C0S2Ô</Ô=:O, 1 COS40^0 = O

et il viendra finalement

telle est la valeur de l'intégrale cherchée.

Problème n^ 16.

— étendue à tous

les points de la surface de l'ellipsoïde représenté par V équation

jA y» 2'

EXERCICES SUBL LE CALCUL INTÉGRAL. iSj

dS représentant un élément de la surface et P la distance du plan tangent à cet élément au centre de l'ellipsoïde.

Soit V Tintégrale cherchée \ on a

dx dy v'i -4- /?'-+- q^

Or l'équation de Tellipsoïde donne

d'où Ton lire

On a du reste

il viendra donc

''-ff{i*i-î)-.

dy — ï

OU bien, en remplaçant z par sa valeur ci / i — — — ~,

Fixons les limites des intégrales; l'intégration doit s'étendre à tous les points compris à l'intérieur de l'ellipse dont l'é-

Xi y*

quation est ~ -+- — = i ; x variera de — a k+a

et

pour chaque valeur de x^ y variera de — ^1/' — ~;à

l58 DEUXIEME PARTIE.

-h i i/ I — -; ; on peut réduire ces limites, pour x à zéro

et a, pour j^ à zéro et A i/ i -^ pourvu qu'on multiplie

par 4 1^ résultat obtenu; il faudra encore le multiplier par Q pour tenir compte de la moitié de la surface située au-dessous du plan des xy \ nous aurons donc

8 r\ i ' ^ —^ "^ -^ sr- y'

fj'^j

V=- I ax f ^.

pour intégrer par rapport à j-^ nous poserons

j=:^.y/,- Jsincp;

© variera de zéro à -> et il viendra

En remplaçant sin*ç par -j — |cos2f , on trouve que l'intégrale indéfinie relative à cp est

rintégrale définie est

il nous faut maintenant multiplier cette quantité par djc^ et

EXERCICES SUR LE CALCUL IITTÉGKAL. iSq

intégrer entre les limites zéro et a, ce qui n'ofire aucune difficulté^ nous obtenons ainsi

3 abc

Problème hp 17.

Calculer l'aire de la surface

z= arc sm I — )

comprise entre les plans x ^=: Xo et x = Xi\ montrer quen cliacun des points de cette surface les rayons de courbure principaux sont égaux et de signes contraires.

Il s'agit d'évaluer Fintégrale double

"' '=//vMSr+fsr'^*

étendue à toute cette partie du plan des xy comprise entre les droites x ^= x^ et a: = a^i, sur laquelle se projette la surface. Nous allons faire un changement de variable^ posons

Nous déduirons d'abord de là

(3) fLt£:=v/r^. ^i±^=,/7TTs

et, en diflerentiant les formules (2), (4) dx=i-^==f djr=z

l6o DEUXIÈME PARTIE*

Téquation de la surface deviendra

z = arcsin(Xy); on en tire

dz Y^ dz X

on a ensuite

dz dz dx I dz

dK. dx dX Ji ^2 dx

J*où

dz , —dz Ys/i-f-X» dz Xi/i-4-Y»

fl?.r «?X y/i — X'Y» ^r y/j— X^Y»

d*OÙ

/^y /^gy i-f-X'Y^4-X'^-Y^ — ('•^X^)('-^Y» ' "^ l^rf^/ "*■ \dr) "" 1 — X'Y* "~ ' I - X^Y^

On sait que, dans le changement de variables, dxdy doit être remplacé par

dx dy dx dy

dXdY dY dX^ '

ou bien, comme x ne contient pas Y et que j^ ne contient pas X, on aura simplement, en remplaçant dans l'expression (i) le radical par sa valeur (5),

s= rr^ ^fctïHiis^^,

-If

dX rfY ^r - X'Y»

dx dv remplaçons ^ et — par leurs valeurs (4), nous aurons

simplement

Voyons (Jig* 29) quelles sont les limites de nos nouvelles

variables; d'après la nouvelle expression de z, on voit

qu'on doit avoir

~i<XY<i;

le point XY doit donc être compris entre les hyperboles cjui ont pour équations XY =^ i et XY = — i ; pour chaque

valeur de X, Y variera de — — à -h i^» enfin X variera

de Xo à Xi, ces valeurs étant définies au moyen des données par les formules

nous aurons donc

Jx. J , v/i — X

Or

jz=zz=: = — arcsinXY -h const.;

T. — Hec.

DEUXIEME PIRTIE.

" . s /■"■iX , X,

= x " ' = "X. X="°ex;'

ur résoudre la seconde partie de la question, il nous de montrer que, pour tous les points de la surface,

{l + î')r +(!+/.')/ — 2jiq.^ — a.

avons déjà

Ty/i+X- Xy'i+T'

Vi — X'T' ^i-X'Y'

entions ces formules, et, dans les premiers membics, laçons dx et dy par leurs valeurs (4), nous trou-

— -iX-F , d1

XT(i +T')

T-iX-f

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. l(>3

d'où l'on tire

XY(i-f-Y») ^r+X^v/î'^ï^ XY(i4-XM

r^=z i ^, sz=. y—, frzr j,

/ ,N / .^. XY(i-+-X')(i4-YM

par suite, l'équation (6) est identiquement vérifiée.

Problème n® 18.

On demande de trouver la valeur de V intégrale double

X^ r^ dxdy

en passant des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires ,

On sait que, dans ce changement, dxdj doit être remplacé par rdrdd^ de telle sorte que l'intégrale proposée va devenir

r r rdrM

Beste à fiver [fig- 3o) les limites entre lesquelles on doit

Fig. 3o.

intégrer: or, dans l'expression (i), les intégrations s'étendaient à toute Taire du rectangle OACB, dont les dimensions sont aQlb\ ici tant que 0 sera plus petit que 1* angle

DEUXIEME PÀKTIE.

COA, dont la tangente est -» on devra intégrer par rapport à r depuis zéro jusqu'au rayon vecteur OM de la droite AC, lequel est égal à — r ; pour 6 plus grand que COA, on devra

intégrer depuis /' = o jusqu'à r = ON = -:— r -, l'expression (2) va donc devenir

arc tang -

dQ / j -H / dB

Jo (^'^ + '•')' J 6 c/o

sin9

rdr

Or

arc tang a

/* rdr (c^^r^y

const.

Nous trouverons donc, pour l'intégrale cherchée,

arc tang -

dQ

COSÔ

^ ^a--hc-^ — c'sin

in«e;

dB -

arc tang -

/i sinô \

On voit qu'on peut effectuer les intégrations : nous avons indiqué cette méthode pour montrer commeut on fixe les limites des nouvelles variables*, mais elle n'est pas la plus courte. Revenons à l'intégrale proposée, et intégrons d'abord par rapport à y ^ nous aurons

df

(C» -h ^» H- jr2f ^' -*•- ^' é-' + ^' -4- ^'

const. ,

EXEUCICES SOK LE CALCUL INTÉGRAL.

d'où

dX

et l'intégrale cherchée devient

on a

-f-ar2)^^»-f-c^-4-ara c

- arc tang — — -4- const. ,

c^b^-^ c^-hx^

et Ton déduit la valeur demandée

X^ r dxdy I ai

/ T =- arc tang -—==

Problème n« 19.

O/i donne l'équation différentielle

OU ûr, i, a', J' 507i« rfe.9 nombres commensiirables ; on demande dans quels cas l'intégrale sera algébrique.

On sait que, pour intégrer Téquation (i), on pose

jrz=zxz\

on trouve ainsi

[a -\-[b 'ha')z -h b'z^]dx -h («' -H b'z)xdz=:o

ou bien

dv [a''^b'z)dz

x a + [b -ha')z ■+■ b' z*

zrz O.

DEUXIEME PAUTIE.

Soit posé

a' -hb'z

a\- [b -ha')z-\-b'z^

et nous aurons

kdz

Bdz

Intégrant et désignant la constante par logC, il viendra

d'où

Iog.r-4-Alog(3— a) 4-Blog(z — p) = logC,

ou, en remettant - au lieu de z,

11 faut qu'en élevant les deux membres de cette équation â une certaine puissance A, les exposants deviennent entiers. Soient donc //i, n, p des nombres entiers 5 on^doit avoir

d*OÙ

on tire de là

11 faut donc que A et B soient commensurables, et cette condition nécessaire est d'ailleurs suffisante. Or, dans la

décomposition de Texpression (i) en fractions simples, on a

A=^-; -. rr— 1 a =: -^— Tï •'

— b^a'-hzb'p' P"" b'

et il en résulte

2Bi=I

^i^b-^a'Y^^ab' a'—b

^{^b + a'Y^^ab''

A et B devant être commensurables, a' et V l'étant par hypothèse, on voit que la condition cherchée est que le

* radical y]\b -\- afy — 4^^' soit commensurable.

Problème no 20.

1** Montrer que V équation

(i) y{x^-^y^)d.x -\' x(^xdy — ydx)z=zo

admet un facteur homogène, de degré — 3, rendant le premier membre une différentielle exacte;

2? Prouv^er quelle admet aussi un facteur de la forme

3** J'rouver à Vaide de ces deux facteurs l'intégrale générale de l'équation (i).

L'équation que doit vérifier tout facteur 1 relatif à Téquation (i) est

(2) j^(.r»-f-^'» — x)- a:»-- -^Ux^-h iy^-3x) = o.

dy cLx '

l6S DEUXIEME PARTIE.

■ " Je suppose

aisant u =

! trouve

antces valeurs dans l'équatioa (a), et remplaçant en le temps y par ux, il vient

sparait comme cela devait être, et il reste

+ 311' uA-a' ~ **'

ir'

avons donc

Je mppo»

Portant ces valeurs dans Téquation (2), il vient

d'où

On tire de là

ce qui nous donne le facteur

3° L'intégrale générale sera

OU bien

Problème no 21.

On considère l'équation linéaire

On pose

(2) X=uv,

et l'on demande de déterminer la fonction m, de manière

que V équation en i^, qui sera aussi linéaire et du second ordre, manque de second terme

En substituant la valeur (2) dans Téquation (i), on trouve

[d^u .du / V n

On doit avoir

d'où

l'équalion (3) devient

Dans certains cas, cette nouvelle équation peut être plus facile à intégrer que la proposée.

APPLICATIONS, o

d^ y dy

(a) j?'— \-^nx- — h[n(n — i) — h^x^]rz=LO.

^ ' dx^ dx ^ '

On a ici

— nj —

l'équation en ^ est donc

rîntégrale générale de cette équation est

et celle de la proposée (a)

où A et 6 sont les deux constantes arbitraires.

On trouverait de même que l'intégrale générale de l'équation

est

X =zûr:-'^[kcoskx + Bsin^j:).

2° Uéquation proposée est On trouve

l'équation en i^ est

On aura à distinguer les cas où tî H- « est positif, nul ou négatif; dans le premier cas, l'intégrale générale de l'équation [b) est

jr = ér'*'! A cos[a: slQ.{n -+- aj] -h B sin[.r y/2(/2 -f- a)] j ;

ly^ DEUXIÈME PARTIE.

dans le deuxième

r = ««'(A-4-Ba:);

dans le troisième

X = e^*[AC^'-*('''^> -+- B<r-*v^-»(»^)].

Problème n« 22.

Tromper l'intégrale générale de l' équation linéaire

— -7 4- ( tangj; — 2 cot* ) -7- -h 2 cot'j*, r == o ,

sacliant que la fonction y^ = sïnx vérifie cette équation, Soit généralement l'équation linéaire

d^Y ^dy ^

où P et Q sont des fonctions de x, et qu'on sait être véri fiée par la fonction j^ =JKi '1 l'intégrale générale est

Dans le cas actuel,

J.rrrsinjr, P %\Xixdx

COS.r

g-SVdx.

z tang j: — 2 cet jr,

/COSxdr - ;; = lOgCOSOr Sm*.r, siDo: ^

cosx sin* j:.

Donc

ou

j =rz B sin^ -f- A ûnxfcosxdt X=:A sin'ar -h B sin jr.

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. ly'i

Problème n<> 23.

Résoudre la même question pour l'équation

qui est vérifiée par la fonction Icî

Donc

/dx T

in^x-h \ji — x^y y =B (a: -H V^I -h x^)" •

ou, en faisant = ( — i )"

Soit i équation linéaire

il y aura entre y et t une équation linéaire

On demande de déterminer t dejaçon que l'équation en y manque de second terme.

On a .

dxz=ff*[t)dt\

nous ferons

^4) rï^^ =+{').

<iV)

doù

dx =

On trouve

et Ton voit aisément qu'on a, en général,

Substituant dans l'équation (i), on aura Téquation linéaire (3), et Ton trouvera

EXERCICES SUR LE CALCUL mTÉGRAL. 1^5

et cette expression doic être nulle; donc

^ , - nin — i) ,-, ,

OU bien

f,[x)dr-^\^dt=iO'^

on en tirera, en intégrant, et ensuite

tzzzjdxc «C«-0

telle est la relation cherchée entre x et t.

APPLICATIONS

I ** Faire disparaître le second terme de l'équation

^ ^ r/or' ^ I 4- ^' dx (l -h :c')^ "~

On a ici

9 f =: C arc tango; -4- C ,

j:=:tang— -—

Nous prendrons simplement x =^ tangf , et nous trouverons que l'équation proposée devient

on a donc, en désignant par A et B les constantes arbitraires,

j^ = A cos^ -+- B sin r,

et, en remettant x au lieu de ^,

A-f-Br

y/i -hx'

ce qui est l'intégrale générale de Téquation (a;. 7? Considérons l'équation

on a

/2 = 2 et y; (a?) = H — —'-- — • faisant abstraction des constantes, nous trouverons

/dx -== 9 t ■= arc sma:, x = sm/.

L'équation en j^ et « est ici

dr * '

elle donne

j z=A cosmt -+- B sin m/ ou bien

jr = A cos(/w arc sin.r) + B sin (m arc sin j*}, ce qui est l'intégrale générale de l'équation {b),

, , d^y é^ — e~^ dr Am^y

^^ dx^ e'^'-he-^dx {e"-¥-e-*'Y

On aura

- — la ^ — '— dx

t= fdxe •' «3*H.e-2x

Or

Donc

2 ^ ^ arc tang ^ ", e'* = tang 2 f , jc = -log(tang2/).

On trouve aisément que l'équation (c) devient

d'où

jr = A cosmt -h B sinmf.

Donc Tintégrale générale de Téquation (c) est

j = A cos ( — arc tange^» j | g gin / ^rc tang^" ) •

d^Y I dy

if) -/z — -^ -f + m'y tang^or = o.

' dx^ sma: cosar a^ «^ o

On trouve

•^ J COSar ^ '

Téquation [f) devient

on a donc

/ = A cos/72/ — B sinmf,

et, par suite, l'intégrale générale de Téquation [f) est

X :=■ À. cos ( m log cos j? ) -4- B sin (/n log coso:). T. — Rec. 1 2

1^8 DeOXIÈME PIBTIE.

Problème s» 25.

Prouver i/ue l'expression

di—'

vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre, et trouver la valeur deB enjaisant dans l'équation différentielle z = cosar.

Posons

et nous en déduirons

Je diflerentie n fois cette équation ; en appliquant la formule de LeibnitE, et remarquant que

d'y dB

j'obtiens

OU bien, en réduisant,

*' '■ ' dt' dz

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL, f^Q

Je change de variable indépendante, en posant z = cosx,

d'où

dûc :=: ■ )

ce qui me donne

I dQ

dz

y^I — Z» dx

d'9 dz^

— a dQ ^ I d^o . 1 dv I — a» dx^

réquation (i) devient

Soient A et B deux constantes^ l'intégrale générale de l'équation précédente est

(2) 0 =Asin«.r -j- Bcos«.r.

Or, sî Ton revient à Texpression proposée, en récrivant comme il suit :

et qu'on emploie la formule de Leibnitz, ou trouvera

ô = (~ i)«-' 1 .3.5...(2« - i)ii±iIL ^/x - z'^{i-^zyf{z),

f{z) désignant une certaine fonction de z qui reste finie pour 2: = I ; de là nous tirons

0=ro et = = (— 1)«-.,. 3.5.. /2.^,)

pour z ==:i. Or, pour i? = i , x = o,

^ i — 2* sin.r

ist.

iO EUXIEHE PARTIE.

eDam à l'expression (2) de 0, et faisant :r=o, on ,ve

e^=B: donc B^o,

lim-: — := lim — ;- — -^ := nA, smx sm^

r x=: o\ donc

«A=(-,)-',.3.5...(^-,), DUS avons enân

rf-i(,,.)-

problème n' 2G.

I demande déformer une équation différentielle l ~e du second ordre que vérifie la fonction

upposons 71 > I , nous pouvons diâerentier sous le af, et nous trouvons

en intégrant par parties, on a

irtie intégrée s'annule pour z = — i et pour z =r=~

EXERCICES SCU LE CALCUL INTÉGRAL. l8l

dîfférenliant deux fois Tcxpression (i) par rapport à ar, on ' obtient

ou bien

(z»— i)'^«e"^3-4- / [z^'-\Ye''dz,

ce qui peut s'écrire, en tenant compte des valeurs (i) et (a)

1 dy

dej-et-,

d^r in dy

</j:' ^ da:

L*équation différentielle demandée est donc

d'x dr

Changeons dans l'expression (i) de y^ et dans l'équatîori (3) X en a: y/ — i^ Téquation difiérentîelle, après la suppression du facteur commun s^ — i , deviendra

l'expression nouvelle dej^ sera

(z^ — r)«"-' cos.rzrfz -h y' — i i (^^ — i)"-*sinj:z^z.

Ou voit que

(i — z^f-^co^xzdz et

',=r I (i — z^)"-' siQj:zcb

sont les deux intégrales particulières de l'équation (4), on peut du reste écrire, en faisant z = coscp,

J/»7r ' sin'"~'ç cos(a: cosy)€fy,

Jq

Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer la proposîtion suivante, due à Euler :

L'intégrale

Jo

•du

vérifie l'équation différentielle linéaire

In J

La fonction y représente, à un facteur constant près, la série

appelée série hyper géométrique , étudiée très-complètement par Gauss, Jacobi, etc.

Problème n» 27.

Intégrer l'équation

, . d'*Y n d^-W nirt — x) d'^-^y , .

^ ^ dx" I ^.r»-» 1.2 dx""-^ ^ ^ -^

Cherchons d'abord l'intégrale générale de l'équation sans second membre; nous faisons j'= e'"'; l'équation caractéristique en r est

7" flA»-' 4- . . . == o ou bien (r — aYzzzoï

EXERCICES 8UB LE CALCUL INTÉGBÀL. l83

ses n racines sont égales k a\ on a donc, pour Tintégrale générale de l'équation sans second membre,

et il suflSt d'y ajouter une intégrale particulière de Téquation avec second membre. Il est naturel de chercher une intégrale particulière de la forme

mais ou tombe sur une impossibilité

Nous supposerons, en suivant la méthode de d'Alembert, que le second membre de l'équation (i) soit d'abord e'", et nous chercherons une intégrale particulière de la forme

nous trouverons

d'où

Nn ?

{h-^aY

donc, dans ce cas, l'intégrale générale de l'équation avec second membre est

[1) j — e«'(Ao + A,x H- . . . -f- Kn^^af^') -f- .^ ^. ;

il n'y a plus qu'à faire tendre b vers a\ faisons b =.a -f- e, nous aurons

et, en développant e" en série convergente, on aura

{b — a)" Lg« «"-' 1 g«-2 1.2

e 1 .2. . .(/i — ij 1.2.. ./zj

DEUXIEME PAaTIE.

0{x) s'annulaDt quel que soit x, pour e = o. L'expression (2) devient ainsi

-+- A„,H ^ -. Ij:»-'-^ f!L 0(a:),

L e.I.2...(« — ijj I 2...7Î) ^

ou bien, en introduisant de nouvelles constantes et faisant tendre e vers zéro,

Jrr:C«MBo-hB,ar-|-B,x2^. . -f- B„, J:— ' -f-

telle est la solution cherchée.

Problème n<» 28.

Trousser l' intégrale générale de l'équation linéaire

fO

da^ ^ ^

r/a/w laquelle A, B, . . . , L sont des coefficients constants, et F (x) un polynôme entier.

Tout se réduit, on le sait, à trouver une intégrale particulière, que Ton ajoutera à l'intégrale générale de Téquatîon sans second membre; c'est la recherche de cette intégrale particulière que nous avons en vue. Je dis que cette intégrale est la suivante :

y = aY[x) + iF'(.r) -|- cF''(x)

a, i, c, . . . étant les coefficients de ^o, <3*, z*, . . . du développement de Texpression — ^ 5 suivant les

puissances entières et positives de z. En elTet, nous avons,

EXERCICES SUR LE CALCUL IiyTÉGRAL. 1 85

pour définir les coefficients ât, &, c, . . . , Tëquation

d'où l'on tire, en chassant le dénominateur et identifiant le premier membre au second,

0 = Ar 4-Bè-f- Ce,

d'autre part, l'expression (i) doit vérifier l'équation (i); or le résultat de la substitution de cette expression dans l'équation (i) est

(Aa — i)F(a:) -+- (A^» -♦- Ba)F'(a:) -+- (Ac -f- B^» -4- Ca}F"(j:) -+-...,

et, en vertu des équations (4)5 cette expression est nulle identiquement.

Supposons que, dans l'équation (1), on ait A = o^ dans

ce cas, l'expression -i^"^ ne peut plus être déve-

loppée suivant les puissances entières et positives de z seulement^ mais on peut toujours la développer comme il suit :

U z H- Li Z' -|- . , ,

et je dis que l'intégrale particulière de l'équation

^ ^ dx dx' dz'* ^ '

sera

(7) y— bfY{x)dx -4- cF(a:) -4- dW {x) -4-/F''(x) + . . . .

On a, en effet, en chassant le dénominateur de l'équa-

l86 DEUXIÈME PAUTIE.

tion (5) et identifiant,

I— B^ /Qx . o — Bc -f- Cb,

o=zBd~\-Cc -hBb,

et, en substituant l'expression (y) dans Téquation (6), le résultat est

(B* — i)F(x) + (Bc-+"C^')F'(^)-4-(BJ + Cc-f-Dè)F''(.r)4-...,

expression nulle identiquement, en vertu des relations (8)5 on verrait de même que, pour Téquatiou

dx^ dx* dx" ^ ''

il faudrait prendre

jr z= cffF(x)dx^-^ dfF(.T)d,r -^fF{.T) -^ gr {:r) -\-. . 0,

les coefficients c^ d^, . . étant définis par la relation

Trouy^er l'intégrale générale de l'équation

/z , dy n{n — i) , ^d^r I dx 1 . 2 dx*

OÙ F(j:) e5t u/2 polynôme entier en x et h une constante.

D'après Texercice précédent, on aura une intégrale particulière de l'équation (i), en prenant

y =: aY{x) -h br[x) -h cY"[x) + . . . ,

EXERCICES Sm LE CALCUL INTÉGRAL. 187

les coeflScients a^b^c^. . , étant les coefficients de z\ 2% z*, . . . du développement de Fexpression

suivant les puissances entières et positives de 5, or la formule du binôme donne

I i n z n{n-hi) z^

On aura donc, pour l'intégrale particulière cherchée,

du reste Tintégrale générale de l'équation (i) sans second membre est

y = c*'(Co H- C,.r + C,X^-h. . . -h C„,ar«-«).

Nous aurons donc, pour Tintégrale générale demandée,

r = e^' (Co -4- Cix -4- C2.r>+ ... -4- C„, :c"-' )

-' '^-^ H rrrr- -h -^ ^~^ +. ...

Problème n» 30.

Trousser l'intégrale générale de l'équation

dans laquelle a, j3,. . . , À, /: désignent des constantes, et F (or) U7I polynôme entier en x.

Nous allons ramener ce cas au précédent, en faisant

(2) jr = ze^',

l88 DEUXIEME PARTIE.

ce qui nous donnera

Az-t-B — dx

et l'équation (i) deviendra

dx di^ ^ '

Nous rentrons donc dans le type déjà étudié; îl reste à trouver les valeurs des coefDcients A, B, . . . , L, en fonction de a, j3,. . ., i.

Pour y arriver, dans l'équation (3), je fais z = e*', d'où ^.,^(H-*)x^ etTéquation (3) devient

= A H- BA + G/i'-f- . . . + L/i",

Soit donc posé

a-f-pX-hyA-'-f-. . . + X^''=f(^),

et nous aurons

et Téquation (4) deviendra

,,. • (p'f^) dz oUA) dH ^, .

en multipliant une intégrale particulière z de cette équation par éî*', nous aurons une intégrale particulière de lequatiun (i).

EXERCICES SCK LE CàLCTTL HJTÉGUU.. 189

Problème b9 31.

T^rouver toutes les fonctions f jouissant de la propriété

quelles que soient les valeurs de x et y.

L'équation (i) ayant lieu pour toutes les valeurs de jr, je peux prendre les dérivées des deux membres par rapport à a: ^ je trouve

J'ai de même, en prenant les dérivées par rapport à 7^, et, en comparant les deux valeurs àef\x -f-jr)? ^1 vient

f{x) fiy)

Le premier membre de cette équation est une fonction de X qui peut être quelconque ; le second, une fonction dej^ qui peut aussi être quelconque. Pour que Tég alité puisse avoir lieu pour toutes les valeurs de x et j^, indépendantes les unes des autres, il faut que les deux membres soient égaux à une constante a. On a donc

et, en remontant aux fonctions primitives et désignant par b une nouvelle constante,

arc tang/(a:) = «j? + ô.

L'expression (i), quand on y fait ^ = o, donno

a donc par suite.

f{x) — tanga,

FrobUme n« 33.

Trouver la fonction tf, telle que l'on ait

«/■ toutes les valeurs de x et dey.

Dans l'équation (i), je prends les dérivées par rapport

?, ce qui me donne

Je prends les dérivées des deux membres de l'équation (a) r rapport à.y, et je trouve

bien

Ainsi la fonction .^ .' ne doit pas cbanger quand on nplace u par x H- j- ou j: — j'. Comme x -i-y ttx —y

peuvent être quelconques, et indépendants Tun de l'autre, il en résulte

•î-y— r = const.

Supposons d'abord la constante positive, et prenons

Tîntégrale générale de cette équation linéaire est, avec les deux constantes arbitraires A et 6,

(4) ff{u) = A€r"*-hBc'^'\

Nous devons substituer cette valeur dans l'équation (i), car les équations (a) et (3) sont plus générales que l'équation (i)*, nous aurons donc

(AC~+'V-+- Be^'^-^) (Ac"'-'V-|- Be-'«*+*y)

cette équation se réduit à

(A 4- B) (Ae^-h Be-^J") = o.

On doit donc avoir

et l'expression (4) deviendra

Supposons maintenant

l'intégrale générale de cette équation est

(f{u) =zA' cosmu -i-B'sinmii

Substituons dans l'équation (i), et nous trouverons, après

igi DEUXIEME PAUTIE.

quelques réductions,

cos — ^ H- B'sm -^ ) = o.

Cette équation devant avoir lieu quel que soit y^ comme on ne peut pas avoir en même temps A'=; o et B'= o, il en résultera

et, par suite,

ç>^'w) =: h'smmu.

Ainsi les deux seules fonctions jouissant de la propriété demandée s'obtiennent en multipliant par une constante

arbitraire ou siumx, m étant d'ailleurs un

nombre quelconque.

Problème n<» 33.

Trouver les fonctions les plus générales f et ç, telles que, quelles que soient les valeurs de x et y^ l' expression

puisse se mettre sous la forme

et troui^er les fonctions F ei 4>.

En diSérentiant, on obtient

EXERCICES SUR LE CALCUL IlTTÉGRiL. 1^3

et l*on doit avoir

dxdy il vient ainsi

OU bien

OU encore

Ces deux expressions devant être égales, quelles que soient les valeurs de x -\^j et x — j^ qui sont d'ailleurs indépendantes Tune do l'autre, chacune d'elles est une constante . et Ton a

X jr

Considérons la première de ces équations, et faisons, pour plus de clarté,

nous aurons

du 1

équation linéaire. En intégrant, on trouve

IQ^ DEVXll^IE PARTIE.

atégrant de

u, en désignant par a, b, c, a', h' de nouvelles con- Lantes arbitraires, on aura

vÉnrpiCATiOH.

Adoptant les valeurs précédentes pour lesfonctionsy et ç,

V= {a + a'):r + (6 + A')*'-!-2c^ - [(a - a')y + {b + 6'}j'+ ac/']; n a donc

F(x} = îC.ï:'M- (b -i- h')^-\- (a + û')^,

*{r) - acj---^ (fc + b')x'-h (a ~ a-)y.

Cette question se présente tout naturellement à propos e la solution, donnée par Jacobi, du mouvement d'un point latériel attiré par deux centres fixes suivant la loi de

(evrton.

EXERCICES SUR LE CALCUL HÏTÉGRÀL. IpS

Problème n^ 34.

On demande de trousser l'intégrale générale de l* équation aux dérivées partielles

Ou est conduit à iutégrer le système suivant d'équations dîiférentielles simultanées :

dx

H- 4«>y — Znx — 3/2/(2) +/'(a) = o,

-r -+- wj — ^ — /(z) = 0.

az

On Yoit immédiatement que ces équations, qui, du reste, sont linéaires et à coefficients constants, se simplifient beaucoup, si l'on pose

elles deyiennent effectivement

dz ■4'^'r — 3«X=:0,

On voit que ces équations sont de même forme que les équations (2), mais elles n'ont pas de seconds membres. Pour les intégrer, nous allons éliminer X •, de la dernière, nous tirons

Reportant cette valeur dans la première équation (3), il

vient, après réduction,

Téquation caractéristique qui correspond à cette équation linéaire et à coefficients constants est

r' — 2/ir -4- 72^ nr o,

elle a ses deux racines égales à n ] donc l'intégrale générale de Téquation (3) est, en désignant les constantes par C et C\

Reportant cette valeur dans Téquation (4)r ^^ remplaçant X par sa valeur en j: et z, il vient

(7) .T-^/{z)=e^'[2n{Cz -h C')+ C];

les équations (6) et (7) constituent le système intégral des équations différentielles (3)', résolvons par rapport à C et C^ et nous aurons

C=re-"[.r-. 2/27-4-/(3)],

C' = e-^* \y — xz-^r 1 nyz — «/( 2)].

Donc l'intégrale générale de Téquation aux dérivées partielles proposée est, en désignant par 4* une fonction arbitraire.

«-"*[/ — xz-^ inyz — 2/(z)] = 4> ! e-"»[.r — iny -4-/(z)] j.

Problème n» 35.

Intégrer l'équation aux dérivées partielles

.. + (^,/Rrr^)==o.

. Il faut considérer le système suivant d'équations simul-

tanécs

dx dy dz

on en tîre

^dy —ydx-h V^R*— C;rfjr = o,

, y I -TTz dx

d^ 4. ^/RTzrcj -- =r o.

Intégrons et désignons la constante par Cs, et nous aurons

résolvons par rapport à Ci et C, 5 posons et nous aurons pour Tintégrale chercliée

C est facile de trouver une génération simple de la surface représentée par Téquation précédente ; les équations

sont cdles d'une droite parallèle au plan des xy^ et qu passe par le point ayant pour coordonnées

x = o, jr = ^R>— c;, z=zC,,

Ce point est toujours situé sur la circonférence de rayon R, tracée dans le plan des j^z avec l'origine pour centre \ donc les surfaces cherchées sont toutes celles engendrées par une droite qui reste constamment parallèle au plan des o^, en s'appuyant toujours sur la circonférence définie précédemment.

UBCXtÈUB PARTIS.

itêgrer l'équation aux dérivées partielles

: considère le système

dr dy dz

tire d'abord

C, = -1 dx= Linge,

,/i + c; ^ émettons dans cette dernière éijuation ~ au lieu de Ci , 3sons

C,/r+Cf = *(C,); î trouverons

^jt'H-j' = ï tanga + ♦ f ^ J ;

! est l'intégrale cherchée. Donnons une génération lie de la surface ; les équations

C, = ^, X —L^ tanga = C,

celles d'une droite qui rencontre constamment l'a z -, le cosinus de l'angle qu'elle fait avec Oz est

Donc les surfaces représentées par réquation proposée sont toutes celles engendrées par une droite qui rencontre constamment l'axe des z, en faisant avec cet axe un angle constant.

Problème n« 37.

Trouver toutes les fonctions V de x^ -{- j^ -^^ z^ ^ telles

que l'on ait

dx^ ' dy^ dz^ Posons

j df X

= V^'-Hr'+2^ d'où — = -,

dx T

et nous aurons

dW^^d\ X dx dr r

d^Y d'\ x^ dYfi x^ dx^ dr^ r^ dr \r r^

On en déduit, en supposant écrites les expressions de

d^\ d^Y dx^ dz*

d^Y d^Y d^Y d^Y 2 dY

dx^ dy^ dz' dr* / ^/ '

nous aurons donc

ou bien

d^Y 1 dY

dr^ ' r dr

dr^

dY

Hr

EXERCICES ^1}R LE CALCUL ll^TÉGKAL. 201

et cette fois, en regardant Y?* comme la fonction, nous avons une équation linéaire à coefficients constants ; nous en déduisons, en appelant les deux constantes arbitraires A et B,

Remettons pour /• sa valeur ^a;*-f-j>'"'-f-^*: et nous aurons pour Texpression la plus générale de la fonction cherchée

^Ix^ H- jr* -i- z»

Problème no 39.

Soit l'équation

dc^ dxdy dy"^

où A, B, G désignent des constantes ^ aux ^variables x et y on substitue deux autres variables x' et y' ^ liées aux premières par les équations

(2) x'z=z ax 4- hy^ y =■ dx -h Uy\

alors l'équation (i) prend la forme

On demande de choisir les constantes a, i, a', b\ de façon que A'= o, 6'= o ; conclure de là la solution la plus générale de l'équation (i).

Des expressions (2) je tire

daf =zadx -i- bdjr^ dy z=. adx -^-Vdy^

DBUXIËHB PARTIE.

«0bien

<ir

rf'î

-ha

-hl>

dH d^'d/

-hb

d'z dj/d/'

<l^dy'

dy-

dxdy

d^ df-

-^{ah'+ha')

d-e dy' dx' dy dy"

En multipliant ces équations respectivement par A, 2D C, ou forme l'équation (3), et l'on obtient ainsi la var de A' et C que nous égalons à zéro, ce qui nous donuc

Ao"+2B<ï'*'+Ci":

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. ao3

l'équation (3) se réduit donc à

dz

dH "dp

— o ou .■. =o;

dx* dy daé

on en tire, en intégrant et désignant par F'{j^') une fonction arbitraire,

intégrons de nouveau et désignons par 4>(x') une nouvelle fonction arbitraire, et nous aurons

en remettant pour x' et j^' leurs valeurs (a), et remplaçant h et V par les expressions (4), nous aurons pour la solution la plus générale de l'équation (i)

J B — v^B» — AC \ [ B + vB' - AC \

^=v — Â — ^rA^ — ^Â — n'

où F et 4> désignent deux fonctions arbitraires.

Problème n« 40.

Transformer l'équation , , ^d'^z d^z ^d^z dz dz

en faisant

a:==pcosa>, j^ = psin«.

En déduire l'intégrale générale de l'équation proposée.

■J- = C08u, ^ — sin»),

dit siDw dai cost

dx p dx~ p

f/2 dz sinu f/z

t/s i/z . cosw dz

djr df p iA>

1 trouve ensuite

— COS 2 û> — p

^^" rfprf»

sin* cos«

dz

dfda

rf's

dz

dp

>n en conclut

■^ ^ ~ ^"'■^ dxdy "^ ■^ -Tr" cquation proposée devient donc

EXERCICES SI}R LE CALCUL INTÉGRAL. ao5

On connaît Tîntégrale générale de cette équation linéaire \ les constantes arbitraires seront des fonctions arbitraires de /o, et Ton aura pour l'intégrale générale de Téquation (i)

z = <l> (p] cos» -h y (p) siû»

ou bien, en remettant x Q\y^

Problème n» 41.

Ç^ue devient l'équation aux dérii^ées partielles

quand on remplace les variables indépendantes xetj par

jc' xy et y' - ?

On a

dz dz dz dz dx'~^ tlx'^ dy""^ dx'

I dz

y^ df^

dH dH dx'"^ dx'^'^

on trouve que l'équation proposée devient

d^z , ,^ dz , , -, ilz . ,

elle est la même que la proposée \ si donc ^i = F(x, y') est

une solution de la proposée , 2:5 = F ( xy^ - j sera une nouvelle solution de cette équation.

ao6

Problème n*" 42.

Valeur de V intégrale f x^e^'* dx{oàn est un entier positif.

Cette intégrale a une valeur finie, car le coefficient de dx est moindre que — pour x très grand. Calculons d'abord l'intégrale

J = I e-^ dx,

Pour cela, considérons Tinlégrale double

r rc-(*'+r') dx dy,

étendue au carré OACB ou F (^fig* 3i) dont le côté csl

Fig. 3i.

égal à p ; on a

\ r e-i'^*-*-y*) dxdy== I e-^* dx f e-r' dy = \ f c-»' dx .

Si l'on fait croître p indéfiniment^ cette égalité nous montre que l'intégrale double a pour limite J^. D'autre part, décrivons, du point O comme centre, entre Oa: et

Oy, deux arcs de cercles de rayons p et p v/2 , et soit F', V

les deux quadrants ainsi définis; on a I f e-(*'+^*) dx dy< j I e-(-^'+r*) dx dy<: j Ç e~(**+y*) dx dy.

Or, en coordonnées polaires, l'intégrale étendue à F' dévient

r f e-^*rdrd^= f e-^rdr Ç c?0 = ^ (i — e-P');

et, de même, on trouve

C f eHx»4-r«) dxdy^j{i-^ e-«P' ).

Si l'on fait croître p indéfiniment, ces deux expressions

tendent vers la même limite 79 qui est aussi la limite de

f f e-<''+^'' dx dy ; d'où l'égalité

Evaluons maintenant

x^e-^^ dx.

En premier lieu, si n est impair (n = 2 A* + i), l'intégrale indéfinie est facile à calculer; posons, en efi'et, x^ = y\ l'intégrale J^ devient

- / yf^e-Ydy^

or, en intégrant par parties, on trouve

I yf^e-y dy =—y^e-y-i- k fy^'-^e-rdy, et, par suite,

J/*oo f e-ydy — k\.

Quand n est pair (/i = 2A), il vient, en intégrant par

DEVXlkMB F

ABTI

narlies,

.*= r''a:>*e--''(ir-f-^x>*-'e-

e~^dx=-

'., par suite,

Problème n

Montrer que

'intégrale

!f une fonction algébrique de x.

FaisODs Qii chaDgement de variable de la forme /m + m

îl que, aux trois valeurs (t = o, « =; i , u := j; de «, corïspondent trois valeurs de f indépendauies de a;, soil

:i:r o, f = i , (• i= oc. 11 Suffit de pfcûdre

esl-à-dire

intégrale devient alors

Si donc on représente par co la constante / .. -.y

on voit que J(^) est égale à 3 :«

yx{x — 1)

Problème n"" 44.

Montrer que V intégrale

considérée, soit comme fonction de x^ soit comme f onctiondey, satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients algébriques et rationnels en x^y. ■

Faisons encore le chanfirement de variable p = '^^—^

qui change les valeurs « == o, m = i , m = a: en les valeurs c; = o, «^ = i , c^ = 00. Il vient

en posant

L'intégrale

/(Z):= f p"8(p — I)~8(P — ^)-lC?P

est une intégrale hyper géométrique et satisfait à Téquation

Pour vérifier, d'ailleurs, ce résultat classique, il suffit de

calculer le premier membre de (i) en appliquant la règle

T. — Bec, i4

de difTérenllation sous le signe / : on trouve que ce premier membre est égal à

X*a (p*-¥-ikvz — IV — z) j l—ï. ï '^'''

intégrale où le coefficient de d\^ est la dérivée exacte par rapport à (^ de la fonction

et qui, par conséquent, est nulle, quel que soit z*

Si maintenant on remplace z par ■: et si Ton

calcule ^> T-4> il vient

dj ^dldz^ ^d£ r(f— r) àx dz dx dz {x — y)^

à\[ ^ ç[V r'('--J^)* ^ I . dx^ dz* (x — y)'* dx X — y'

la fonction J de x vérifie donc une équation de la forme

où A, B sont des fonctions rationnelles de ;r, y qui s'obtiennent immédiatement. Enfin, revenons à la fonction J donnée par Tégalité

• . s/xix — l) y — x ' si l'on pose

l'équation (2) s'écrit

-hB-i- ^ =0;

EXERCICES SUR LE CALCUL IKTÉGRAL. an

remplaçons f par

3a? 3(a? — i) ^ — x ^ vérifie une nouvelle équation

où Â|^ B|, Cl soiit des fonctions rationnelles à^ x, y\ la fonction J satisfait donc à Téquation

Il est clair que le même raisonnement prouverait que J satisfait aussi à une équation

où A2, B2, C2 sont rationnels en x^y.

Problème n*" 45.

Transformer Véquation différentielle linéaire du troisième ordre

en prenant comme nouvelle variable X^ = ^ ^^ comme nouvelle fonction Y = a; ~- — y {transformation de Le gendre).

Si l'on élimine x entre les équations

2fl2 DEUXIÈME PARTIE.

Y devient une fonction de X, et Ton trouve aussitôt pour d\

c^x - cp' - y

en supposant toutefois que y" n'est pas identiquement nul. Toute courbe du plan des a?, y qui n'est pas une droite se transforme donc, d'après (i), en une courbe du plan des X, Y qui n'est pas une droite, et entre les deux courbes existent les relations réciproques

Ceci posé, partons d'une équation différentielle

calculons -T-y ^^ "jz ^" fonction de X, Y et des dérivées de Y(X); il vient

d^y^dy^dX^ dX I dx* " dx ^ dx'" d^Y ... "" /^«Y\ '

rfXî"^^ \dXi)

d>y df rfX» dX dX^

dx^ dx /f^ilV ^^ /çg^Yy

wxv Wxv

Si donc on représente par Y', Y'', Y"' les dérivées successives de Y(X) par rapport à X, l'équation transformée sera

(4) Y"=A(r)Y'*-h[B(Y')X + G(r)(XY'— ¥)]¥'*.

En particulier, si les coefficients de (3) sont constants (A ^ a, B ^ 6, G =E^ c), Téquation (4) s'écrit

(5) Y'"^aY''^'\'\hX -+- c(XY'- Y)] Y'»,

EXERCICES sua LE CALCUL INTÉGRAL. 2l3

et cette équation s'intègre, par conséquent, à Paide de la transformation (i).

Remarque, — On voit immédiatement que les équations (2) expriment que les deux courbes y=f{^x)^ Y = F(X), sont polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à la parabole

A deux courbes tangentes du plan des x^ y correspondent deux courbes tangentes du plan des X, Y. La transformation (1) (qui est la transformation de Legendre pour le cas de deux variables x^ y)^ est le type, pour le plan, des transformations appelées par M. Sophus Lie transformations de contact.

Si, au lieu de la parabole j^= — ^ on prenait comme conique directrice le cercle

/pî | ^1 H I == O,

les relations entre la courbe y = f(^x) et sa polaire réciproque Y| = Fi (X|) seraient

dx -^ I d\\ X

dy dy dXi y

c?Xi I dy __ X|

Y d\x V Y ^1 ^ ^ dx " Yi

On peut effectuer la transformation (i)' en effectuant d'abord la transformation (1), puis la transformation homographique

(I)' Xi=:^, Yt=^.

Il est loisible encore de dire que, étant donnée une

2l4 DEUXIEME PARTIE.

courbe^ =:/(a?) et une droite

(6) j. = irX-Y,

la condition pour que la droite soit tangente à la courbe se traduit par une relation Y = F(X); les deux fonctions ^=y(^), Y = F(X) se déduisent Tune de l'autre par la transformation (i) Si, au lieu de prendre la droite sous la forme (6), on la prend sous la forme

les fonctions y = /(^) et Y| = F^ (X|) se correspondent par les formules (i)'.

Problème n"" 46.

Transformer l'équation aux dérivées partielles du second ordre linéaire et homogène

. d'^z „ d^z r^d^z -. dz „dz „

ôx* oxoy oy^ ox oy

en prenant comme nouvelles variables

~ dx ~^ ày

et comme nouvelle fonction

„ dz dz

OX '' oy

( Transformation de Legendre.) Des deux équations

on peut tirer a: et j' en fonction de X, Y, pourvu toutefois que le déterminant fonctionnel -r-z -r-r — ( , f ) ne ^ ox^ oy^ \dx dy I

soit pas identiquement nul; si l'on remplace x et j^ en X^

Y dans Téquation

Z devient une fonction de X, Y. Appelons, pour abréger, />, q les dérivées premières, r, 5, t les dérivées secondes de z{x^y\ par rapport à x^ y\ appelons de même P, Q et R, S, T les dérivées premières et secondes de Z(X, Y) par rapport à X, Y. Calculons P, Q, R, S, T. Différentions les égalités (i) et (2); il vient

c?X ^ r dx -^ s dy^ dX = sdx -h t dy^ dlL -=■ X dp -\- y dq =■ X d\ -{-y dY.

Si donc on prend X, Y comme variables indépendantes,

la différentielle totale deZ est égaie à xdX -hydY, d'où

les deux égalités

âZ dZ

Comme ces égalités sont résolubles par rapport à X, Y, puisqu'elles équivalent aux égalités (i), RT — S^ ne saurait être identiquement nul. On voit donc qu'à toute surface non développable ^=/(a?,^), la transformation de Legendre fait correspondre une surface non développable Z = F(X, Y), et ces deux surfaces sont liées par la correspondance réciproque

V àz ax

ày

„ dz dz

àZ

dZ

„ dZ -, <JZ

Calculons maintenant les dérivées secondes R, S, T de Z. Nous avons

R = ^-^ c <^*Z ày

ai6 DEUXIÈME PARTIE.

X et y étant les fonctions de X, Y définies par (i). Dérivons donc ces équations (i) par rapport à X (en laissant Y constant); on trouve

dx dy dx ^ dy

et, par suite,

On trouverait de même

En définitive, on a

— = = — = — , avec h=: rt ^ s*.

et il suit de là que RT — S* ou H est égal à -r* La transformée de Téquation donnée est donc

(RT-S»)[2D(P,Q)X-4-2E(P,Q)Y-4-F(PXh-QY--Z)].

Si Téquation donnée est à coefficients constants, la transformée s'écrit

aT — 26S -h cR -4-(RT — S^)[%dX + leY -4-/(PX-f- QY — Z)] = o. En particulier, les équations

restent invariantes dans la transformation de Legendre. Remarque. — Les égalités (3) définissent la correspondance entre une snrface non développable z = f(x^y) et sa polaire réciproque relativement au paraboloïde

x*-hy*

On peut dire encore qu'étant donnée une surface

z =/{x,y) (non développable), la condition pour que

le plan

(4) z = xX-hyY — Z

soit tangent à cette surface s'exprime par une certaine condition Z = F(X, Y). Les deux fonctions z =J\x^y) et Z = F(X, Y) satisfont aux relations (3).

Si Ton prend comme quadrique directrice non plus le paraboloïde 2.3 = ^^-+-y^, mais la sphère

a^î l yï l ^2 ^ I — o;

ou encore, si l'on prend l'équation du plan tangent non plus sous la forme (4); mais sous la forme

les deux fonctions z=^f{x^y) et Z| = F| (X,, Y|) se déduisent l'unp de l'autre par les formules

A,= T- T- > Il =

dz dz dz âz

/oy / ox "^ oy dx '^ ày

àz dz

àx ày

cl les formules réciproques. On peut effectuer Ja transformation (3)' en effectuant d'abord la transformation (3), puis la transformation homographique

Problème n*" 47.

Appliquer la même transformation à V équation linéaire aux dérivées partielles du premier ordre,

A(^,r, ^) ^ + B(a7,^. ^) ^ H- C(ar,jr, z) = o.

DEUXIEUE PARTIE.

Considérons d'abord une équation quelconque du preier ordre ; elle renferme au moins une des variables p, q, lit j9, et l'on peut l'écrire

s) z~px — qy = g{x,y,p,q) ou p = g{x,y,q),

livant qu'elle dépend ou non de z explicitemenL Si l'on iplique la transformation de Legendre, l'équation de-

Z = ff ( P, Q, X, Y) ou bien X = j(P, Q, Y).

Mais on ne peut introduire cette transformation qn'aunl que les surfaces z ■= f(^x,y) définies par (a) ne sonl is toutes développa blés. Montrons que toutes les équajns (a), qui ne définissent que des développa blés, sodI : la forme G[/», q-,{z — px — 5'7')] = o. En effet, difféntions la première équation (a) (le même calcul s'a pplilerait à la seconde) ; il vient

Pour que toutes les surfaces définies par (a) soient àtloppables, il faut et it suffit que la relation rt — s"- = o it «ne conséquence des deux précédentes, c'est-à-dire le ces deux relations entraînent les suivantes :

àg

ày

EXERCICES SUR LE CALCUL INTÉGRAL. âlQ

A or Aer

l'équation r -^ — s ^ = o doit donc se confondre avec la première relation (6), ce qui n'est possible que si -~ est nul ;

on voit de la même manière que -^ doit être nul. Il faut

donc que g ne dépende pas de ;r,y; cette condition est d'ailleurs suffisante, car, si elle est remplie, les conditions (b) donnent

Il est facile, d'ailleurs, d'intégrer l'équation

Elle admet, en effet, une intégrale complète formée d'une famille de plans à deux paramètres, à savoir : la famille des plans z=PqX-\~ q^y -^ g{pQ^qQ)^ qui enveloppent une surface S, solution singulière de l'équation (a). La transformation de Legendre, appliquée à l'équation, donne seulement Z = ^(X, Y), équation de la polaire réciproque de S par rapport au paraboloïde

Pour l'équation p = g(g), les plans

« = ê^(Ço)^ ■+- Çoy -+- const.

sont parallèles aux plans enveloppes d'un cône, ou parallèles à une droite fixe dans le cas particulier où g{q) est de la forme a -f- bq.

Ces équations G[p, q, {z — px — Çy)] = o sont les analogues de l'équation de Clairaut.

Arrivons maintenant à l'équation linéaire

(c) A( x,yy <«) ^ -*- B(a?, j^. -5) ~ + C{x,y, z) = o.