HI

Remarquons encore le cas de Thyperbole équilatère, le point O étant le centre de cette hyperbole, dont l'équation sera par conséquent

on trouve

Vr=:^ — 2O, 0«=— (2K — i)0, r^=a(cos20;"'"«'

mm

par suite, Téquation de la podaire ti'*'"* est

an— 1

iH-i

r„ = a ( cos 1

La longueur de Tare de cette courbe ne dépend que des intégrales elliptiques.

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. l49

Problème n<» 12.

Calculer la longueur de la courbe qui a pour équation

Cette équation peut s'écrire

Nous voyons ainsi que la courbe se compose de quatre parties égales à celle située dans Tangle des coordonnées positives, et que, pour cette dernière, j est compris entre zéro

et a. Cherchons v- = \/^~^"Tl? après des réductions faciles, nous trouverons

d'où

"r-MJ^.i)

On peut intégrer, car j^'^est, à un facteur constant près, la différentielle de a^ — ^^5 on obtient ainsi

s = «'Va' — r*-+- const.;

faisant^ = a, puis j^ = o et retranchant le second résultat du premier, on a pour le quart de la longueur de la courbe

— ^ la longueur entière est donc égale k 6 a.

Problème n» 13.

ouver l'aire de la courbe a;*''-t-^'" = a'(xj')"~',

ignant un nombre entier positif.

ions ^^ = (4:, ( étant une variable auxiliaire; nous

:st pair, ( doit être positif^ la courbe se compose de parties égales situées, l'une dans l'angle xOjf, l'autre 'angle a/Oj'. Pour t = a^x et j- sont nuls ; la courbe le l'origine où cite est tangente k Ox; t variant de -i- 00 ,on a une boucle revenant à Forigine, tangente , La courbe se compose donc de deux boucles égales ; 1 aurait quatra, si n était impair, l u l'aire du secteur OMA ; on a

zHu:=xdr — r<lj>=^x^d— z=x^iit= rit.

ira donc

- arc tangC^ conal.j

on en déduit

irfl'

donc, si n est pair, Taire de la courbe sera ^^-^; elle sera

jr«'

si n est impair.

Soit ON ijig' a6) le rayon vecteur maximum^ on trouve

Fig. a6.

ON = fl-, donc Taire de la courbe est la an'**"' partie ou la ^ième partie de Taire du cercle dont le rayon est ON.

Problème n» 14.

Un cône et un paraboloïde {fig» ^y) de rés^olution ont même sommet, même axe, même base; on considère une

Fig. 37.

Sphère décrite sur leur axe comme diamètre ^ on demande de trousser le volume compris entre les trois corps.

î.n désignant par a le demi-angle au sommet àa. cône, K le rayon de la sphère, les équations du paraboloide le la sphère seront

j;'-t-j''=aRîiang'«, x'-h3-'-hz'=2Ri.

nons des coordonnées polaires, et les équations de nos is surfaces deviendront

;^r=2RcosS, sphère.

)n voit (fîg- 28) que, si tang'a est plus grand que i; ■ayon vecteur du paraboloide sera toujours plus grand

! celui de la sphère; si, au contraire, tang'cc est plus il que I , le rayon vecteur du paraboloide ne sera plus nd que celui de la sphère qu'autant qu'on aura

tang'a>siii'e ou tanga>sinS; a donc deux cas à considérer :

" a^ v; c'est le cas de la Jig. i\ le volume dont on rche la mesure est engendré par la partie ombrée de

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. l53

cette figure^ Q varie de a à -» et, pour des valeurs données

de 0 et J/, r varie de 2Rcosd à — : — -— tane*a: nous aurons ^' sin'e ^^ '

donc

71 2Rcos0 ,

- — T-TT- tang*a

f £/>|» / sinBdQ / /^^/;

0 «/« J2 R cos tf

on en tire, en effectuant deux des intégrations,

Jf cos^Ô ( . f ^ — sin ô Wo ;

l'intégrale indéfinie relative à & est

tang*a / 2 i \ cos^O

on obtient sans difficulté

V = ^ ■ (tang'a — cos*a),

expression qui, pour a = -^, est égale à ttR'.

2*^ a <^y : c'est le cas de \B.fig. 2*, le volume dont on

s'occupe est engendré par la révolution de la partie ombrée autour de Oz, Soit sindi = tanga*, nous aurons

sRcosd

tang'a

8in'0 27r / sinÔrfO / r^dr,

cos 5

sinG^fO f a «/2R

— 5 — / cos^Ô - . \- — sinO

l54 DEUXIÈME PARTIE.

On trouve, en achevant les calculs,

V = -i-5 — tang*a(cos*a -♦- 3 cos^a — i),

expression qui, pour ^= t' s^ rëduit bien aussi à ttR'.

Problème n» 15.

Troui^er la valeur de l'intégrale

v= çç ^^^-^

étendue à tous les points situés à l'intérieur de l'ellipse

Je prends des coordonnées polaires, en faisant

.rz=:rcos0, j = r8in9;

pour chaque valeur de 0, r* variera de ô à , . ,^ j- — — :

dx dj doit être remplacé par rdr dQ\ j'aurai donc

ab

Or

y^[,^-|- (fll— ^►»;(l^ 2COS»e)]»-f- 4 («» — 6')» slu^e COS»6

En substituant à la place de r' ses deux limites, on trouve, après quelques réductions,

I /*^'f ,*, r a'sin»e + ^*cos»en

Or on a {"voir Frehet, p. 285)

log sin 9 ^0 = log 2,

d oVi

Jlog sin' ô rfô = — TT log 2, o

o 3Tr

J/»3Tr log sin^ BdO = — ^nlogz,

/ iog4

ffôr=:4^1og2,

X27r log4sin»Ô£/ô = o;

il restera donc

,r ï r^^ ^..1 /,a»sin»Ô-f- i»*cos»0\

v=-J^ <ioiog(4 ,.,. )•,

mais, en posant e'*v-ï= ^^ il vient

.^i»8in*ô-l- è'cos'O a-hb/ a — b \ [ a—b . 4 : = i I I z\\\ r^ Z-» 1 ;

le module de — ; — j z est égal à — — rî comme celui de

DEUXIEME PAETTE.

- 2" * 5 ces modules sont donc plus petits que 1 5 ou pourra donc développer

suivant les puissances de z^ en séries convergentes ; faisant ces développements, remplaçant z -h z~* par .-2Cos2d, z* -h z~* par 2 cos 40? • • • ^ nous trouverons

'^i^ ^-TÂ^ )

= log . — 2 r COS20

Multiplions par (id, intégrons de zéro à 2?: en remarquant que