I -H /•' sin'7o ^ / T t

Y = ; — ; — (/' smvo sm <p — cos ©) <?*?••" To,

^ I 4- X'^sm27« ^ ' ^ ^'

Z z=z -7 COS7o^'""Tf».

Soit posé A sinyo = coti, et les formules précédentes de-

Il6 P1lEMl]f:llE PARTIE^

viendront

Ix-=.a sin'7a sînf cos (^ — /)e?«®*', y ^=.a sin'7o sin/ sin ( «p — /) ^«>*', z = fl sin 7 a cos 7, tang / e? "** '.

Voilà donc les équations de l'hélice cherchée, exprimées avec la variable auxiliaire f ; la projection de cette courbe sur le plan des xy est une spirale logarithmique; car, si, dans ce plan, on prend les coordonnées polaires R et a>, on aura •

tangw = — = tang (y — /), d'où y 1= » + /,

SR == a sin- 7. sin/^*^°*', R = a sin»7, sin / e*"»» ' e- «>» '.

Des équations (7) on tire

^/jcM-J^ = 3 tang 7i cos / ;

la courbe est donc tout entière sur un cône de révolution

autour de Taxe des z. Enfin, si, tirant cos a, cos(3, cosy

des équations (1), a:, r^ ^ des formules (7), on forme l'ex-

xcosa -f- r cosB H- ZC0S7 i ^ 1 ,

pression — î-j on la trouvera égale a

^1 — sin' 70 sin'/.

Ainsi cette courbe coupe toutes les génératrices du cône de révolution sous un angle constant ; aussi lui a-t-on donné le nom à' hélice cjlindro^ conique. Si Ton avait Ar = o ou

-£ = o, c'est-à-dire p = const., la courbe serait une hélice as

tracée sur un cylindre de révolution.

Problème n« 51.

Si une courbe à double courbure et la ligne des centres de courbure sont deux hélices tracées sur des cylindres dont les génératrices sont parallèles^ la courbe proposée est une hélice tracée sur un cylindre de révfolution, ou une hélice cjlindro-conique .

Donnons d*abord les formules qui, pour une hélîce quelconque, font connaître les coordonnées du centre de courbure. Soient x^y^ z les coordonnées d'un point quelconque de l'hélice, x\y* ^ z' celles du centre de courbure correspondant; on a

ar'=: J7 -I- pCOsÇ, j'^:^ H- p COS>î, 2'= 2 4- p COSÇ,

et, en remplaçant cosÇ, cos«3, cos^ par leurs valeurs (a), p par sa valeur (4), on a

, \ ds , X z=2 .T ; sm o,

r =7+ -^ — 7-COS9,

DiQ'érentions ces formules et remplaçons rfor, dy^ dz res-

ds j ds ^ j ds j

pectivement par -r-cosaacj), -j-cospay, — cosyatp ou par

a(p a(jf a<f

ds ds ds

Y sînyo cosy rfy, --- sinyo sincprfy, — cosy^df^ dx\ dy\ dz*

par ds' cosk'^ ds' cos^\ rf/cosy^, où y', est une constante, puisque le lieu des centres de courbure est aussi une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles

kOz^ et nous aurons

ds'

ris

(co)

, cos»7o

— - ces a == : — COS© -r-

ds'

^cos7,= cosv„^.

sm<p ^— »

cos»7o . ds

- ces p' = : — — sm © -7-

smvo ^ d(f

smy,

sinyo

df^' d^s

Faisant la somme des carrés et extrayant la racine carrée, on a

. ds'

smyo

H- cos'v. — ,

et, en tenant compte de cette relation, la dernière des formules (10) donne

smv.cos7,^=:cos7oy/(^5^j

ds^

-h COS' 70-5-1

d'où

</(p' cos7« /-r-- r-r

■^ = S- Vsm*7o-~ cos*7<,,

ds cos7j

Le premier membre de cette équation, d'après la formule (4)j n'est autre chose que siny^ -^; on a donc

ds sm7oCOS7,,* '"

On est ramené au problème précédent. Si h est différent de zéro, Thélice proposée est une hélice cylindro-conique -,

l'hélice proposée est tracée sur un cylindre de révolution.

Montrer que, si R' et R'' désignent les rayons de courbure principaux en un point quelconque de l'intersection d'un ellipsoïde av^ec une sphère ayant le même centre, on a

-f- — —- =: const.

■ Soit Ax* -+- Bj'* -\- Qz* = I l'équation de l'ellipsoïde; le calcul donne aisément

, „, A'(B + C)x»-l-B»(C + A)j'»-l-C'(AH-B)z» ^"^^- ABC

X VA'j^'+B'j' + C'z',

„ (A'x'+B'j' + C'z')' ^^- ÂBG '

d*où Ton déduit

yj^" (ABC)^ .

ce que Ton peut encore écrire