TT^^ ^M--...J

L'équation

U,= o ou (2Xf ^ (2a:)'»-'-f-. . . = 0

a toutes ses racines réelles 5 cela résulte très-simplement du théorème de RoUe. En effet, la fonction y = e"*' s'annule pour x = — 00 eta:=:-f-oo^ entre ces limites , elle est fonction continue de x ^ donc la dérivée s'annule au moins une fois quand x varie de — oo à -j- oo ; soit « cette valeur dex qui annule la dérivée dej" ou e""'*Ui : elle annule donc Ui. Nous voyons que la dérivée s'annule pour x = — 00 , :r = a, j: = -h 00 ; entre ces limites, elle est fonction continue de X ; donc sa dérivée ou e""'*Uj s'annulera au moins pour deux valeurs |3 et y de a:, ^ étant compris entre — 00 et a, 7 entre a et 4- 00 5 jS et y sont donc les racines de l'équation Uj = o, qui est du second degré. On montrera de

28 PftEMlÈBE PAUTIE.

môme que la fonction e"''U„ s'annulant pour a: = — oo , a: = P, j: = y, j: = -|-qo, sa dérivée e~''Us aura trois racines cï, 8, Ç comprises, $ entre — oo et P, e entre (3 et y, ^ entre y et H- oo ^ l'équation Uj = o, qui est du troisième degré, aura donc ses trois racines réelles. On arrivera ainsi à montrer que Téquation U„ = o a toutes ses racines réelles. Nous laisserons au lecteur le soin de prouver que les racines de Téquation U„= o sont comprises, en valeur abso-

1 1 /n(n — I ) lue, entre -^ et i / -^ •

Les résultats précédents sont dus à M. Hermite.

Problème n« 16.

Trouver la dérwée rû^""^ dej=(f{x*).

Soient j:' = a, j^ = y (i/)', on trouve de proche en proche

^19 ^s<) • • • » étant des coefficients indépendants de la nature de la fonction q; nous les déterminerons en remplaçant dans l'équation précédentes^ par la fonction particulière e"''^ nous trouverons ainsi

'-^Jr^ = (~ ï/^'lt^^)"- ^.(a.r)'-'^ ^,(20:)»-*--. . .];

comparant cette expression avec l'expression ( 1 1 ) , on

EXERCICES SDR LE CALCtTL DIFFÉRENTIEL. HQ

voit que

e^i — 9 Oj — — 9 • • • •

et il en résulte la formule