V Q Z — XY

L'intégrale générale de (2) est

Z'=ixy -\-

ç désignant une fonction arbitraire, et on a

x=P=rH-<p(j)-î?'(5).

OU encore, en posant xy = «*, - = p',

X = wp -t- *(p) ^— >

La fonction Z(X, Y) ainsi définie est l'intégrale générale de (i).

Problème n"" 48.

Intégrer ^équation aux différentielles totales (i) {cy — bz) dx -\- (az — ex) dy -\- {bx — ay) dz = o, et V équation (a) {y^-^ yz -\- z^) dx -^ {z^ '\- zx '\- x'^)dy -^ {a^-^r xy -T- }^)dz ^ Q, L'équation (i) équivaut aux diux équations d stinctes

Ces deux équations admettent une intégrale dépendant

d'une constante arbitraire, si les deux valeurs de , , > dé-

' ^ oxoy

duites de (3) et exprimées en x^y^ z coïncident- Or on trouve, en diflférentiant par rapport à ^ la première équation (3),

— (c—b ^j{bx^ajr) — a(cy — bz)

dxdy {bx — ay)''

— c{bx — ay) — a{cy — bz) — b{az — ex)

"" (bx — ayY

On trouverait de même , > ^ o, d'après la seconde

équation (3); le système (3) admet donc une intégrale dépendant d'une constante arbitraire.

Pour trouver cette intégrale, intégrons d'abord la première équation (3); le système

dx — dz ^ __

bx — ay " cy — bz dx "^

donne aussitôt

cy — bz . .

tirons z de cette équation et portons-le dans la seconde équation (3); il vient, toutes réductions faites, pour déterminer ç (y),

(6a? — «7)»^ = o, donc

L'intégrale cherchée est donc

cy — bz ^ ^ bx — ay

On peut procéder d'une façon plus symétrique de la

EXERCICES sua LE CALCUL INTÉGRAL. 223

manière suivante : on sait qu'étant donnée l'équation

Adx -h B dy -h Cdz = Oy

pour laquelle la condition d'intégrabilité est identiquement vérifiée, on peut employer comme système auxiliaire le système

dx ^ dy dz

dz dy dx dz dy dx

et si a = g{x^y^z)^ p = h(x^y^ z) sont deux intégrales preiTiières de (4), îl faut intégrer l'équation du premier ordre

ou

M<fa-4-Nc?p=:o,

-«l-xâ

[a, ^f X étant pris comme variables, au lieu de x,y, z, et X s'élirainant de (5)].

En appliquant cette règle à l'équation (i), il vient

dx __ dy __ dz a ~~ b " c et, par suite,

ex — az = OLy bx — a^=P; puis, en prenant a, p, x comme variables, on trouve

(cy^bz)dx^<,(^-dx^^^-^^{^ldx^^^=.o,

ad^ — prfa = o, ex — az

ou donc

bx — ay

Quant à l'équation (2), on vérifie encore aiisément que la condition d'intégrabilité est remplie identiquement.

Pour intégrer cette équation d'après le dernier procédé, formons le système (4) qui est ici

dx __ dy ^ dz

on trouve aussitôt, en ajoutant terme à terme, ou en multipliant (avant d'ajouter) les deux termes des trois rapports par x^y^ z respectivement :

Si Ton prend a, p, x comme variables, l'équation (2)

devient

(a* -h ^) da — dd} = o, ou bien

Brfa — arfS a

dd, ■+• = o, a — - = coDSt.

L'intégrale cherchée est

xy-^yz-^zx __ ^ x-^y-^z ""