J L 1 i (2x)«-*<^('«-»)(tt)-L

APPL1CA.TIONS.

. i*' Faîsons

f(«)=(i-«ri,

d'où

et nous trouverons

j~^ =1.3.0. . .(2W -h i) ( — J?)" VI — ^*

ou, en changeant /z en tz — i ,

'Z!!l!lL:ii'^^!nZ — (— 1>-' '3.5.. .(2/? — i)

Or, si Ton pose x = cos y, Texpression entre parenthèses

3o PREMIÈRE PARTIE.

devient

- cos**"* «sin® '■ ^-^, -' cos"""^© sm*o H- . . . .

C'est Texpression de siiiTi^ = 8in(7zarccosj:)^ on a donc

- — ^ —i = (-— I )"-• ^ '- sm (72 arc cosa? ) ;

cette formule est due à Jacobi.

1^ Posons © (a) = , n=im — i , il viendra

et la formule (11) donnera

r/'"arctane:i: , , « .

jj-r-^ = (-i)^'i.2.3...(m-,)

posons X = tangq), et il viendra J^arctanffj? , , « , x

(2sm<p)'"-' (2sm9)'""-'

3® Posons cj)(m) = ., . - ? n= jH — i, et nous aurons ... . 1.3. 5... (20 — 1), ,v~p— î-

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 3l

La formule (ii) donnera donc

d " arc sin:c ^ ^ . «v/^X"

djtf"

X [V^'-^' ^ (;n-i)(/n-2) /y/i-^AH L ^ 2(2/» — 3) \ X ) \

Problème n» 17.

Trouver la dérwée d* ordre n dej= arcsino:.

Nous avons déjà donné une expression de cette dérivée en partant de la formule qui fait connaître la dérivée n**** de y(j^*) ^ nous en aurions une nouvelle en cherchant

la dérivée In — - 1)""*' de -^= == (i — x) » (i 4- x)" ^ et

appliquant la formule de Leibnitz. Cette formule se trouve dans les Exercices de M. Frenet, p. 84.

Nous allons suivre une autre méthode, semblable à celle

employée dans le cas de e~'' et e' -, faisons

et nous aurons

^n+i arc sinx d'*x

Or on trouve successivement

dx X ^

3 a PREMIÈRE PARTIE.

d*X I -f- aJC*

d^r g-r 4- 6.r* djc* ^^ ^ ^ '

dx* I

on est conduit à poser

P„ étant un polynôme de degré /i, pair ou impair, en même

temps que /z, et dans lequel le coefficient de j:" est i .2.3 . . .w ;

d*r ainsi ce coefficient est 6 =1.2. 3 dans -— -> il est 24= 1.2. 3. 4

dans "— ? et Ton démontre sans peine que, si on le suppose

d'* Y égal à 1 .2. 3.. .72 dans — — > onletrouveraégalài .2.3...(«-+-i)

dans la dérivée suivante.

Pour déterminer les autres coefficients de P„, nous allons trouver une équation linéaire dont P„ est une solution, en opérant comme il suit : des équations (i) et (2) nous tirons

nous différentions n fois cette équation à Taide de la formule de Leibnkz, et nous trouvons

(i — :rM- -— inx — ^ —nin-— i)-

fin y û?n-»V

dz-" dx"-'

réduisant et remplaçant les dérivées par leurs valeurs tirées de Téquation (3), dans laquelle on remplace n par w -h i, n et « — I , nous aurons

(4) ?„+,— (2« + l)^P„— «'(l — -^'jP/i-i = O.

Je différentie l'équation (3), ce qui me donne, en remplaçant immédiatement -r-^^ par '^ — -^ »

1 — .r* dx

OU bien, en tenant compte de la relation (4),

De cette dernière équation je tire

dx^ dx

Or l'équation (5), quand on y change nenn — i , donne

nous concluons de là que

entre les équations (4), (5) et (6), nous éliminons P„i et Prt-tî et nous trouvons

d^V dV

VoUà une équation diflerentielle linéaire qui va nous servir T.— Rec, 3

à détermirier les coefficients du polynôme P„. Posons

P„ = A. j:" -4- Al a:»-* -h A, a:«-* 4-

Substituons cette expression dans Téquation (7), égalons à zéro les coefficients des diverses puissances de a:, et nous aurons les relations suivantes :

d*où Ton tire

Dans la formule

changeons x en x>J—i\ nous en déduirons

c^or"

EXERCICES son LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 35

et nous aurons cette expression du polynôme Q„

L'équation Q„= o a toutes ses racines réelles^ on le démontre à Taide du théorème de Rolle, comme, on Ta fait pour Téquation U„= o, à propos de la dérivée n"""' de e~'*.

En effet la fonction ——== 9 qui s'annule pour x = — 00

yi 4-.r*

et j:=-f- 00 , reste finie et continue dans tout cet intervalle ; donc sa dérivée ou * — - s'annule pour une valeur x=a

comprise entre — 00 et -4- 00 ; a est la racine unique de l'équation Q^ = o. L'expression ' — j s'annulant pour

a:== — 00, X = oL^ x= -h co y et restant finie et continue, sa dérivée s'annule au moins pour deux valeurs j3 et y de Xj P étant compris entre — oo et a, 7 entre a et -f- 00 5 cette

dérivée est d'ailleurs — j-; donc l'équation Q,=: o, qui

est du second degré, a ses deux racines réelles, |3 et y; en continuant ainsi de proche en proche, on arrive à démontrer que l'équation Q„ = o a toutes ses racines réelles.

Nous allons, pour terminer ce sujet, donner, d'après M. Hermite, un dernier moyen pour arriver à la dérivée

Considérons l'intégrale définie

J, (a — xjv'i— JT»

PREMIEBG PARTIE.

is laquelle « ]> i , et où, par conséquent, l'élément difletieî n'est jamais infini, excepté aux limites. Pour obir la valeur de cette intégrale, nous emploierons l^ subution

I + a cosf

«TTÏ

a + COS1I

(a.+ cosyj

est négatif; pour x = — i , nous prendrons (f = ir, ir X ^ + 1 , <!(=-<}, notre intégrale deviendra

ïous allons différentier relativement à a; nous pourrons aire sous le signe f, puisque l'élément différentiel reste : nous obtiendrons ainsi