U — OO
EXERCICES SUR LE CALCUL difféhentiel. Sg
" Ce qu'on demandait, c'était donc de trouver le maximum ou le minimum de la droite OC qui ferme le polygone, lorsque les côtés OA, AB, BC toiu'uent de toutes les façons possibles autour des points O, A, B, C, comme charnières.
^On voit de suite que le maximum de OC a lieu quand les trois côtés sont en ligne droite {Jig* 5), et dans ce cas
Fig. 5.
OC = fl -f- J -f- ci De même, en formant, quand c*est possible, un triangle avec les droites OA, AB, BC, on a
OC = o,
et c'est évidemment le minimum de OC ou de U.
Les minima qui n'ont lieu que si un côté est plus grand que la somme des deux autres correspondent au cas où les points OABC sont en ligne droite, dans l'ordre O, C, B', A ^ alors 0C'= OA — AB'— B'C'= a — b — c.
Problème n» 27.
Le lieu des points M tels que la somme des longueurs de deux normales MN, MN', menées à une même courbe ou à deux courbes données, soit constante, a pour tangente la bissectrice de l'angle des deux normales.
Soient a, Ç> les coordonnées du point M 5 o:, y, x\y' celles des points N et N', RIN = /, MN'= l\ on doit avoir
/ -f- /'= const.,
(l) dl'r-,dVz=zO.
6o Or
dl=i
(a — a:)doL 4- (p — r)^P ^a — •^)^^ "^ (P — j) ^r
et, la droite MN étant normale au lieu du point N, on a
(a — ar)r/j: + ( p — j) dj = O;
il reste donc seulement
Soit cp Tangle que fait la direction MN avec Taxe des x\ on a
tDonc
de même
dlz= — (cosyfi?a -H siny^P);
^/'= — (cos^'flfa -h sin^'^p),
et Téquation (i) devient
(C0S9 4- C08^')^a 4- (siny 4- sinç')^p = o,
doù
^ = tangl90«+
ce qui montre que la tangente au lieu du point M est la bissectrice de l'un des angles formés par les normales MN
et MN',
EXEB.GICES SDR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. 6l
Problème n^ 28.
Soient Mo M Varc d'une courbe, compté à partir d'un point fixe Mo jusqu'à un point quelconque M, G le centre de gratuité de l'arc M© M supposé homogène; on demande de trouver la tangente de la courbe lieu du point G.
Soient x ely les coordonnées du point M, Torigine étant en Mo, ^ la longueur de Tare Mo M, ^ et y] les coordonnées du point G^ on a les formules connues
jcds, sn= I yds;
on en déduit, en difTérentiant,
di dm dm x — Ti
ds ds di X — Ç
Donc la tangente cliercliée est la droite GM.
Problème n^ 29.
Troui^er le lieu géométrique du sommet d'un angle constant circonscrit à une cycloïde.
Je prends les équations de la cycloïde sous la forme X = a ( ç — siny ) , y = a cos cp. Soient <p et ç' les valeurs de la variable auxiliaire qui répondent aux points M et M' de contact de la cycloïde avec les côtés de l'angle circonscrit 5 soit cet angle égal à a \ l'angle de la tangente en M avec
Taxe des a: est , Tangle de la tangente en M' avec Ox
est — ; nous aurons donc
Nous poserons ^ = ^ ^ , et nous déduirons de là
l'équation de la tangente à la cycloïde au point M est
cos-
y — a[\ — cos^) = [x — «y -H «sin^)
sin-
OU
T" sin - — j: ces - = a I 2 sm ~ — ^
Remplaçons successivement dans cette équation cp par — et par ? et nous aurons pour les équations des
côtés de l'angle circonscrit
r sm-^
^ COS = 2 û i sm
a iL - ces —
, ^ — a J; — a /.4' — a \[< — a 'i — a\ Y sm -^^ a: cos = 2 a sm cos \ •
En résolvant ces deux équations, nous aurons en fonction de la variable auxiliaire tp les expressions suivantes des coordonnées d'un point quelconque du lieu ;
j:sina = a(\p sina — asln>|;],
