feï— - — TTI / (" + cosT)"rff

Or, par la formule du binôme,

( a -f cosf )"= «"-+-- a»-« cosy H ^^ — ^^' <»»-» cos*(

et Ton a, du reste,

cosy^y = 0,

' COS^y/<?y =: G, O

/ cos*od<o^= — 7ir,

il viendra donc

= — ^ 7 rt« -i- -i i - û»-'

On en conclut, en divisant les deux membres par y/ — i ,

l'expression de — V» et celle de — , "^ ' , en changéant a en a ^ — i .

Trouver la dérivée n'*"' de j =ç{e'). Posons u = e*, et nous trouverons successivement

jur déterminer les coefficients qui sont indépendants de la iture de la ibnction y, je ferai y(u)=: «'= e"; l'équa- 3n (i) deviendra, après la suppression du facteur com-

, ,L,.,..£fizi!)^„.»l--0(.-')^..,

ins cette équation , je fais successivement z = a . 3 . . . , ■■ qui me donue

EICERGIGES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. ig

on a génëraiement

m , mim — i) , .

a^z=rri!^ [m — i.'H ^ '-{m — 2)"—. . ..

On saura ainsî trouver la dérivée ti**"'* d'une fonction de sinx et cosj:, en remplaçant sino^et cosx respectivement

par et • Si, par exemple, ^on

veut trauver la dérivée /i'*"' de tangj:, on aura

e**^ — er'^f-^ I e^^--^ — i i tangarziz r= izi — r= ,^ — %

ou bien, en faisant

il viendra

^ — I tang^

comme

il viendra

Troui^er la dénuée w'*'"' c?<3j^=/log(a:).

Je vais faire un changement de variable en posant

log jr = u,

d*ou je tîre

PEEMIERE PARTIE.

X = C", dx=i (fdu.

J'aurai successivement

d^ dx^

du'

. d^Y . dy

du^ du

du\ du)

d ( d^Y , dy\

du \ du^ du]

du^

é/tt'

On peut écrire symboliquement

d^y do-}

d^y dx^

du \du du \du

— Ih

en convenant, une fois les multiplications faites, de rem-

9 • • • par

du^ du* Nous sommes donc conduits à poser

Je dis que cette formule est générale; je vais prouver que, si elle est vraie pour la w**"** dérivée, elle Test aussi pour la (/ï -I- 1 )'**"'. En effet, posons

di^

et nous aurons

Former -j— > dans notre notation symbolique, c'est mulliplier U par -^ ; nous aurons donc symboliquement

dx^+'

ce qui démontre la généralité de la formule (i). Définissons les coefficients Ai, Aj, . . . , A„j par la formule

remplaçons dans l'expression (i) e"""" par :r"", et nous aurons

D'après la formule (2), on voit que Aj est la somme des n — 1 premiers nombres 5 A, est la somme des produits de ces nombres deux à deux, etc.

Problème n» 20.

Montrer que la Jonction u= y/x* -i-j^-i- z* vérifie l ^équation

d*u d*Uj, d*u d*u ' d*u d*u

r-7 + -TT -*- 2 , , , . -f- 2 , . , , -f- 2 , , , . = o.

<ir* df* dz' dy^dz" dz'd.r^ ds^df*

Ou trouve aisément

df'

{:r^-hr'-hz'y

dz'

et Ton en conclut

dx^ djr^ dz" ^ ,^ Ji^ yij^ z'^

On trouve maintenant

d'^v ix^ — /' — z^

[x^ -^ y"^ -^ z^Y d*v iy^ — 2' — x"^

d'où

rf'p d'^v d^v

dx^ df^ dz^

mais, en se reportant à la définition (i) de ç', on trouve que

- est égal a

dx^ dy^ dz

-H -rr 4- 2 . .. , , -I- 2 . , , . ■+■ 2

djù* dy* dz* df^dz^ dz'dx^ dx'dy^''

donc cette dernière expression est nulle identiquement.

Problème no 21.

Que déifient l'équation

€ny d^y . d'y d^y d^y d^y

}- Y* h Z^ hyz — r— -f- ZJS ^— -f- jry

djc^ dy^ dz^ dydz dzdx dxdy

quand on remplace les variables indépendantes x^ y^ z par les nouvelles variables X, Y, Z, liées aux premières par les relations x = YZ, y = ZX , z = XY ?

On a les formules

y^ dy dy

dy ' * dz

dy dy

dz dx

dx dy

dX^

= Z^ -1-2 YZ H- Y^ dy' dydz dz'

dY'

dz' dzdx dx'

dZ'

dx' dxdy dy'

Multipliant les trois dernières équations par X', Y', Z', tenant compte des relations entre x^j^ z et X, Y, Z, nous trouvons

/ d'y d'y d'y d'y d'y d'y\ \''l^'^^^'^'^^^'dydz^'^^x-^^^^

= '''dX'-^'''dY'^'''dZ'='''

PUEMIÈBE PARTIE.

Problème n« 22.

rf'V d*\ d^y

Que déifient l'expression -^^ -h -^j-^ -4- -^^ quand on

dx^ dy* dz^

remplace les i»ariables indépendantes x^ y^ z^ considérées comme étant les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque, par les noui^elles variables x\ y\ z\ coor^ données du même point par rapport à de noui^eaux axes rectangulaires, ayant même origine que les premiers?

Soient

.t' z= ax -^ hy '^- cz,

y* ■=. a'x -h b'y -\- c'a, z' =z a"x -f- h" y -f- c"z, on trouve

d^ ~dx^

d\ ,dy „ dv

dx' dy' dz''

dx'

dy' ' "" dz''

-\-ia'a"

dy"" ' " dz'^

dy dz

dz'da^

dx dy

dx!'

dy'

dz'^

dy'dz

dz'dx'

da/dy'''

-^^"^^ d^'-^^^^'d^'-^^'' d?dP

En faisant la somme et tenant compte des relations connues entre les neuf cosinus, on trouve

dx^

■^dz' =

dy'^

d^\ dz'^

Problème n« 23.

Développer en série arcsinor, par la formule de Maclaurin.

Partons de la formule établie page 3 1 , savoir ^:m-i-i arcsinjr