sina = rt(2sina — acosa — acos
ou bien, en divisant ces expressions par sina, et transportant les axes parallèlement à eux-mêmes en un point de Taxe desj^ dont l'ordonnée est a[v — a cota), il viendra
jc =:a[-lt ; — sin il ]
y sma ^J
Y = ai i : — cosJ;
\ sina
as
Je dis que le lieu cherché coïncide avec la courbe décrite par un point invariablement lié à un cercle de rayon a, qui roule sans glisser sur Taxe des x.
Soit, en effet {^fig* 6), le point M lié invariablement au cercle C qui roule sur Ox\ soient CM =: i, CA = «,
Fîg. 6.
BCA = (p 5 prenons pour origine Tun des points de l'axe des X que le point A vient occuper successivement après une, deux,... révolutions. Les coordonnées du point M
seront
X z=z a-h — b sin -^^
y z= a — ècos^';
elles coïncideront avec les coordonnées (i) d'un point quelconque du lieu, si Ton prend CM = i = —
aa
sma
Problème n<» 30.
Si Von considère dans un plan deux courbes quelconques, que l'on regarde comme correspondants les points pour lesquels les tangentes sont parallèles, et que, par un point fixe, on mène des droites égales et parallèles à celles qui réunissent deux points correspondants, la tangente à la noui^elle courbe est parallèle aux tangentes aux deux courbes aux points correspondants, et son arc est la somme ou la différence des arcs des deux courbes.
Soient en effet x et y les coordonnées d'un point quelconque de la première courbe, a l'angle de la tangente eu ce point avec Taxe des x, s Tare de cette courbe, compté à partir d'un point fixe jusqu'au point x^y^ soient x\ y' a et s' les quantités correspondantes pour la seconde courbe -, désignons, enfin par X et Y les coordonnées du point correspondant de la nouvelle courbe. Nous aurons
dx m ds ces a , dx' z= ds'cos a , dj- = dsûnct, dy = d/sin a,
les arcs étant comptés dans un^sens convenable, d'où nous
déduirons
dH = (ds' — ds) cosa,
dY = (ds' — ds) cosa;
mais, en désignant par S l'arc de nouvelle courbe, par A l'angle de sa tangente avec Taxe des x, on a aussi
dX = dS cosA, dY = dS sin A :
comparant ces valeurs de rfX et dY aux précédentes, on en conclut
A = a et dS = ds' — ds, d'où
S = 5' — 5 -f- const.
Si l'arc s venait à être compté en sens contraire sur la première courbe, on aurait
S = s' -{- s -h const.
Problème no 31.
Si Von mène par chaque point d'une courbe une droite de longueur donnée y faisant un angle constant auec la tangente, la normale à la courbe, lieu des extrémités de
cette droite, passe par le cent,re de courbure de la courbe proposée,
St)ient en effet a:, y les coordonnées d'un point quelconque de la courbe proposée, a Tangle que faît la tangenle en ce point avec O x, p le rayon de courbure, s la longueur de Tare compté d'un point fixe, i Tangle constant que fait avec la tangente de la courbe donnée la longueur constante' /, X et y les coordonnées de son extrémité. Nous aurons les formules suivantes :
j:, = x -f- /cos(a -h i),
Ji = r + ^sinfa -4- /), dx =: ds cosa =:: p cosa c?a, dy -zrzds sina =r p sina rfa, ri.r,= [p cosa — / sin (a + /)] rfa, djrx^= [p sina 4- /ces (a -+- /)] daL\
Téquation de la normale à la nouvelle courbe sera donc
Cette équation est satisfaite quand on y remplace X et Y par les coordonnées du centre de courbure de la courbe donnée,' lesquelles sont
X = .i: — psina, Y:= / -+- pcosa.
Problème n» 32,
On mène [fig* 7) ^^ tangente MT en un point d'une courbe représentée par V équation y=:f(^x)^ puis urie série de cordes parallèles à cette tangente; le lieu des
T. — Rec. 5
66 PREMIÈBE PAKTIE.
milieux P de ces cordes est une courbe qui passe au point M : on demande de trousser le coefficient angulaire de la tangente à la nouv^elle courbe, au point M.
Fig. 7.
Soîent X cl y les coordonnées du point M; menons M'M'' parallèle à la tangente MT et à une distance infiniment petite de cette tangente \ soient x* •=• x — A' et a:'' = x-h A'' les abscisses des points M' et M'' où cette parallèle coupe la courbe^ les ordonnées de ces deux points seront
ou, en développant par la série de Taylor,
y' =y - h'f (x) ^'ï^fl^x)-- !Ç /"{x) + . . . , y=y + h''/'{x) -H Ç/'{^) -+- Ç /-(.r) + . . . .
Écrirons que M'M" est parallèle à MT, nous aurons
or et
on aura donc
^'<')= FTF— : '
d'où, en efiectuant la division par A'' + A' et supprimant f'(x) de part et d'autre,
d'où Ton déduit, en supposant f" [x) ^ o,
En négligeant les termes du troisième ordre, on peut rem* placer, dans le second terme du second membre de l'équation précédente, A'' par A' 5 on trouve ainsi
Le coefficient angulaire de la tangente cherchée est la limite de celui de la droite MP, quand h' et, par suite, A" tendent vers zéro^ c'est donc la limite de
2 ^ __A^- AQ -^/(.r ^- h") -^ a/(^) ^
en remplaçant /(x — A') et /(a: H- A'') par leurs diéveloppements, on trouve
et en mettant pour. A'^ sa valeur (i), on aura
On peut, pour avoir la limite de u, remplacer, dans l'expression précédente, A'^ par h*\ on obtient ainsi, pour le coefficient angulaire de la courbe diamétrale en M,
Soient {fig* 8) a l'angle que fait la tangente MT avec Ox, |3 Tangle correspondant pour la courbe diamétrale, y l'angle
Fiç. 8.
de ces deux tangentes, p le rayon de courbure de la courbe donnée \ on aura
tang7 =
D'autre part, on a
[i±;/'Vi]~
EXEUCICES St]R LE CALCUL OrFFÉREJNTlEI . 69
d'où Ton tire
on déduit de là
d.r = fia ;
7l = ^/'W-,^l-/"Wl>
il en résulte
En appelant p' le rayon de courbure de la développée de la courbe proposée k cause de la relation p' == ~ » on aura
Soient C le point de la développée qui correspond au point M, CD parallèle à MT la normale à la développée; le triangle rectangle MCD donne
cotCMD = tangv = -— i= -^ :
