p''~<p' " sin^^ i

T. — Bec,

t46 DEUXIÈME PARTIE.

ei l'on en déduit, en introduisant S ei a,

ProbUiM n» 11.

On considère une courbe et un point ^xe O *, de ce point : abaisse des perpendiculaires sur toutes les tangentes de courbe; le Heu des pieds de ces perpendiculaires est le nouvelle courbe sur laquelle on opère comme sur la •remière; on continue ainsi, et l'on obtient la série des •odaires de la courbe proposée relativement au point 0; n demande d' exprimer les différentielles des arcs de ces ourbes à l'aide des quantités relatives à la proposée. Soient (Jîg. a3) M, M,, M,,. . . la suite des points dénis précédemment; V,, V,, V,,... les angles OMM,; DIVI,M„ OIVI]IVI|, . . . j tous ces angles sont égaux entre eux

FJg. 3b.

voir Fkkvet, p. i45)- Représentons par 9 =/{;•) l'é juationde la courbe proposée, et nommons ri,di; /'t, di;.es coordonnées des points M|, M*, Nous aurons

r./iQ, langV„:= -— — =: tangV;

lînsi nous arrivons à cette relation simple

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. l^J

D'autre part, nous avons

r, = rsinV,

rj= r, sinV, = rsin'V,

(i) r„r=rsin"V;

la formule cosV„= -~ = cosV= -r- nous donnera

as^ as

fa) ^^^^^r.y/i-h-^.

Il ne nous reste qu'à substituer dans cette expression de dsn la valeur de r„ tirée de Téquation (i), en tenant compte

delarelationsînV== — •; prenons r pour variable

indépendante, et nous aurons

dsn= ^— j -^ rdr.

Prenons comme exemple, pour la courbe proposée, une circonférence de rayon a, le point O étant sur cette circonférence*, nous aurons pour équation de cette circonférence

rz=ia ces 0 ;

un calcul facile donne

rfj„ =: 2 (« -h l) fl COS"0€fô.

Si Ton veut trouver la longueur de Tare de la ti'*'"* courbe, qui correspond aux valeurs de 9 comprises entre zéro et ->

lO.

l4S DEUXIÈME PÀKTIE.

on auia

Si 72 est impair et si tz est pair,

2>« — y—^ va,

Dans ce cas, on peut trouver facilement réquation de la /i""»' podaire; on a en effet

Oa=(/i "M)Ô, ra=: rco8»Ô = 2flcos("+')0,

d'où

r«=r 2û I ces 1