T TT

et

5** x=nz — Aetj = ir — B,

6® x = TT H- A et j = ïT H- B.

Voyons si ces solutions répondent à des inaxîma ou à des ininima de la fonction Y.

1° La première solution donne

djL* a c do-dy c dy^ b c '

elle donne donc lieu aux inégalités

On a donc un maximum: ce maximum est — I- t H — > et

la valeur correspondante de U est

a' -h ^^ H- c^ -h 2 ^c -h nca •+■ 2ab:={a -+- b -\- c)*.

2^ La secondé solution nous fournit les valeurs suivantes des dérivées secondes :

dx* a c dxdjr c djr* b c

On trouve

/ </>v y d^\ rpy I

\djcdy J dx^ dy^ abc

Cette quantité sera négative si a est plus grand que è -+- c,

d'Y a — c et, comme -— = > cette expression sera positive 5 nous

aurons donc un minimum. Il n'y aurait ni maximum ni minimum si a était plus petit que i -j- c; le minimum de V

est 7- » et celui de D

flf'-h b^-^ c^-h 2bc — 2ca — 2ab = {a — b — c)',

3** Un calcul analogue au précédent montre que, en supposant b^a-i'C^ nous aurons un minimum ^ la valeur minima de U sera (b — a — c)'.

4° Si c^aH-i, on aura un minimum^ U sera égal à (c — a — b)\

5° X = t: — A, j^ = 7r — B5 nous trouverons

d^\ cosA cosC b dx^ a c ac

d-^y cosC

dxdy c

d^N cosB cosC a

dy"^ b c bc

d^Y y ^ ^ ____ ^ cos»C sin'C dxdy) dx^ dy^ ? c^

Cette quantité est négative, et -— > étant égal à — > est positif; nous avons donc un minimum.. La valeur correspon-

J ♦ J 17 ^ /cOSA COSB COSC\ n i tt

dante de V est — 1 ; ! ) et celle de U

a'+ 6'-i-c' — 2 6ccosA — 2cacosB — sa^cosC = 0.

6^ x = TT -h A, j' = 71 -+- B. Les valeurs des dérivées secondes sont les mêmes que dans le cas précédent ^ nous aurons donc encore un minimum^ la valeur de D est encore zéro 5 mais il faut remarquer que les deux dernières solutions n'existent que si aucun des côtés ne surpasse la somme des deux autres. Nous ferons, pour résumer la discussion, le tableau suivant :

quel

conques,

maximum,

ar — o,

minimum,

a:=.ir,

•X — Tti

^ = îr,

V=Cc-û — ^)*;

a<:ib-hc \ b<^c-i-a \ c<^a-i-a ]

X — Tt —

Le problème précédent a une signification géométrique très-simple 5 soit la figure OABC (Jig- 4)^ d^i^s laquelle

OA =^ a, AB = i, BC = c, les côtés faisant avec Oa' les angles a, (3, y: les coordonnées du point C sont

a cosa 4- ^ ces p -f- c cosy, a sin'a -h ô sin p -f- c sin /,

et Ton a par suite