DE DIVERSES QUESTIONS RELATIVES AUX COURBES ET AUX SURFACES

Problème n« I.

Trouvfer les courbes dans lesquelles le rayon de cour^ bure est une fonction donnée de l'angle a que fait la tangentcà la courbe av^ec une droite fixe.

Prenons la droite fixe pour axe des a:, et soit On a les formules

0 = —» dxz=dscosaLy dy^idssxviai

on en déduit

rir=/(a)cosaû?a, rfy =/(a)sina^a

et en intégrant et désignant les constantes arbitraires par x^

etjo,

(i) X — ,T^z=zff{^(i)cosaLda.^ y — ro=^f/(oi)sin3tdoL.

On voit que toutes ces courbes s'obtiennent en transportant Tune d'elles parallèlement à elle-même 5 ayant x etj en fonction de a, on pourra construire la courbe.

T. — Rec. l5

226 TKOISIÈME PARTIB.

APPLICATIONS

I® y (a) = « 5 les formules donnent

X — x^=.afma, jr — /•= — «coscr, d*où

On trouve donc une circonférence de rayon a, placée d'une façon quelconque.

2° y(a)= -T-j-5 en appliquant les formules (i), on

trouve

/cosa a

sin'a 2 sm'a

-— - =~ûcota; sin'a

éliminant a, on a

équation d*unc parabole de paramètre «, dont Taxe est parallèle à OX.

3° fioL ) = — -- : ne tenant pas compte des constantes x^

etj^Oî nous avons

J cosa ^ \4 2/

/sin a , a i-rfar ces' a

cosa

On en déduit

(TT a\ 4 2/

cosa a

On a donc

équation d'une chaînette dont l'axe est perpendiculaire sur Ox.

a = afé^ cos a r/a , yzzz ajd^* sin a </« , ou, en effectuant les intégrations,