cosa -h .r

Ainsi la fonction f(oi) {fig^ ^4) est égale à - pour a

Fig. 24.

compris entre zéro et tt, à pour a compris entre tt et

l44 DEUXIÈME VARTIE.

2 71, à H — pour a compris entre air et Sît, . . .; si donc,

prenant a pour abscisse, on construit le lieu j' =y*(a), il

se composera des droites MN, M'N', M"N'',

11 est facile d'obtenir une expression en série trigonométrique de la fonction y (a ) ^ il suffit, en effet, de partir de ce développement connu

sina . . . , • o .

- = Siila -h a: sm 2 a H- :r' sin 3 a -î- . . . ,

I — 2a: cosa -+- x et de remarquer qu'on a

x^dx z= o ou = 9

7Î -hl

suivant que n est impair ou pair pour arriver à ce résultat /{a) •= 2 (sina + ~ sih3a -h ^ sin5a -f-. . . | .

Il resterait toutefois à établir la convergence de la série ainsi obtenue.

Ce qui précède est extrait presque textuellement d'une Note de M. Hermite publiée dans le Bulletin des Sciences mathématiques^ rédigé par M. Darboux, t. I, p. 322.

Problème n<» 10.

Calculer la longueur S d'un arc M'M" de cycloïde en fonction de la somme des longueurs V et V des tangentes M'T et WIl en W et M" et de leur angle a.

Prenons les équations de la cycloïde sous la forme

j:=:a((j)— sintp), J = a(i— ,cosç),

et désignons par c^' et cf'' les valeurs de y qui répondent aux points M' et M", dont les coordonnées seront xfy\ jcfj".

EXERCICES SU& LE CALCUL INTÉGRAL. l45

Nous aurons

S =: 4 « ( cos - *- cos -^ » ^ = a ;

les équations des tangentes en M' et M'"' peuvent s'écrire

r sm -! X cos — = 2a sin - — ûç ces *-»

rsiu xeOS— = laîAVL- ûç'^COS — •

Résolvant ces deux équations, on aura, pour les coordonnées x^ et^^t du point de concours T des deux tangentes

X sin ^ = — <ï ç" sin — cos - — h ûç' sin — cos - >

risin^ ^= 2ûsin — — aiJ* — ®')cos — cos — •

On calculera les longueurs /' et l" par les formules

/'sin — =:x, — x\ /"sin— =a?" — j:,, 2 2

er. Ton trouvera, après quelques réductions,

/ =:2fl| cos -^ cos ^

/"= 2a| — . cos ~ -+- cos