I.2...(2/72-t-l) \ dx^'*'* /*=• 2,4-6...2W 2/n+l
et par suite
arcsmj: = - 4- - -- h j -. 4- . . .
. 2.4^6. . .(in — 2) in — r efi choisissant la seconde forme du reste
I (SaO* • .2/2
2ii-t-n
Remplaçant y*^*"+*^( 9 j:) par sa valeur déduite de l'équation (i), il viendra
Nous bornant aux valeurs positives de x, nous allons montrer que Ri„+i tend vers zéro, lorsque n tend vers l'infini, quand on a o <^ jc <^ i .
En effet la parenthèse de la dernière formule est plus petite que
laquelle expression est égale à - [(iH- 0a:)*"-f- (i — 0a:)*"] ^ on aura donc
Ra„+t< -^ ^— ^— r [(» + ôa:)-4- (1 - 0^)-],
2(, — ôî.r»)'"'*-^
ou bien
Or on a toujours au plus égal à i , et il en est de
EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉREI^TTIEL. 4?
même de — si x est plus petit que i; donc
I — Qx
donc
limR,„+,=ro
pour n infini.
La formule
arcsm:r = — i -H 7 -z- -h, . .
est ainsi démontrée pour les valeurs de x comprises entre — I et H- I ; elle subsiste encore pour x = -hi et pour ^ = — 1 , parce que, dans ces deux cas, la série du second membre reste convergente, et fonction continue de x.
Etudier les variations du rapport de la somme des aires des cercles tangents aux côtés d'un triangle à l'aire du cercle circonscrit au même triangle.
Soient /\ r«, r^, /^ les rayons des cercles tangents, R le rayon du cercle circonscrit 5 on a
Ta— /7tang-> /'ô^zptang-î rc=/7tang-5 /•== (/?-~c] tang--
xi ^ ^ ^
Des formules
abc
sin sinB sinC
on conclut
sinA 4- sinB --h sinC sinA -+- sinB — sinC
OU bien
cos — cos — cos- sin — sin — cos -
et il en résulte
r, z= 4R sin — cos — cos - ,
r^ == 4 R COS — sm — cos ->
r, =: 4R COS — cos - Sin - »
r = 4R Sin — sm - sm - •
Si donc on désigne par V le rapport — — 9
on aura
-7T V = sin' — cos* — cos* — h cos* — sm' - cos' - 10 222 222
-h cos' — cos' — sin* — h sm* — sm* — sm' - • 2 2 2 2 22
En remplaçant les sin et cos des demi-angles par leurs valeurs en ionction des cos des angles, et réduisant, on trouve
K V = I — cos A cosB cosC, ou bien
(1) -rV = i-i- cosAcosBcos(A H- B).
Telle est la fonction de deux Variables indépendantes qu'il s'agit d'étudier^ je forme le tableau des dérivées du pre-
EXËUCICES SDR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL.
mier et du second ordre :
= — cosB sin(2A -f- B),
8 dA
8 dh?
8 dkd^
cosAsm(2B -f- A),
2 cosBcos(2A-f- B),
cos(2A -f- 2B),
— 2COSAC0S(2B -f- A).
Je pose les équations — = o, — = o, ou bien
dA
dh
cosBsin(2A -f- B)==o,
cosA sin ( A + 2B) ^=:i o.
Les hypothèses
cosB = 0 et cosA = 0, ou A :
cc)sB=ro et siu( Ah-2B) = o, ou A: cosA = o et sin(2A H- B)=o, ou A =
sont inadmissibles^ il reste seulement
sin(2A H- B) = 0 et sin(A -f- 2B) = o.
Oïl doit donc avoir
TT
OU
ou
2A-|-B-=7r et A -f- 2B =r TT,
2A-+-B=io et A-4-2B = o,
2A-f-B = flr et A4-2B = 27r.
T. — Rec,
5o PREMIERE PARTIE»
Les premières de ces conditions donnent le triangle est donc équilatéral ; les dernières conduisent à
A r= G, B = o, C = 7r, A = o, B = TT, C = o,
c'est-à-dire que le triangle a ses trois côtés en ligne droite. Nous pouvons nous borner à ces deux résultats
(4) AirrO, B = 0, C=:7r.
Cherchons si chacun d'eux répond à un maximum ou un minimum de V. Pour les valeurs (3) de A, B, C, on a
ld^ I d^Y __i i^ d*y
8^""'' 8^/A^B""2' 8rfB'~"^'
on a donc
dA?
Nous avons donc un minimum ^ ainsi le rapport V est minimum quand le triangle est équilatéral, et alors sa valeur est 7.
Pour les valeurs (4) de A et B, on a
SdA'~ ^' 8 ^A^B "~ '• 8 5F'~~"^'
Les conditions — - < o, (-,^—7= ) — -777 -jz:- < o se trou-
dA' ^ \dAdBj dÂ} dB' ^
vent remplies^ on a un maximum. Donc le maximum du
EXERCICES SVH LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 5l
rapport V a lieu quand les trois côtés du triangle se trouvent couchés sur la même droite, et il est égal à i6.
On peut remarquer que, pour un triangle rectangle quelconque, V = 8.
Problème n» 25.
Etudier les ^variations du rapport de la somme des cir^ conférences tangentes aux côtés d'un triangle à la circonférence circonscrite au même triangle,
o . TT î 2 7rro-i- 2 7rréH- 27rre-f- 27rr
boit U le rapport ; on aura
