux points C et C'^ on trouve deux valeurs H-Jo ^t — jç^ pour j)^. La conclusion est donc la suivante :
L'équation tang-2==Az n'a pas de racines imaginaires si h est plus grand que i \ elle en a deux, et deux seulement,
si=— .r«V^— I et z^ — ^^r^sT-x,
si h est plus petit que i .
Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer les propositions suivantes :
1° U équation tang^ ==hz -^ h^ où h n'est pas nul, na pas de racines imaginaires si h est égal à zéro, ou plus petit que zéro,
2° L'équation tang^ = — - .- na pas de racines imaginaires si a est plus grand que J, b étant positif.
l6 PIŒHIÈRE PARTIE.
3° L'équation tangz= ^n a que des racines réelles
et des racines imaginaires de la forme « = Ç ^ — i , elle n'a point de racines imaginaires dans lesquelles la partie réelle soit différente de zéro.
Remarque. — Ce qui précède est tiré presque textuellement du premier volumei des anciens Exercices de Mathématiques de Canchy. ,
> Problème n« 10.
Appliquer la formule de Leibnitz à la recherche de i expression
La formule de Leibnitz est
<f".tt(' d'^v n du flf«-'f»
d.L^ dx^ I dx da^^
nous ferons ici et nous trouverons
On peut obtenir cette dérivée d'une autre façon; en effet, en développant (i — x)" par la formule du binôme, on trouve
On a donc aussi
(in — l)(2/i — 2). . . «j:»-«-4-. . . .
Comparons les expressions (i) et (2) deU„, et, en particulier, les coefficients de x^ dans ces deux expressions, et nous trouverons
d'où
/nY (/2 H- i)(/H- 2). . . 2/1
ce qui est une formule connue pour Texpression de la somme des carrés des coefficients du binôme.
Problème n« 11.
Prouver que l'on a
«-' /x— cota\ Ffx) ?^ \ I -h ar^ j ~" (^•-'-l-i)'»'
OÙ F(x) est un polynôme de degré n-^ montrer que, quel que soit l'angle a, V équation F(x) = o a toutes ses racines réelles, et donner l'expression de ces racines.
On a en eflfet, en faisant pour un instant cota = a.
X — a ifi — ayj — i i -f- a \J — 1 |
T. — Rec, 2
l8 PREMIÈRE PARTIE.
et, en prenant les dérivées {n — i )**«•',
