R'-4-R'' ■" BC 4- CA + AB — ABCR

ce qui est bien une constante.

Problème n^ 53.

Exprimer les rayons de courbure principaux^ en un point quelconque d'un ellipsoïde, à l'aide des coordonnées elliptiques fi et y de ce point.

J.2 yi ^2

Soit rellîpsoïde ti-+'^*+"7;5 = 'î oùA>B>C", le

XX ^i \j>

calcul direct donne, en appelant R' et R'' les rayons de courbure principaux de la surface au point x.y^ z^

(') ^Vâ^ + F + c^'

Remarquons en passant que, P désignant la distance du centre de rellipsoïde au plan tangent au point x^jr^ 2, on a

P^ A* B« C< et par suite

relation très-simple entre R', R'^ et P.

EXERCICES sua LE CALCUL DIFFÉREf(TIEL. 121

Faisons mainteiiaiit

A'^pS B»=p»->6^ 0=p^—c\ d'où b^<C,

et considérons les trois équations

^ îi ::^ 1

pt* pi' — b^ c* — pt'

et supposons b^ <^(x* <^c*^ v* <[ t' 5 nous avons déjà

Ces trois équations représentent : la première, Tellipsoïde proposé^ la deuxième, une série d*hyperboloïdes à une nappe, et la troisième, une série d'hyperboloïdes à deux nappes, quand on fait varier les paramètres pt et v entre les limites fixées plus haut. On tire de ces équations (voir le Calcul différentiel de M. Serret, p. 5o5)

^ sjp^—b^ y/pi» — b^ slb^—v*

~" c yjc^ -^ b^

Sur Tellipsoïde, p est constant 5 pt et v sont les coordonnées elliptiques qui permettent de fixer la position d'un point sur la surface.

En portant les valeurs précédentes (2) de x^j^ z dans les expressions (i) de R'-t-R'' et R'R'^, on obtient, après

laa PKEMIEUE PARTIE.

quelques réductions,

et de ces deux équations on tire

p^pt— ^ly/pS-^C' ABC

p^pï— ^a^pî r»' ABC

On peut déduire de là une conséquence intéressante ^ on a

Le long de la ligne de courbure,

pi = const., R'' est proportionnel à R'*;

le long de la ligne de courbure,

V = const., R' est proportionnel à R"^

Démontrer que toute surface déi^eloppable gui admet une seule ligne de courbure plane est un hélicoïde rfeVeloppable»

Je prends [fig* 20) le plan de la ligne de courbure pour plan des xj. Soient A Tarête de rebroussement de la surface développable ^ G la ligne de courbure considérée, qu'on

sait être une trajectoire orthogonale des tangentes à T arête de rebroussement ; M et M' les points correspondants sur les deux courbes; x^j^ z\ x\y*. z' les coordonnées de ces deux points^ u la longueur variable MM' 5 a, P, 7; Ç, »7, ^

les angles que font avec les axes la tangente et la normale principale au point M de Tarête de rebroussement. Nous aurons

'^=« H- tf cosa, j^'=: j-4- «cosp, z' = s -h £/ cosy,

et, en diffërentiant et remplaçant dx par ds cosa^ rfcosa par cos ^ — » p étant le rayon de la première courbure, nous

aurons

ds dx'= (ds -h du) cosa -f=- u cos5 — ,

(1) \ dv' =z ids -\- du) cos^ '\- u cosr^ -^ ^

dz* =. (ds -t- du) COS7 H- u cosÇ — •

Or, la tangente en M à la ligne de courbure étant perpendiculaire sur MM', on doit avoir

r/j/ cosa -H dy' cos^ -f- dz' COS7 := o;

mais, si Ton multiplie les équations (i) respectivement par cosa, cos^, cos 7 et qu'on tienne com|jtc de la relation

7BEHIEBE PARTIE.

cosf -f-cosPcos« + cos^cosi^ = o, on trouvera

dr" cosa ■+■ dj' cosp 4- dt' COS7 = rfî -i- t^u = o, ( «équations (1) deviendront

dx'i= ucosÇ — )

(Ij' = U C08)t — 1

dr^ UC03Ç — •

ildérons la dernière de ces formules : tout le long de jne de courbure, 2'= o; donc cosÇ^ o, et, à cause

dco&f =0 ou 7 ^: const.

c les tangentes à l'arête de rebroussement font toutes le Le angle avec l'axe des z \ donc l'arête de rebroussement me hélice trac<*e sur un cylindre dont les génératrices perpendiculaires au plan de la ligne de courbure; la àce est donc un hélicoide développablc. écipioquement les lignes de courbure d'un hélicoide loppable sont des courbes planes situées dans des plans llèles entre eux et perpendiculaires aux génératrices ylindre sur lequel est tracée l'hélice arête de rebrousintdela surface. En effet, si l'axe des z est parallèle génératrices de ce cylindre, on a cosy = const. , par

I cos?^ = o, et la formule dz'=^ ucosX,— donne

' chaque ligne de courbure.

EXERCICES SUU LE CALCUL DIFFÉKElfTIEL. 1^5 i

Problème n» 55.

Démontrer que les trajectoires des génératrices recti^ lignes d*un Iiélicoïde déueloppable sont des hélices.

Prenons [fig- ai) pour axe des z une parallèle aux génératrices du cylindre sur lequel est tracée Thélice arête de rebroussement de la surface^ soit i Tangle constant de

Fig. ai.

la trajectoire avec les génératrices rectilignes; conservant les notations employées dans l'exercice précédent, nous aurons, en remarquant que, y étant constant, cos^ est nul,

d^ C0Sa'= ids + du) cosa -+- a — cosÇ,

^ ^ dsi cosp' = {ds -h du) cosp -f « — cos>2,

d^ COS7' = {^ds -^ du) COS7, cos/ = cosa cosa' H- cosp cos^' H- C0S7 COS7',

et, en tenant compte des équations précédentes, (2 ) ds^ cos/ =ds -^du.

On tire du reste des équations (i)

ds' = \/{ds + duY +" «» ^ ;

riE. EXERCICES SDR lE CALCUL, ETC.

nera donc

- (/«)' -I- u' — cos'i = [ds ■+■ du]',

ds + du = a — col/

me ensuite

rfj' =; u — cOSéC/,

ds-i-du

formules (i) deviendra )Sï'^:co3ycos/=;const.,

i k's trajectoires sont des hélices tracées parallèles à celui qui contient l'atète (le

Problème n« i.

Proui^er que V intégrale V = / — —

peut s'exprimer sans intégrale elliptique lorsque b*=z ac,

l) - f Je fais un changement de variable*, je pose y^=-. —i

et en outre a = bk^ et j'en déduis, à cause de la relAtion ft' = ac^

j'ai du reste

,1 — Y , ^bdy x = b ^, drzzz-^ ^ ^,

ix -h a)(x -{- c)=: -~ ^ ^ ^--— »

et par suite

9 UEDXIEHE I

faisant ^* ^ u, il vieodra

US cette forme, on voit que l'iDlégraiion peut s'eSectaer; s s'exprimera par un logarithme si c est positif, par un : tangtintes si c est négatif; daas ce dernier cas, il faut ire

remettant pour u sa valeur en Xy on a bien

V = — arc tang

Problème a? 3.

Si F(x) est un polynôme algébrique de degré moindre j n,on a

: n'«t pas compris entre a et b.

EXEUCICES Sun LE CALCUL 1I«TÉGRÀL. 12^

On a, en effet, par la division algébrique,

js — c ,r — c

OÙ E (x, c) est une fonction rationnelle entière de x et de c^ son degré par rapport à c est du degré ni — i si F(x) est du degré m\ elle est donc au plus du degré n — 2.

Multiplions les deux membres de Téquation précédente par dx et intégrons entre les limites a et b de x: nous aurons

où P(c) est un polynôme du degré n — 2 au plus. Nous supposerons que c ne soit pas compris entre a et b; alors nous pourrons différentier les deux membres de Téquation précédente par rapport à c et différentier sous le signe J\ nous aurons

Différentions encore n — 2 fois, et nous aurons, en remarquant que Pf""*> (c) = o,

J^ [X — Cj" I.2...,(/l — l) £/c»-' L ^^^ ^^6 — cj*

Si c était compris entre a et 6, l'intégrale qui figure dans le premier membre de la dernière équation n'aurait plus de sens.

T. — nec.

* €lr.

l3o DEUXIÈME PARTIS.

Problème n* 3.

f^ers quelle limite tend l'intégrale définie /

quand a tend vers b^ a^t b étant deux racines conséculis/es de l'équation F{x) = o, et la fonction F{x) étant positive dans cet inten/alle?

Nous pourrons faîre

et la fonction y*( a:) sera positive quand x variera de a jusqu'à A. Soient a' et a'' les valeurs de x qui correspondent à la plus grande et à la plus petite des valeurs de la fonction y*(x) quand x variera de a à &^ la décomposition de Tintégrale proposée en ses éléments nous montre qu'elle sera comprise entre

Or on a

dx six — a = 2 arc tang -- - -. y

et Ton en conclut

* dx

sj{x — a) (b -^x)

Fintégrale proposée est donc comprise entre

77 ir

et • •

a' et a" coïncident avec a quand b tend vers a, et Tin

EXERCICES SUR LE CALCtJL INTÉGRAL.

tégrale a pour valeur ■ ■ Exprimons /"(a) à l'aide de la

fonction F et de ses dérivées. DifTérentiant deux fois Téquation (i), nous avons

Faisons x = a, è = a, et nous aurons

Donc la limite de Tintégrale définie proposée est

"VF(I

Problème n^ 4.

On partage [fi g. 22) la différence PoPi des abscisses de deux points fixes Mo et Mi d'une courbe en n parties

Fig. 22.

égales; on demande de trouver "vers quelle limite tend la moyenne arithmétique des ordonnées quand n croît indéfiniment.

Soient Xt et Xi les abscisses des points Mo et Mj, j)=/(a?) Téquation de la courbe, nh = Xi — Xo\ la limite à trouver

est la même que celle de /N+/(-^. + ^) -^-+/(-^. + "A),

l3a DEUXIEME PARTIE.

expression qu'on peut écrire comme il suit :

^/(^o) +y(-'P>H- h) +...4- V(j-o-f-/zA)

oa, en remplaçant nh par x^ — Xo,

^/(^•) + ^{/(-^o + ^) 4- . ♦ . 4- hf{jr^ H- nh)

mais, quand /i tend vers l'infini, h tend vers zéro, et l*on sait que le numérateur de l'expression précédente a pour

limite l f(^) dx'^ la limite cherchée est donc

I f[x)djc.

^\ — ^* Jx.

Résoudre la même question en supposant que ce soit l'arc Mo Ml quon ait divisé en n parties égales.

Soit s la longueur de Tare compté d'un point fixe A de la courbe et terminé à un point quelconque dont l'ordonnée esXjx la courbe étant donnée, j^ sera une certaine fonction

de s

Soient Sq et ^i les valeurs de s aux points Mo et Mi \ en raisonnant comme précédemment, on trouvera, pour la moyenne cherchée,

-^— r 'Y{s]ds.

APPLICATIONS

i*^ On paj^age le diamètre d'une demi-circonférence en parties infiniment petites, égales entre elles : quelle est la moycîine arithmétique des ordonnées correspondantes ?

EXERCICES SI]R LE CALCUL INTÉGRAL. l33

Soit cette moyenne M, R le rayon de la circonférence ; nous aurons

M = — 1 xdx\ o

îs I ydx représente le quart de Taire du cercle ou

mais

o ttR»

\ donc

îa^ La même circonférence étant donnée, c'est sa péripliérie qu'on dwise en parties égales.

On aura

ttR ttR

= — ;r f y "S = - / sin — «J =

3** On divise la base d'une cjcloïde en un grand nombre n de parties égales : quelle est la limite de la moyenne arithmétique des ordonnées correspondantes ?

M = X aire de la cycloïde = X 3ira^ = — ^

4® Même question quand on di^^ise l'arc au lieu de la base.

La longueur de la cycloïde entière est 8a 5 donc

Sa yds.

" = rd

On a, dans ce cas, entre j)^ et 5, la relation

Sas — s^

on en conclut

DEUTIÈUE PÀRTIC.

5° Par un des foyers d'une ellipse, on mène des rayons

vecteurs faisant entre eux des angles égaux à — ; trou%^er

la limite de la moyenne arithmétique de ces rayons vec* leurs.

On aura évidemment

2^ Jo

rdO»

Soît /• = r Téquation de Tellipse; il viendra

I 4- ecosO

ecosB

le/9

-+- e] ces' — h ( I — e) sm' —

On a

d tang -

l'i-f-^) ces' — h (r — e)sin*-

= arc tang

tang - I -I- const.

Pour 9 = 0, nous avons arc tango, que nous pouvons prendre égal à zéro ; mais, pour 0 = 271, nous avons encore arc tango : quelle valeur faut-il prendre cette fois? La réponse est facile : la dérivée de notre arc tangente, par rap-

port à 0, est

; elle est toujours positive : donc Tare

I -h ecosô croit toujours^ pour d = 7r, Tare dont la tangente est in-

ElCERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. l35

finie doit donc êlre pris ici égal à -9 et enfin, quand nous

arrivons à Tare dont la tangente eçt nulle, nous devons donner à cet arc la valeur tt \ nous avons donc

la moyenne cherchée est donc égale au demi-petit axe de Tellipse.

6° On dwise le grand axe de l'ellipse en n parties égales : quelle est la limite de la moyenne arithmétique des rayons vecteurs correspondants?

X étant Tabscisse comptée du centre \ on a

/ex" rdx z=zax h coDst. , 2«

rdx = 2 rt', M = ^ï ; a

la limite cherchée est donc égale au demi-grand axe.

On considère une courbe fermée et un point O dans son intérieur ^ on partage le périmètre de la courbe en un très-grand nombre n de parties égales. Soient N l'un des points de dii^ision, p le rayon de courbure en ce point, p la distance du point O à la tangente en N. On demande de trouver la limite de la moyenne arithmétique des va^

leurs du rapport ~ quand n croît indéfiniment.

l36 DEUXIÈME PÀKTIE.

Soit / le périmètre de la courbe \ nous aurons

îf'/'-

Tintégration s'étendant tout le long du périmètre; désignons par a Tangle que fait la normale au point N avec Oa:\

à cause de la relation p = -- , nous pourrons écrire

dix

=-.lJpdc..

Considérons {Jig. 23) la courbe comme Tenveloppe de

Fig. 23.

ses tangentes; l'équation de la tangente est

.r cosa 4-/ smanr/?;

en en prenant la dérivée par rapport à a, nous aurons

dp — .r sina -f- r cosa = — - »

^ da.

et Ton voit sur la figure que — x sina Les équations précédentes donnent

dp .

x=z p ces a 7- sm a,

da.

r = o sin a + -7- cosa,

dot,

y cosa = NP.

et l'on en déduit, par différentiation,

dnc=i — 1 /? -f- -j-Ç ) sin adoL = — ds^\n a,

fiÇ^ = -h 1 /? -f- -—- j COSa^a =r -4- dscosa.

On. a donc

ds=: ( /? 4-

■ÏV-

d(x' J eu intégrant, il vient

Si Ton intégre tout le long de la courbe, -j- = NP reprendra la même valeur; on aura donc

/ =fpdcc

et par suite

la limite cherchée est égale à l'unité.

Problème n<» 6.

On donne une courbe Jermée dont on partage l'aire en n parties égales par des parallèles aux axes des x et des y \ on joint un point de chacun de ces éléments à VorU gine des coordonnées; soient r,, rj,..., r„ ces rayons 'vecteurs : on demande la limite "vers laquelle tend la moyenne arithmétique de ces rayons quand n croit indéfiniment.

Il faut trouver

M = lim = Jim — ;

mais le numérateur de cette dernière fraction a pour limite l'intégrale double JJrdxdy^ étendue à tous les points situés à l'intérieur de la courbe donnée, tzAxA^ a pour limite Taire S de cette courbe^ nous avons donc

M=r- / / rdxdy

ou, eu coordonnées polaires,

= ^ rT/V/rrfO.

On peut effectuer l'intégration par rapport à i\ Soient 6' et ^" les limites extrêmes de 6 : pour chaque valeur de 0, il faudra intégrer, relativement à r, de r' à r'', r' et r" désignant deux fonctions de 0', la limite cherchée sera donc

^ Je*

A.PPLICATION.

La courbe est une circonférence et l'origine des rayons vecteurs est sur la circonférence.

On a, dans ce cas,

/ ' = o, r"= 2 a cosO.

Relativement à 5, on peut intégrer de6 = oà6 = - et doubler le résultat^ on trouve donc

M = 4^^ / cos'Ôrfô = V- / ( 7 cos30 H- 7 cosO ) c?Ô ; 3TraVo 3it Jo \4 4 /

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. iSq

l'intégrale indéfinie est

— sinSO -f- -7 sinO;

l'intégrale définie est, par suite, égale à -•, donc

9ïr

Problème n® 7.

On considère le volume limité par une surface fermée, on le partage en n parties égales par des plans parallèles aux plans coordonnés, on joint un point de chacun de ces éléments à l'origine des coordonnées : on demande la limite vers laquelle tend la moyenne arithmétique de ces rayons quand n croît indéfiniment.

Il faut trouver

M =: lim

n^xÊijr^z

Soit V le volume du corps, on aura

^ fj[£rdxdxdz^ j^ j

en prenant des coordonnées polaires, il vient

M=:i C C C r^drsinBdBd^ = ~ Ç Ç [r''*^ r'*)sin^d9d^,

en désignant par r' et r^^ les limites, fonctions de 6 et «f'i entre lesquelles il faudra intégrer par rapport à /*•

Problème n<» 8.

Trouver la valeur de l'intégrale définie

U„ et U„ étant les polynômes défi,nis (p. aS), à V occasion de la dérivée d'ordre n de la Jonction e~''.

Od a posé

dx""

rr:e-''U„.

Si donc, dans la fonction €?""'", on remplace a: par a: -h A,

et qu'on développe par la série de Taylor, le coefficient de

sera e~'*U„ -, ainsi Ton aura

ou bien

.-('+*)»= ^-«'(14- yU.-4- -^U«+ . . .)

On aura de même, en remplaçant h par Xr,

Multipliant membre à membre les deux équations précédentes, il vient

k— :(A-Ht^x— A «—*»- \ \ ,

w et 71 pouvant dans le second membre recevoir toutes les valeurs entières et positives 5 je multiplie les deux membres de l'équation précédente par dx^ et j'intègre de a: = — oo

EXERCICES SUR LE CALCUL lliTÉGllAL. l4l

à a: =-\-co ^ ce quî me donne

Or, en posant x -H A 4- Ar = t, on a

/H-oo /»-+-oo

e-{'-^M)^dx z= I e-'* dt =z \f7: .

Nous avons donc

- V^V^ A"» X" /^H-oo

(,) V're»''*=>> ^^ / e-''V^Vnctc.

^' i^i^i.2.../ni.2.../i J__ ^

Cette équation doit avoir lieu quels que soient /i et /r^ or le premier membre ne dépend que du produit kk ^ il doit en être de même du second ^ donc tous les termes de ce second membre, dans lesquels m est dilicrent de n, sont nuls 5 ainsi nous trouverons

e-''UmVudx = o,

quels que soient les entiers m et 72, pourvu qu'ils soient inégaux.

Réduisant le second membre de Téquation (i) aux seuls termes dans lesquels m = 77, il viendra

— VI /i" À'* /»-t-oo

Or le développement du premier membre est

e identique au second membre j nous aurons donc