I .2. . ,{n — ij d.r

Nous avons donc

F(a:) = LJ1- , .2.3. . .(« - l)

expression d'où les imaginaires doivent disparaître ^ faisons et il viendra

I r (i — a^ — i)(cos/20 — ^ — I sin/2ô)l sin"ô L-f-(i -f. a /^) (cos/10 -4- ^^sin/iO) j

r- -: — - (cos/2 0 — ûf sin/i ô )

sin" ô

2$in/zO sin"0

(cot/iô — cota).

Ainsi les racines de Téquation Y[x) = o seront données par l'équation

tang/iO = tanga;

ces racines seront donc

a /a ïr\ /a n — i \ ar,= tang-î a7î=tangl -H~- jî«»M ar„=tangl-H ir J -

Problème n« 12.

Prouver que la fonction y de x définie par V équation

(i) arccosJ = log^^j

vérifie V équation différentielle linéaire

Eu difTérentiant une première fois réquation (i), on trouve

dy dx

ou bien

dy I

Différentions de nouveau, et nous aurons

da? dx Jq% y\ dx

ou, en tenant compte de l'équation (3),

d'^r dy

différentions n fois à Taide de la formule de Leîbnîtz, et il viendra

.r* -, ^- -4- nnx , j;. -f- n[n — i) --^ -t- -^ -; — tt

fin y fin y

en réduisant, on tombe sur Téquation (2).

20 P&EMIEEE PARTIE.

Problème n^ 13.

Trouver Iti dérivée n'*"" dey = cf.

Ona

dx *' '

On est conduit à poser

Q„ étant un polynôme de la forme

Il faut trouver la loi des coefficients ^i, a,, . . . , a„i. Des deux équations (i) et (a), je tire

Je prends la dérivée n'^'"' du premier membre de cette équation, en appliquant la formule de Leibnitz, et j'obtiens

dans cette équation, je remplace ^^, -> ,— > ^, respec-

tîvement par

valeurs tîrëes de la formule (3), et je trouve, en suppriniant le facteur commun e^^

(6) Qn+i— (2Wa:-l-l)Q„-|-/2(/2 — l)x'Q„.,=:0;

nous avons ainsi une relation entre les trois polynômes consécutifs Q„,, Q„, Q„+i.

Je diflférentie la formule (3), ce qui me donne

fi^+iy

(iaf^^

^ ==: (— i)»^ i ar-^« -^ — (2/1:1: H- l)ar-^'"'^Çln Y

ou bien, en remplaçant ^^ par ( — i)""*"*J:^"'"""'Qn+i^',

Comparant cette formule à la formule (6), on en conclut

Voilà encore une relation importante entre nos polynômes. Je dilTérentie les deux membres de la dernière équation, je trouve

la formule (7), où l'on remplace n par n — i , donne

et, des deux dernières formules, on déduit (8) î?!9? = „(„,).(„ 2) Q,,.

Dans l'expression (6), je remplace n par n — i, ce qui me donne

et, entre les équations (7), (8), (9), j'élimine Q„»i etQ„2. Je suis ainsi conduit à l'équation

Nous avons ainsi formé une équation différentielle li--* néaire du second ordre à laquelle satisfait le polynôme Q„. Il ne reste plus qu'à substituer l'expression (4) de Q„ dans cette équation, et, en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de a:, on aura des relations propres à déterminer les coefficients a^, a,, . . . , a„i. Le coefficient de x^ est, comme on s'en assure aisément.

^Ap {P — ') — 2p{n — i)-hn(n — i)] — {p-h i)flp+,

• «/^(«-~^)(^--/^ — O—fP-^-O^/^i- On aura donc

«/'^«- JZ^, ^/>5

en faisant successivement /? = o, i, 2, . • . , et remplaçant

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉREfiTIEL.

aQ par i , on trouvera

Nous aurons donc

«^ iH (n — i)x

Problème n« 14.

Trouv^er la dérwée n'*'"' c?e cp ( - j Soient jr = 9^^^, a=i;

on trouve successivement

cfy

d^y^ dx^

= - ZïC?"!") + 6x?'(«) +6.r«.p(«)],

rfjT"

[î»C")(tt) -f- 6,^y(«-')(«) -H ^,.rîç(«-')(tt) 4-. . .J,

les coefficients b^^h^^. , , étant indépendants de la tonctîon y(u) ^ faisons, pour déterminer ceis coefficients, y (u) = <?",

24 phehiere pàktie.

et nous aurons, en supprimant e* dans les deux membres,

comparant cette expression ^vec celle trouvée dans Texer-

cice précédent pour la dérivée ti**"*' de e^', nous voyons que

Oi=— (rt — TJ, 021= — ■ -\n — i) (/î — î),....

Nous avons donc, pour la formule cherchée,

n'n — i) , ., , , Si s 1

H- -^(w— l)(/i — 2).r«ç(''-')(tt)-f-... .

Problème n» 15.

Trouver la dérivée /i'**"* rf^ J^ = C"**. On trouve successivement

EXERCICES SUE LE CALCUL DIFFÉRENTIEL, aS

et Ton est conduit à poser

U„ étant un polynôme de la forme

(4) U„= (— 7.xY -*- fl2.r»-* H- a^x"^ -f- . . . ,

a2,a4,. . • désignant des coefficients qu'il s'agit de déterminer.

Des équations (i) et (2) on tire

et, en di£férentiant n fois et appliquant la formule de Leibnitz,

dans cette expression, je remplace les dérivées d'ordres 72 H- 1, 72 , n — I respectivement par e^-^'U^+i , e~''U„, e~''U„i, je supprime le facteur commun e~'*, et je trouve

(6) U,+, -h nxVn-h ^nVn-t = o.

Voilà une relation simple entre Irois polynômes consécutifs; je diUérentie l'expression (3), ce qui me donne

d^+ dx^

Je remplace dans cette équation ^^ par e~'*U„^.i, je supprime le facteur commun e""'*, et j'arrive à l'équation

dJ],

= U„+, -+- 2JrU„,

26 PREMIÈBE PARTIE.

qui, en vertu de la relation (6), se réduit à (7) — = -2«U,,;

j'ca déduis par la dîiférentiation

dx^ dx '

mais la formule (7), quand on y remplace n par n — t, donne

et des deux dernières formules je conclus

Dans la relation (6), en remplaçant n par n — i, je trouve

éliminant U„.i et U„2 entre les équations (7), (8), (9), il vient

Voilà donc une équation linéaire du second ordre à laquelle satisfait le polynôme U„.

Il ne nous reste plus qu*à remplacer dans cette équation U„ par l'expression (4)^ en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de a:, nous aurons des équations propres à déterminer les coefficients a,, a^,. . . . On trouve que le coefficient de x"~*''~' est égal à

[n — ip) [n — ip — \)atp-\r /{{p -f l) «»/,+>;

on a donc

faisant successivement p =zo^ i , q, . . . , nous aurons

wf/i— I;(/2 — 2)(n — 3) rto 1.2 2*

;»rr?

L'expression à laquelle nous arrivons pour la dérivée n* de é?~'* est donc

(il) <

i /ïf« — 1)(/2—- 2)f« — 3) , , ^ "1