sm-cos

I d^\] . B . 2A-hB 7 'JH' = — sm - sm ,

4 dA* 2 2

4^A"5b= -cos(A + B),

Id^ =-sm~sm--.

Posons les équations — - = o, -j^ = o, c'est-à-dire

ou encore

c'est-à-dire

. B 2A-I-B sin — ces = o,

sm — ces = o,

sin(A-f-B) = sinA, sin (A -+*B) =sinB,

sin A = sinB == sinC.

Ces équations exigent que les trois angles A, B, C s égaux entre eux ou que deux d'entre eux soient nu • troisième étant égal à tt *, nous n*aurons donc à consîi que les deux cas suivants :

ÎT

A = Br=o.

Dans le premier cas, les valeurs des dérivées seco 4 ^A^ ~

-7» -7-T=rr = verilien

conditions ^ < o et ^^^^ j < o. O.. a

donc un maximum. Ainsi le rapport U est le plus grand possible quand le triangle est équilatéral, et alors sa valeur est 5.

Passons à Thypothèse (2)^ on trouve

I d'V 1 d^TJ

4 dA'

4 dAdB 2' 4 ^B'

de telle sorte que, si h et k désignent les accroissements de A et 6, la variation de U sera de même signe que

EXERCICES SUR LE CÂXCUL DIFFÉRElfTIEL. 53

fc ^A5b ^^ ^AA:. Elle pourra donc être à volonté positive

|i4^ ' par conséquent il n'y a ni maximum ni mi-

l' . ^ il est à remarquer que les angles A et 6 du

iU' I \^ peuvent pas être négatifs; donc h et k sont

^ j / I * " «^ âtifs, et le terme hk est toujours positif;

ï r* / / , aant A= o et B = o, on a un minimum relatif.

^ ^ i 1* le résultat de cette question et de la précé-

1 1 \ V ♦ 3 des surfaces des cercles tangents aux côtés

^ y ^\ 3 est toujours plus grande que y fois la surface

• 4 * conscrit, et moindre que i6 fois cette surface.

: J * 3 des circonférences tangentes aux côtés d'un

' f. * I , oujours plus grande que 4 fois la circonférence

f j ^ " * et moindre que 5 fois cette circonférence.

* I \ Problème n« 26.

^ ',er le maximum et le minimum, de la fonction

I • H- ^cospn- ccos7)'H- (flfsina + ôsinp -l-csin7)',

Ç ^le a^b^c désignent des nombres positifs don-

ne»» ^*' - i , ; 7 d^^ angles variables, *■ Nous écrirons

U = tf'4- ô'-hc'-f- 2 6c cos (p—y) -h 2 cflf cos (7 — a) H- 2 ûô ces (a— p) ,

et, en posant (3 — 7 = -^7 7 — « = J^? îl e*^ résultera

l'i) U = û' 4- 6* ^- c* H- nYabc;

en faisant encore

cos.r cosj cos(a:-hj^)

nous sommes ainsi conduits à chercher le maximum et le minimum de V, fonction de deux variables indépendantes. Formons le tableau des dérivées du premier et du second ordre

dV ûrxx sin(ar-f-jr)

djr d'Y

sin^ sin [x -\- x) ~b ~c

cos^ cos(je4-j)

COS,(.r-f-.r)

dxdy c

d^y cosjr cos(.r.-^x)

djr^ h c

Jes équations ^— =

dV o , -7- =r= o seront

djr

sinx sin(.rH-j) a c

smjr sin(x-i-j^)

Cherchons les solutions des équations (4)? on aperçoit de suite les suivantes :

r — TT,