COS7 := COS

cosîl étant nul, en vertu de la relation dcoiy = coiT — »

nous avons

cos'5 + cos'o^i.

Introduisant un nouvel angle cp^, nous ferons

cosS := cos^i, Gosii = sin^t;

mais nous devons avoir

cosa cosÇ -4- cosp cos>î -H cosy cosÇ = o.

Cette équation va devenir

sinyo (cosy cos^i -f- siny sin^i ) 1= o,

COS (^1 — ff] = o, d'où œ, = » H ;

nous avons donc

cosÇ=: — siny, ,

(2) I COSU = -f- 008^, ,

cosÇ = o.

La relation rfcosy==cosf — = 0 nous montre que v est constant^ nous ferons

et, à cause de la relation,

cos^X H- cos'/i -f- cos'vp = I , cos'X -h cos'fA = sin*vo;

nous poserons

cos X = sin vo ces ^ 1 , cos/jt=sinvosinf3.

Les formules

cosX cosa -f- cos fA cos p -H cosv COS7 = o,

cosX cosÇ -f- cosft cosjï -h cosv cosÇ = o T. - Rec. 8

PItEMIEItB PiRTIB.

iiious donner

sin», siriY.cosjy, — y) -h cosviCosyi^ sinï, sin(îi— ç) = o,

' — ) et nous aurons ainsi

/ cosi =coS7,cosip

< cos|.=cos7,siiiv

( cos» =— Mn7,.

D les formule

s rfcosa=cos^ — > a

liront

-=COSy,df.

à donc nos neuf cosinus exprimés, à l'aide d'une seule able<f, par les formules (i), (a), (3), et p et r exprimés,

la relation - ^^ cot/n =^ const., qui a lieu pour toutes lélices. (Les notations précédentes sont celles dont s'est i M. J-A. Serret dans son Trailé de Calcul difféiel.)

evenons au problème proposé ; Trouver toutes les hcr dans lesquelles on a

EXERCICES SUR LE CALCUL DIFFÉRENTIEL. Il5

En combinant cette équation avec la première des équations (4), savoir :

(5) — = sin7o</«>,

nous aurons

J- z=z k sin Vo ^? ;

intégrant et désignant par a la constante arbitraire, nous avons •

et Téquation (5) donne

( 6 ) ds = a sin -/« e* ? **'" ^o ^/ç.

Nous avons ensuite

djc = ds ces a, djr =zds ces p, ^/z =: ^* cos^o,

et, en remplaçant ds par sa valeur (6), cosa et cosj3 par jenrs valeurs (i), nous aurons

d.x z=z a sin'7oe*?**°To cos(j>^<j), dy=.a sin^7o^*P**°T^« sin 9^/9, dz =a sinyoCosYc^**'"^»^?»

Intégrant, sans ajouter de constante, ce qui ne changera rien à la forme de la courbe, nous avons

x= ■- — r (^sm7ocoso -i-sma>)e*?»*"Ti>,