L- = /•, logp = ^a -f- loaa^ p
en appelant loga ^a constante : on a donc
On verra (p. 8o) que l'équation précédente défini une spirale logarithmique.
Problème n^ 33.
Trouver le lieu des centres des ellipses qui ont en un point donné un contact du troisième ordre avec une courbe donnée.
Prenons pour axe des x la tangente à la courbe au point considéré, et pour axe des j^ sa normale. ~
L'équation générale des ellipses tangentes à la courbe à l'origine sera
Il faut écrire qu'à l'origine j^'' et j^"' ont sur Tellipse des valeurs données met n^ celles qui conviennent à la courbe.
Diâérentiant l'équation (i) trois fois de suite, et faisant x = o<^ jr = o^ j'=^ o, on trouve
a 4- em = o,
/2^ 4- 3 bm = o, d'où
Le centre de l'ellipse (i) est donné par deux équations, dont l'une est
ax -r- bjrz=o^
et, en tenant compte de la relation trouvée entre a et &, il vient
Y -\ XT=zO\
donc le lieu des centres des ellipses est une droite passant par le point de contact
72 PREMIEKB PARTIE.
Problème n« 34.
Trouver le lieu des centres des hyperboles equilatères qui ont en un point donné un contact du second ordre avec une courbe donnée»
Gardant les axes et les notations du problème précédent, nous voyons que l'équation générale des hyperboles équiiatères tangentes à la courbe, à l'origine, est
On aura encore, pour exprimer que le contact est du second ordre, la condition
Le centre de l'hyperbole (i) est déterminé par les deux équations
(3) ax -{- bjr = 0^
(4) ^^ — ajr-he = o;
l'élimination de «, b, e entre les équations (2), (3), (4) donne
équation d'un cercle passant par le point de contact, dont
le centre est sur la normale à la courbe, et dont le rayon est — 9 ou la moitié du rayon de courbure de la courbe proposée 5 car ce dernier rayon est à l'origine
Problème n^ 35.
(Jn considère la série des paraboles qui, en un point donnée ont av^ec une courbe plane donnée un contact du second ordre; on demande :
1 " L'équation générale de ces parabollfs; ^® Le lieu des foyers de ces paraboles; 3** L'enveloppe de leurs axes,
I® Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale à la courbe donnée au point considéré ^ désignons par R le rayon de courbure en ce point. On a, pour la courbe à Torigine,
jr=:o, y =zo, J =-g>
(l ^y'*Y en vertu de l'expression R= ^ „ ' « Pour toutes nos
paraboles, on devra avoir aussi, à Torigine,
Soit a Tangle que fait Taxe de Tune d'elles avec Ox\ son équation sera de la forme
En diâerentiant deux fois, faisant ensuite j:=:j^=j'=o,
-> = — î on trouve
A =:= R sin* a ;
l'équation générale de nos paraboles est doue (i) (/cosa — arsina)'=: 2Rsin*aj,
et le paramètre variable est «.
74 PREMIERE PÀUTIE.
a** On trouve aisément, pour les coordonnées du foyer, de la parabole représentée par Téquation (i),
Xx-=z sinacosa,
Y\=- — sm*a.
Pour avoir le lieu du foyer, il faut éliminer a entre ces deux équations \ on en tire
.' a- V» -^ -- sm*a = — 4 2
x] -\-y\ = -7- sin'a = —jri.
Le lieu du foyer a donc pour équation
Donc ce lieu est une circonférence tangente à la courbe et dont le rayon est le quart du rayon de courbure R. 2° L'équation de Taxe de la parabole est
:r sina — y cosa = — R'sin'a cosa.
Pour trouver Tenveloppe, je prends la dérivée par rapport à a
;rcosa4-^sina=: — R(2sinacos'a — sin*a).
Il faudrait maintenant éliminer a entre ces deux dernières équations^ mais il vaut mieux tirer de ces équations les valeurs Aq x Qty en fonction de «^ on obtient ainsi
Îx-=: — R sin 2 a cos^a, / = — R C0S2 a sm* a.
Pour construire la courbe, il faut faire varier a de zéro à 21:.
Afin de suivre facilement les variations de x ety^ formons — et — ; après quelques réductions, nous trouverons
-j- = — 2Rcosacos3a, )
(3) \ •, } - - = tanga,
-T- = — 2Rsinacos3a, j
et la discussion- va se faire au moyen des équations (2)
dy et (3). Pour « = o, x = o, j^ = o, -^ = o, la courbe part
de Torigine où elle est tangente à Taxe des x\ a augmentant, X elj sont négatifs, et vont en diminuant jusqu'à ce
dx «y qu'on ait a =;, 3o**, auquel cas -~ et -^ s'annulent.
Ceci nous donne la branche de courbe AO", continuons à faire augmenter a ou l'angle que fait la tangente à la
courbe avec Ox^ -7- et -~ deviennent positifs^ donc x eXj
vont en croissant. Ceci nous donne la branche de courbe AQ située au-dessus de AT, puisque la tangente s'incline de plus en plus sur l'axe des X'^ le point A est donc un point de rebroussement du premier genre, x el y augmentent jusqu'à ce qu'on ait a = po°; alors x = o, j^ = R; la courbe passe par le centre de courbure de la couAe donnée^ nous avons ainsi, la branche QB tangente en B à l'axe des j^.
Quand on change « en tt -{- a, j:: etj^ restent les mêmes; il suffit donc de faire varier a de zéro à t:*, si l'on change a .en 71 — a^ X change de signe etj^ reste le même; donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe àesj. Nous pouvons achever de la construire; nous voyons [fig* 9) qu'elle offre trois points de rebroussement de première espèce.
11 est facile d'avoir le rayon de courbure p en un point
quelconque de cette courbe ; on a. en effet,
mais les formules (3) donnent
di
= 2Rcos3a;
doue
p=z 2Rcos3a«
La courbe enveloppe des axes dés paraboles est tangente
au cercle lîeu des foyers en trois points O, H, K; en effet, reprenons les formules
X, = — . — sma cosa, x = — R sm 2 a cos'a,
j = — R C0S2 X sm' a,
d'où
dYi dy
Les points communs aux deux courbes sont donnés par Téquation
(cos'a-i) = o.
Sina cosa
d'où
a = o, ou a = go°, ou a = Go**, ou a = 1 20®.
Pour toutes ces valeurs, sauf àc = 90®, on a
— tang2a = tanga ou -;— • = -=^.
On verra, dans le j)roblème 1 de la troisième Partie, que la relation p = 2R cos3a suflSt pour prouver que la courbe dont nous venons de nous occuper est une épicycloïde çn-
gendrée par un point d'une circonférence de rayon — rou-
mm
3R lant à rintérîeur d'une circonférence de rayon -y-*
Problème n» 36.
Montrer qu'il existe en général une conique ayant as^ec une courbe donnée, en un point donné, un contact du quatrième ordre^ et tromper l'équation de cette conique connaissant l'équation de la courbe sous la forme,
p étant le rayon de courbure et a l'angle que fait la tangente ai^ec une droite fixe.
Prenons {fig- 10) Tuii des points de la courbe pour origine, la tangente et la normale pour axes des x et desj^^
78 PHEMIÈEE PÀETIE.
nous allons chercher, relativement à ces axes, réquation de la conique^ soit cette équation
Ajr^4- 2Ba:7-|-Ca:»4-2Dr=o.
Il faut écrire que les valeurs de y^ y\ y" ^ y"\ y^" ^ tirées de cette équation quand on y fait x = o, sont les mêmes que pour la courbe donnée au point A \ nous représente-
Fig. 10.
rons ces dernières par J^^'iîj^^o ./'«"• Différentions quatre fois réquation (2), et faisons ensuite x = o, j^ = o ; nous trouverons
D/,-+-C=:o, D/:4.3B^; = o, Djï+4B/:-f-3A/.«=:o.
Tirons de là les rapports —» n' rî' reportons -les dans l'équation de la conique, et elle deviendra
(3) (4j^?~ 3/,/;)r* - ^fif.^y - 9/.*^'-»- »%?r = o.
Il reste à tirer les valeurs àesy\^y1^y^^ de Téquation (1); or nous avons
a désignant Tangle que fait la tangente Ax avec une droite
EXERCICES SUR LE CALCUL DlFFÉREfiTIEL. ^9
fixe^
ds z=/{a-{-tf)d(f, dx = ds cos f 9 rf/ = ds sin 9, (4) ^ r/x =/{a -h f ) COS^é/^,
4r =/(« -H ?) sin 9</<p,
IVous tirons de là
Tr ^ M ■ - ^^^^ — — ^^^ ■ I I I ■ ■ ÉM I ■■■■M - ^ — — ^— ■■ ■ ■■ •
d.r /(^a -h ^) COS ffdf pCOS'f ^ I dp
„ dx'^ p cos*9 ^ 3 sin^ dx
djc p cos 9 ^9 p'cos*9 p*cos*9
dp
, , 3 sin o da.
I \p*cos*» p*cos*»
p CO89 «f
Calculons cette dernière expression^ faisons -y ensuite f =0, comme dans les précédentes^ p et seâ dérivées ne dépendront plus que de Tangle a que fait la tangente à la courbe au point A avec une droite fixe OX; nous trouverons
^•■~" p»€fa'
^..^^ 3/i^y j, rf^p^
Je trouverai pour les valeurs des coefficients de Téquation
8o PREMIERE FÀRTrE.
do Tellipse les expressions suivantes :
Soient Xj et j^i les coordonnées du centre \ on a
Bj^,
-f-Cr,
ri ^1 "
Donc l'angle formé par la droite menée du point A au centre de la conique, avec la tangente AT, a pour tangente
-—• C'est précisément ce que nous avons trouvé pour la
tangente du diamètre en A, page 69; la tangente du diamètre va donc passer par le centre de la conique.
Appliquons les formules précédente^ à la spirale logarithmique 5 pour cette courbe, on a
il en résulte
A = — (9 -h 2 m* ) X'*£?""», AC— B^>o;
la conique est donc une ellipse. Soit X l'angle que fait le grand axe de l'ellipse avec la tangente ^ la formule
tau g 2 A = T- donnera
, 3 tang5i>== —
Ainsi, pour tous les poînts de la courbe, le grand axe de l'ellipse fait le même angle avec la tangente.
Dans le cas de la cycloïde, p = asina, ~ = acos«,
-T-^ = — asina, «a'
C = — ga'sin'a,
B= 3a'sinacosa,
A=: — I2a^sin'a — 5«*cos*a;
AC — B' étant positif, la conique est encore une ellipse.
Nous laissons au lecteur le soin de discuter la couibe lieu des centres des ellipses ayant en chaque point de la cycloïde un contact du quatrième ordre avec cette courbe.
Problème n<> 37.
Troui^er le lieu des points de rebroussement des courbes du troisième degré qui ont pour asymptotes trois droites données .
Prenons (fig^ n) deux des asymptotes données pour
Fig. II.
axes des x et des^, et soit alors ax -I- bj -f- c = o Téqua-
tîon de la troisième AB; l'équation générale des courbes
T. — Bec. 6
1 FIlEMli^BE PARTIE.
a troisième degré, ayant pour asymptotes les trois droites jaiices, sera
a-x{a.T -f- br T- c) — (p.r -h qjr -(- r) = o,
à pi q, r sont des paramètres variables ; désignous par y le remier membre de l'équation précédente; les coordotiées X ety d'un poiot de rebroussement devront vérifier :s équations
tlxdy "^
dy-'
) (2aa:-i-2*J- + c)'— 4«Ôj:j- = 0.
ette équation, qui ne contient plus les paramètres variales p, q, r, est celle du lieu des points de rebroussement e toutes nos courbes du troisième degré. Ce lieu est une llipse tangente aux axes des x et des^, aux points D etF, kilieux de OA etOBj la droite ax-i- bj- -i-c^^ o est aussi
tangente à l'ellipse au point G, milieu de AB^, on a donc ce théorème ;
Le lieu des points de rebroussement des courbes du troisième degré qui ont pour asymptotes trois droites données est l'ellipse de plus grande surface inscrite dans le triangle formé par ces trois droites.
Problème n» 38.
T'roui^er la déi^eloppée de la lemniscate.
L'équation de la lemniscate est (x* -hj*)* = «* (^' — J*) \ nous exprimerons x eiy k l'aide d'une variable auxiliaire, qui sera l'angle polaire 6 -, nous trouverons
^izzacosd V^cosaO, j = asinO v'cosaô.
En dîfférentiant et réduisant, on a
sin3ô ,^ , cos3ô ,^
dc=: — a — aB^ dy = a -^^;^:=: dB ;
^COS 2 B yXOS2Ô
on en conclut, pour l'équation de la normale à la lemniscate, Xsin3d — YcosSô = âsiaaO \/cos2Ô.
Cherchons l'enveloppe de cette droile^ nous prenons la dérivée par rapport à d
^r . o« ^ 2cos*2Ô — sin*2d Xcos39-{- YsmSô — ^ ,. •
^ y^cos 2 ô
Les deux dernières équations peuvent s'écrire
Xsm3e-Ycos39 = -4ML,
XcOs39-hYsm30=:::rT ^ ]
^ y^COS 2 B
en les résolvant par rapport à X et Y, on trouve
a 3 cosô -h cos30
X= TT . j
" y^cos2 9
a — 3sind-hsin30
