X :=: a cosç, Y^=^a sinç — a<f

lisons le changement d'axes défini par les formules

nous obtiendrons

X'=n.:iF — siof). Y' — i7{i — cosy);

sont les équations d'une cycloïde engendrée par un point un cercle de rayon a roulant sur l'axe des X'. Examinons ce que devient le lieu quand, par les divers lints de l'hélice, on mène des parallèles à une droite queluque, et demandons -nous quel sera, dans ce cas, le lieu is traces de ces droites sur la base.

Nous pouvons supposer le plan des^z parallèle à la diction donnée ; celte direction fera avec les axes des angles int les cosinus seront o, siny, cosy, et nous aurons, pour 5 équations de la parallèle menée par le point x, j, s,

X = .^, Y-j'^Èang7(Z~î).

lisons dans ces équations Z = o ; remplaçons x, y. z par LU-s valeurs, et, au lieu de m, introduisons l'angle i que Qt avec l'axe du cylindre toutes les tangentes de J'hélïce;

nous aurons, pour les coordonnées d'un poînt quelconque du lieu,

X = a CCS®, Y =z a sin© — aa — ° •

Faisons le cliangement d'axes défini par les formules suivantes: X= a — —. — Y', Y= — X', et posons a — — = b\

lang/ ^ tSLTigi '

il viendra

H' == bff — flfsiny,

Y' =^ ^ — a cosç.

Nous trouvons une cycloïde allongée ou raccourcie, suivant que tangy sera plus petit ou plus grand que tangi : pour tangy =itangi, on a la cycloïde ordinaire. Telle est la nature de Tombre portée sur le plan de la base du cylindre par une hélice éclairée par des rayons parallèles.

Tvouv^er le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées d'un point de V axe d'un cylindre circulaire droit sur les tangentes à toutes les hélices de même pas que Von peut tracer sur ce cjlindre.

Prenons le point considéré pour origine^ les équations d'une des hélices seront

a; = a cos(.]p -+- a), j =r « sin(® -I- a), zz=: of^coti.

On obtiendra tous les points de cette hélice en faisant varier (p de — 00 à -f- 00 ; on obtiendra toutes les hélices de même pas en laissant i constant et donnant a a toutes les valeurs possibles. On trouve, pour les coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente

113 FREMIEBE PAKTIE.

au pointer, y^ z,

X = (icos(ç -f-a) -<-a<fsin ((p +a}cos'/, Y=^(ïsia(f -(-a) — ayco8(f -H a)cos'^ Z=o,.in,cos(.

Entre ces trois équations, il faut éliminer (f et « ; on obtient

X'-i-T'— Z>cot'i=a',

équation d'une liyperboloïde de révolution autour de l'axe <lu cylindre.

Problème n" SO.

Trouver toutes tes hélices dans lesquelles le rayon de courbure varie proportionnellement à l'arc, compté à partir d'un point fixe.

Avant de traiter cette question, nous allons réunir un certain uombi-e de formules qui sont très-utiles dans les problèmes relatifs aux bclices. Soit y^ l'angle constant formé par les tangentes de l'hélice avec l'axe des Z ; la formule

cos'b -\- cos'p ■+■ cos'7, = I donne

On peut donc poser, en introduisant une variable auxiliaire If,

/ cosa ^sin7,cosf, (i) ( cosp^siny, sinç,