PREMIERE

Prenons [fig- i3) pour axe des x la droite décrite par le point considéré, et pour origine la position occupée par

Fie- i3.

point quand la droite mobile est couchée sur l'axe des x; eut OM ■=. nautt, CMo?^ wt, où t représente le temps )ulé; l'équation de la droite MC est

j-r=tangwî{j; — anwî)

enons la dérivée des deux membres de cette équation r rapport à t, et nous aurons

lus pourrions éliminer t entre les deux dernières équans pour avoir l'enveloppe; mais il vaut mieux garder ( mme variable auxiliaire. Des équations précédentes ou e

it pose 2Wi = TT — ç; nous aurons

a:= ii(ir — f -(- siOf ),

^ = »(,+cos,),

OU cïicore

xzzzfta — a(<p — sîny),

y z=:2,a — a[i — cosç).

On reconnaît les équations d'une cycloïde tangente à Taxe des x et dont le sommet est à Torigine.

Problème n» 40.

Sur les caustiques par réflexion.

Des rayons lumineux, partis du point L [fig, i4)i viennent rencontrer une courbe C5 ils sont réfléchis 5 la caustique est, comme on sait, Tenveloppe des rayons réfléchis. Un théorème intéressant, du à Quetelet, ramène la recherche de la caustique à celle de la développée d'une cer-

Fig, 14.

laine courbe^ voici ce théorème : Qu'on abaisse du point lumineux la perpendiculaire LP sur Vune quelconque des tangentes de la courbe proposée, que l'on prolonge cette perpendiculaire en Q d'une quantité égale à elle-même, et la caustique sera la développée du lieu des points Q.

On voit, en effet, tout d'abord que, en menant la droite QM et la prolongeant, on a le rayon réfléchi; en second lieu, la tangente au lieu du point Q est parallèle à la tangente au lieu du point P, et cette dernière (Frenet, 2® édition, problème 230) fait avec PL un angle APL = PML -, si donc BQ

est la taDgente au lieu du point Q, on aura

PQB = PML = PMQ, et par suite

PQB 4- PQM = BQM :t= PQM -+- PMQ = go».

Donc les rayons rëflécliis sont les normales de la courbe Q, et par suite la développée de cette courbe est la caustique.

APPLICATIONS

I® La courbe donnée {Jîg* ï4) est une spirale logarithmique au pôle de laquelle se trouve le point lumineux; dans la spirale logarithmique, Tangle PML est constant; le lîeu du point P et par suite celui du point Q sont donc des spirales semblables à la proposée; la développée du lieu t!a point Q sera donc encore une spirale logarithmique égale à la proposée ; c'est la caustique cherchée.

a® La courbe donnée est une hyperbole équilatère au contre de laquelle se trouve le point lumineux.

Prenant pour axes les axes de Thyperbole, on trouve aisément que le lieu du point P a pour équation

et par suite celui du point Q

\c lieu du point Q est donc une lemniscate, et comme, à la page 85 de cet Ouvrage, nous avons construit la développée de la lemniscate, nous avons par cela même étudié la caustique demandée.

3° La courbe donnée est une circonférence, et le point lumineux est placé sur la circonférence.

Je dis que le lieu du point Q est une épîcycloïde. Pour le

prouver {fig. i5), j'élève au point Q la perpendiculaire QC sur MQj je la prolonge jusqu'à sa rencontre avec OM; je prolonge également MO jusqu'en D. Les deux triangles rectangles MQG et MLD sont égaux comme ayant Tangle

Fig. i5.

QMC == LMD, et le côté MQ = ML -, donc MC = MD. S^ je fais passer une circonférence par les trois points M, Q et C, elle sera donc égale à la proposée, et, à cause de l'égalité des cordes MQ = ML, on voit que les arcs MQ et ML sont égaux. Donc, en faisant rouler extérieurement sur la circonférence proposée une circonférence égale, le point de cette circonférence, qui était d'abord en L, décrira le lieu du point Q; c'est l'épicycloïde LQAH. On sait que la développée d'une épîcycloïde est une épicycloïde semblable.

Prenons donc OB = OK = --- 1 et décrivons des circon-

férences sur BK et KL comme diamètres \ en faisant rouler

la seconde sur la première, le point qui était d'abord en L

décrira l'épicycloïde LFBE, qui sera la caustique demandée.

Problème n^ 41.

Sur les rayons vecteurs d'une courhe comme diamètres, on décrit des circonférences; on demande de montrer que Venv^eloppe de ces circonférences rîest autre chose que le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées del'o7*igine sur les tangentes de la courbe, ou la podaire de la courbe par rapport à l'origine.

Soient, en effet, x et j' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe dont l'équation est j =f[x)'^ l'équation du cercle correspondant sera

Pour trouyer l'enveloppe, il faudra joindre à l'équation précédente celle qu'on obtient en en prenant la dérivée par rapport à x, savoir :

(2) X-fYj'=:0.

En prenant le point où la droite, représentée par l'équation (2), rencontre la circonférence (i), on aura un point de l'enveloppe. Or la droite (2) est la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente^ son pied, qui doit être sur la circonférence, coïncide donc avec le point de l'enveloppe, et la podaire est identique à l'enveloppe.

La même propriété a lieu pour les surfaces : l'enveloppe des sphères décrites sur les rayons vecteurs d'une surface comme diamètres n'est autre chose que le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de l'origine sur les plans tangents de la surface.

Soit, en effet,

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. pi

rcquatîon de la surface, p = —, q z=z — \ Téquation d'une des sphères est

(4) X» -^ y=-h z» — x.r ^ Yr — Zz = o.

Si Ton remplace z par sa valeur en x et y^ au moyen de l'équation de la surface, l'équation précédente contiendra deux paramètres variables x g\j'^ il faudra, comme on sait, dif rérentier par rapport à chacun de ces paramètres pour avoir Tenveloppe^ on aura ainsi

(5) X-4-Zp^o,

(6) YH-Z^=r0,

et l'équation de l'enveloppe résultera de Télimination de x^y^ z entre les équations (3), (4), (5) et [&)\ or les deux dernières sont les équations de la perpendiculaire abaissée de Torigine sur le plan tangent à la surface ^ le pied de cette perpendiculaire, qui doit être sur la sphère (4), coïncide donc avec le point de l'enveloppe déterminé précédemment, et la podaire et l'enveloppe sont identiques.

Problème no 42.

TrouK^er la caustique par réflexion pour des rayons lumineux perpendiculaires à l'axe d'une parabole.

L'équation de la parabole, en prenant le foyer pour origine et l'axe pour axe des a:, est

jr^= 7,px -+- p^.

Soient PM {/ig. i6) un rayon incident, MN la normale, MR le rayon réfléchi, y l'angle MNP 5 on aura

NMP = NMR = ~ — (p,

MRa:= 20,

93 MEMIEIE PAKTIE.

et l'équation de MR sera

Dans le triangle rectangle MPN,

PN=/j=j^cotp, d'où x=ptaitgf.

Reportant cette valeur dey dans l'équation de la parabole, il vient

L'équation (t) du rayon réfléchi pourra s'écrire

Ysiaîip — Xcosîiji =jsin2ç — .rcos2f ou (2) Ysina»— Xcos3!»= — ^

Pniir avoir l'enveloppe de cette droite, je prends les déri-

Fig. 16.

vées des deux membres de l'équation (a) par rapport à y, ce qui nie donne

(3) Ycosiy + Xsina.::^ psmf ^

Je résous les équations (2) et (3) pat- rapport à X et Y, et

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. f)^

je trouve

Sx == ^—z- cosScp, 2C0S*0 '

Y = H ^——' sin 3 «p.

Voilà donc les coordonnées d'un point quelconque de la caustique, exprimées bien simplement en fonction de la variable auxiliaire cp ^ la courbe est évidemment symétrique par rapport à Taxe des x, et, pour la construire, il suflBra

de faire varier cp de zéro à -; on trouve, du reste, *

^X 3/7 sin 2 7 dff 1 ces* f

a Y ôp cos 2 ff dff 2 cos* ^

On construira sans difficulté la courbe à l'aide des équations (4) et (5) ^ on peut calculer aisément la longueur d'un arc de cette courbe^ on a, en effet,

dS Zp Zp , , . ,

d'où

S=?^(tangf +|tang«ç).

L'aire U du secteur AOM de la parabole est

P^ U m ^ (tangip -h jlang'ip);

il en résulte

La longueur d'un arc de la caustique, multipliée par p^ est

TKEMIEEE PARTIE.

égale à 6 fois l'aire du secteur parabolique corresant.

lerchons l'équatîon de la caustique en coordonnées pos; prenons OA pour axe polaire; nous ferons donc

X = — ^cose, Y-;;rsine;

tion de la forme

!■•" cosmfi = Problème n<>

1 considère la co

urbe définie

les

équations

j ■'• = ^->{ siûf

(si»

ÏÎC087),

1 j- = e"î[— cosç

+ msto,)-

(co.

,.in,l,

mt la variable auxiliaire. On considère ensuite la loppée de cette courbe, puis la développée de la noucourbe; on demande de montrer qu'elle est semleà la courbe primitive; construire la courbe. 1 peut écrire

.■!:=: siniy(e"'-i-c-"T) + m cosf (e"t — e-*T), j = — cosf{e"* + e-"f )-t- m3\ai}[d"i— e""!).

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. gS

Ou en déJuitf en différentiant et réduisant,

z= { I 4- »2») (e*? H- ^-'"î) cos«,

d'où

—- =. COSO, -r^ = sino.

ds ds

Donc cy est Tangle que fait la tangente à la courbe avec Taxe des x^ et, p désignant le rayon de courbure, on aura

Pour la développée, y et p deviennent cj>' et p', et Ton a

d'où

On a donc

(p' rrr ^ H > ds' z=z f/p,

ds' dp

Pour la développée suivante,

ff r

d'où

DonC;» pour cette nouvelle courbe, on a

f m y -h TT, p= m'p.

96 PB.EM1ÈBE PÀBTIE.

Les tangentes aux points correspondants de ces deux courbes sont donc parallèles et les rayons de courbure proportionnels, ce qui démontre bien que- les deux courbes sont semblables.

On peut, du reste, chercher directement les coordonnées x\ 7 ', x"^ y" des points qui, sur la première et la seconde développée, correspondent au point xy de la courbe donnée. Ainsi la normale à la courbe donnée a pour équation

Y sin y -f- X cosy = x cos^ -h j sin y = m (e"'? — e~"? ).

Prenons la dérivée par rapport à y pour avoir Tenveloppe de la normale, et nous trouverons

Ycosy — X sinç := m'(c"'î -i- e-™?),

et des deux équations précédentes on tire, pour x* et y\ ces valeurs v

|j'=r w*cos<p(e*'?-i-c^-*'T) -f- /wsinç(e^î-- e-*?), • ( j:' = — m' sin ç (^"î -f- e-*"?) -h m cos<p (^"Ç — t'-"*? ) .

En opérant de même sur la développée, on trouvera

x"z=z — m' sin ç(e'"'? -»~ e-*"?) — /n» cosy (^? — e?"*"?), y" = m^ CCS «ji ( e'"? -h ^~'"'* ) — ///' sin y ( e*»? — e-"? )

ou bien

ce qui montre que la développée de la développée s'obtient en réduisant les rayons vecteurâ de la courbe proposée dans le rapport de i à m*, et faisant tourner de 180 degrés la courbe obtenue.

La courbe définie par les équations (2) jouit de la même propriété que la proposée, c'est-à-dire qu'on aura aussi

x"':=^ — rn'x^ , y'"=. — m'y'.

La courbe (i) est facile à construire; on sait, en effet,

fin/* flY

immédiatement quels sont les signes de -^ et -j^ : pour cp = o, a: = o, j = — 2, cp variant de zéro à - j x et j aug-

mentent; cp variant de - à tt, a: diminue et y augmente; la courbe est une spirale.

Problème n^ ^4.

Deiix spirales logarithmiques ont le même pôle [fig* 17); on considère sur ces courbes deux points A et B correspon-

dant à un même angle polaire variable. En ces points, on mène les tangentes aux deux courbes; elles se coupent en un point M; est-il possible de déterminer les deux spirales de manière que le lieu du point M soit égal à sa développée?

Soient r=:zaë^^ r = a€^ les équations des deux spirales en coordonnées polaires; faisons m==cot(p, n = cot^; Tangle ACx sera égal à 6 -i- cp et l'angle BDo: égal à 6 H- cp ; donc, en coordonnées rectangulaires, l'équation de la tangente AM sera

j — ac^'sin9=: tang(ô -^ ff){x — ae^ cosO). T. — Rec, 7

g8 PREMIERE PARTIE.

De* même celle de la tangente BM sera

y — ae^^ sin 0 = tang( 0 -f ^[' ) (.^ — ae'^ cosO ).

Résolvant les deux équations précédentes, on a, pour les coordonnées a: et j^ du point M,

[ x=z -r—, r\ r^cos(0-+->I')sin«>— <?"®cos{ô-f-a))sinxf],

y sin(« — -J/) •■ V •/ T

I y = -— 1- [e^^ sin (64- ij») sin Y — e"' sin (ô -f- y) sin>p] :

telles sont les équations du lieu du point M avec la variable auxiliaire 0. En diiFérentiant , remplaçant dans certains termes in par cotcp, n par col^p et réduisant, on trouve

-^ = a -r— TT cos(0 4- * 4- >!*),

dB sin((ï) — >[/) ^ ^ ^'

^0 Sin(y — i];) ^ ^ ^'

d'où

r/0 sin(<p — >[/)

--^•z=cos(0 4- ç-i-^'), J- = sin(6 H-ç-h^}*).

Donc, en appelant a l'angle que la tangente au lieu du point M fait avec Ox et p le rayon de courbure de ce lieu au point M, on aura

, ds ds e^^ — e"*

dx dB sin(«j) — ^|;j

Soient a' et p' les quantités analogues k a et p pour la développée 5 on aura

2 ^ ^ '^ ^0 sin(ç — >p)

Soît f 4- 1|; = A -, pour le lieu du point M, on a entre p et a Téquation

^ ' ^ sin(y — \p)

et pour sa développée

.^. , me \ ^J — ne ^ */

^ ^ sin(y — -»[/)

Posons, dans l'expression (3), aJ^^iOL-^ «o^ elle de-

viendra

sin(^ — ^)

et celte expression sera égale à l'expression (2) pour toutes les valeurs de <x, si Ton peut déterminer «o de manière à vérifier les équations

quel que soit et 5 s'il en est ainsi, le lieu du point M sera égal à sa développée. Les équations précédentes reviennent à

Nous voyons d'abord que m et ti doivent être positifs 5 on a ensuite

loff/» 10ff72

les paramètres m et n sont donc liés entre eux par la rcla-

losrm loff/2 lion -^— == -^— •

Construisons [Jig* 18) la courbe qui a pour équation

Y = -£.-5 OA = j , OB = e, BC = -; en C la tangente est

lOO PREMIÈRE PARTIE.

parallèle à OX. Menons à OX une parallèle quelconque du côté des Y positifs, et à une distance moindre que -; elle rencontrera la courbe en deux points M et N, dont les

Fig. i8.

abscisses sont OP et OQ, nous pouvons preudi'e tn = OP, 72 =:= OQ, car nous aurons bien

logm log^

Si la parallèle était menée au-dessous de OX, elle ne rencontrerait la courbe qu'en un point. La conclusion est donc la suivante »: m ayant une valeur quelconque supérieure à I , il y a toujours une valeur correspondante de n telle que le lieu du point M soit égal à sa développée.

Problème no 45.

Un point M d'une ellipse est défini par son anomalie excentrique (p. On demande :

1° De troui^er l'anomalie excentrique du noux^eau point P, où. le cercle de courbure au point M va rencontrer l' ellipse ^

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. lOI

a® De montrer qu'il existe deux autres points M! et M!' de l'ellipse tels, que leurs cercles de courbure vont aussi passer par le point P^

3° De proui/er que le centre de grayité du triangle TS/LMIM." coïncide av^ec le centre de l'ellipse;

4*^ De prouver que les quatre points M, M', M'^ et P sont sur un même cercle;

5^ De trouver le lieu décrit par le centre du cercle précédent quand le point M se meut sur V ellipse

I® Soient x et y les coordonnées du point M; nous aurons

x-zrza cos<p, y = b sin ç. ^

On trouve facilement que l'équation du cercle de courbure au point M est

I(X--acos<j))*-f (Y— èsinç)2 ,,, , , . ^ ,/X— «ces© Y— èsinç\ -f-2(è'cos'9-f a*sm*y)( ^ -f- ^j=o.

Pour trouver le point P où ce cercle va de nouveau rencontrer l'ellipse, nous ferons

X r=: û cos<ï>, Y =-b sin*,

moyennant quoi Féquatîon précédente, après quelques transformations, s'écrira

sin' ^ ( a' sm* ^ -h b^ cos* i — b^ cos'y — a' sm'<ï> | = o.

Nous avons déjà la racine double 4> = 9 ; en la supprimant et transformant, on obtient

a' — «'cos(*4-?) 4- ô'-h è'cos(*-f-ç)

— b^ — a» — Pcos2f H- a*cos2f =0

09 PKEHIËBE PABTIB.

bien

cos(* + ly ) ^ cosaiy,

qui donne

*4-ç:=2T et * + ç^3lt — 2^,

; 3 1- à -dire

* = ç et *^27r — 3if.

nsi, comme cela devait être, nous avons trouvé la racine pie ■I> = f, et l'anomalie excentrique du point P est r-3,. ^ a" Considérons les points M' et M" ayant pour anoma-

:s excentriques ç'= if 4- -^i 51"=; ^ "*" T' '^' points P' P", correspondant à ces points M' et M*, auront pour lomalies excentriques

;s points coïncident donc avec le point P.

3" Soient x', y', x", y^ les coordonnées des points M'

M"j on aura

X =acos7, y =6sin<p.

n conclut de là, quel que soit ^ ,

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. lo3

ce qui démontre bien que le centre de gravité du triangle M M' M'' coïncide avec le centre de l'ellipse. Il convient de remarquer les relations

a-}-irx*^^x"''= , y^^- y'24- r"a= ,

d'où Ton déduit que la somme des carrés des distances des points M, M', M''' au centre de l'ellipse est égale à la con-

stante o •

4° On trouve, par un calcul direct et facile, que l'équation du cercle qui passe par les trois points M, M', M" est

.r»-|- y* a:COs3o — ; — r Sini© =: 9

et l'on vérifie que cette équation est satisfaite quand on y remplace x par acosSf et j^ par — &sin3cp^ elle devient, en effet,

(cos'3ç -f- sin'3y) = •

5° Soient a et (3 les coordonnées du centre du cercle précédent; OU a

a= — -, cos39,

p = — y-. — sm o (p.

On en déduit

équation d'une ellipse ayant même centre et mêmes directions pour ses axes que l'ellipse proposée.

[ PREMIÈtte VIKTIE.

i^mme enveloppe du même cercle, on trouve la courbe quatrième degré, dont l'équation est t

Problème n" 46-

'Jn demande [fig. 19) :

1° De trouver le lieu du milieu de la corde

; ellipse et à son cercle osculaleur, et de calculer l'aire

la courbe;

1° De trouver l'enveloppe de cette corde et l'aire de

nouvelle courbe.

1" Les coordonnées des extrémités de la corde sont

2i = acos3fi, ^"1 = — 6 ânSf !

coordonnées du milieu seront donc

a:=: -{coSf + COaSip),

r = -(sin? — sin3ç)

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. lo5

OU bien

et Ton en lîre

X =. a cos 1 ^ cosf ,

—- = asiay(i — ôcos'cp),

(Iy

-^ =r 6cosf(6sin'7 — i).

A l'aide des équations (i) et (2), il est facile de construire

la courbe : pour <y = o, a: = a, j^=:q*, (j> augmentant, —

dy , ,

et — sont négatifs; x décroît, j^ est négatif et décroissant;

le minimum de j^ a lieu pour y = y,, y, étant défini par

l'équation sincpi ==-7=» après quoi x décroit toujours et j^

croit; pour ç = y > a: = o, j^ = o et — = ; en U la

courbe est donc tangente à la diagonale DG du rectangle construit sur les axes; <f augmentant toujours, x décroît

jusqu'à ce qu'on ait 9 = <p, ; enfin, pour <p = -? a: = o

et y •=.h\ nous obtenons ainsi la partie AMONB de la courbe. Cette courbe étant symétrique par rapport aux axes de l'ellipse, on acbèvera aisément de la tracer. Cherchons l'aire de la courbe ; on trouve

ydv — xdy = ab ces' 2 y ^y.

Soit Ml l'aire de la partie OMAM'O; nous aurons

Ui = ab j

COS*2(fdff,

Io6 PREMIÈRE PARTIE.

De même, si u, désigne Taire de la partie ONBN'O, on aura

U2=zab 1 cos'2(p^(p,

ou bien, en posant ç = ^ -f- ^j; et mettant ensuite la lettre 9 au lieu de ^<,

Les deux intégrales qui figurent dans les expressions de u^ et i£j sont égales entre elles, comme on le voit en les décomposant en éléments infiniment petits \ on a donc

i:ab

et Taire de la courbe entière est — > ou la moitié de celle

de Tellipse.

2° Cherchons Tenveloppe de la corde commune à Tellipse et à son cercle osculateur ; cette corde passe par les points Xi, j^i, Xj, j'i^ elle a donc pour équation, en mettant pour Xj, j^,. j:,, ^, leurs valeurs,

, . b sincp -+- sinSflp ,

Y — b smç = ~- (x — a ces?)

* a coS(p — cosof

ou encore

. b cosy

r — 6 smo = 7—^ (jc — a coso),

^ a smf ^

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉREUTIEL. iOJ

ce qui peut s'écrire

(3) ajrsinff — bxcosf = — a6cos2f.

Jo prends la dérivée de cette équation par rapport à f , afin d'avoir Fenveloppe demandée^ j'obtiens ainsi

(4) a/cosç -h ô.r sinç = 2a6sin2ç.

L'élimination de cp entre les équations (3) et (4) donnerait l'enveloppe, mais je préfère garder la variable auxiliaire cp^ je résous les équations précédentes par rapport à a: et ^, ce qui me donne

j = ô(2sin2çcos9 — cos2fsin^), x = a(2sin29sin^ + cos2f cosç)

ou bien

^^ ( a: = flcosç/'i -h 2sin*y),

( / = ô sin ç(i -h 2 cos'cp).

En différentiaut et réduisant, j'obtiens

-— = Oâ(SUl9C0S2o, J

dr ^ \ dx a sin <p

-j- = 36cosçcos2«p ;

On peut remarquer que le coeflScient angulaire -j- est

égal et de signe contraire à celui de la tangente à Tellipse; la corde commune à l'ellipse et à son cercle osculateur et la tangente à l'ellipse sont donc symétriques par rapport à l'ordonnée du point M.

Il est facile de discuter la courbe avec les équations (5)

et (6) : pour cp = o, x = o, y = o, y- = oo -, (f augmen-

tanjt, X el y augmentent jusqu'à ce qu'on ait 9 = tî alors

PREUIÈIIE PARTIE.

r ■= i/a, -— = -; noas obtenons ainsi l'arc AH tanin H à la diagonale OH; 9 augmentant, or et jr dimi- ; ; mais le coefficient angulaire -j- = ~ va toujours

oiinuant, ce qni exige que la courbe passe de l'autre

le sa tangente HO; le point H est un point de rebrous-

it de première espèce. On achève la discussion sans

dté, et l'on trouve que la courbe a la figure dessinée

jaut.

erchons l'aire de cette courbe; on a

xdy — jd.v = 3a&cos*2f/f ; entière U sera donc

li = &ab Ç

"i-aab

Ttie de cette aire comprise entre l'ellipse et la courbe

inc la moitié de l'aire de l'ellipse.

îst à remarquer que l'expression {7) est égale à trois

expression correspondante dans le problème précé-

donc l'aire d'un secteur de la seconde courbe est égale

s fois celle du secteur correspondant dans la première

Problème n« 47.

montrer que la surface

j's'-l- î'j-'-l-^'j''— 23yî = o mpée par ta sphère

i( quatre cercles.

En tenant compte de 1 équation (2), Féquation (i) peut

S écrire

^yi — 7.XJZ H- z' — z*n: 0.

Cette équation, qui est celle d'une surface passant par les points communs aux deux proposées, donne

On a, du reste,

et l'on en déduit

ou bien

xjr ■=zz':h. z^.

{a:zhxY=i{izïlzY

Donc l'intersection des surfaces (i) et (2) se compose des quatre circonférences suivant lesquelles la sphère x^ 4- )r * -|- 3* = i est coupée par les quatre plans

.r — j — zz=

Problème n» 48. •

Par les dwej^s points d 'une hélice, on mène des parais lèles à la tangente en un point de l'hélice; on demande de tr ouvrer le lieu de la trace de chacune de ces droites sur la base.

Soient les équations de l'hélice

;rr=acosy, ^ = flsiny, z=.mat^\

nous pouvons toujours supposer que le point qui figure

FKEMIERE PABTIE.

US l'énoncé Boit celui qui répond à if = o; la tangente L ce point fait avec les axes des angles dont les cosinus Dt proportionnels à o, i et m; les équations de la paral- .e à cette tangente, menées par un point quelconque ^, z de l'hélice, sei-ont donc

lisons dans ces équations Z =; o, et remplaçons x, y, z \T leurs valeurs en fonction de 7; nous trouverons 1 pour ; coordonnées de la trace sur la place de base