X. = ^ (mcosoL -H sin a), r:= (msina — cosa
passant aux coordonnées polaires /* et d, nous ayons
^^ tang«-~
r=--, => tango = = tang(« — /);
Vï-^'»' iH-ltanga
en faisant
w = cot/,
on a donc
et par suite
r = a sin /^l'+O, r = « sin fV'^*' i?***^**,
équation d'une spirale logarithmique.
TKOISIËHE PAKTIE.
x=.aJ'aco&ada, / = ei/"«sînarf«; itégrant par parties, on a
y«cosa(/«= asinsi + cose,
y» RinB<fc( = — acosa -i- sina
jr=:*ico8<i 4-iiasinB,
lurbe est une développante de cercle. Soient, en efict . 3a), la circonférence OA de rayon a, BOA = a, la
ente BM égale à l'arc AM, .r et j les coordonnées du t Mi on a, pourx et y y les expressions trouvées précément.
'/(«) = a sina:
)■ = afsin'ada^ y (ai
ÂPPLICiTION DU CALCUL IKTÉGRAL. 329
Soit 2a = |3, nous aurons
X = -j{i " co^P\ 7 = j(P — sinp).
On reconnaît les équations d'une cycloïde a engendrée par un cercle de rayon y 9 roulant sans glisser sur Taxe des j^ 7** f{^) ^^ ctûnmoL :
- r= /cos a sin m a £/a, a *^
ou bien
— = ysin(i + /72)a Ja — ysin(i — m)adx,
~- = — ycos(i -f- m)(ifioL -+-yco8(i — m)adx;
J? = —. r cosfi — m)a. ; cosfi -f- m)cr.,
r = — r- r sin- 1 — m)a. ; sinfi 4- m)a.
Je dis que cette courbe est une épicycloïde. Supposons d* abord /n<i, et faisons rouler le cercle O' de rayon
R'= — ^ extérieurement sur le cercle O de rayon
^ ; nous aurons, pour les coordonnées du point M,
|. am
X = (R -4- RM ces ^ y' - R'cos ^'T^ ff\
Y = (R -h R') sin ^ ç' - R' sin ^^ ,', .
a3o TROISIÈME PARTIE.
I, en remplaçant R et R' par leurs valeurs,
Soit a (^^- 3^) l'angle CTx que fait la tangente à ré|H- Fis- Î3.
Cos(l — m)a— -
sin i + m)a.
e sont les formules trouvées précédemment. Soit maintenant wi ]> i , nous avons
COs(m — r)a
- cos(m+ l)a,
Je dis que cette courbe est une épicycloïde engendrée
par un point d'une circonférence O' de rayon R'= •^. — ^j-t'
roulant à Tintërieur d'une circonférence fixe O, de rayon
1^ ma K = — •
nt' — f
On a en effet (Jig. 34), pour les coordonnées du point M,
X — (R--R')cos-— y'-f-R'cos — ^^ — ff',
Y = (R ~ R') sin ^ (p'- R' sin ^~^' /,
OU, en remplaçant R et R' par leurs valeurs,
co$(m -f- 1)
cos(in — i) -^>
sm(m -f- i) -^
sin(
a étant Tangie que fait la tangente à Tépicycloïde avec Ox^ on trouve
et l'on voit que
X — — ^ et Yn=— 7.
Donc la courbe est bien une épicycloïde.
8« /(«) = __^__y On aura (i — ff^cos'a)'
jr
/cosadcf. /* ^sîna 1 =p I r (i — e'cos'a)' J (i — e»4-^*8in*a)*
et, en intégrant, il viendra
p sina
X — J?, = rrr^,
cosa
On lire de là
équation d*une ellipse si e <^ i ; son grand axe est parallèle à la droite fixe^ les longueurs des demi-axes sont - et
— ^' yfT^^
Problème n» 2.
Tromper les courbes dans lesquelles la longueur de l'arc, compté à partir d'un point fixe, est une fonction de V angle a que fait as^ec une droite fixe la tangente à l'extrémité de l'arc.
on en tire
ds = f^' [x]d(i, p = y'(a) =/(a).
On rentre dans le problème précédent^ on verra ainsi que s T=aa, donne un cercle de rayon a;
s atangse
une chaînette ;
s ae^^
une spirale logarithmique;
une développante de cercle;
s=:a cosa
une cyclolde;
s = acosmx
une ëpicycloldc.
Problème n^ 3.
Trouver les courbes dans lesquelles le rayon de courbure est une fonction donnée de l'arc compté à partir d'un point fixe.
L'équation p =zf[s) est du troisième ordre, car elle contient une intégrale s = 1 1/ ' "^ ;^ ^-^î qu'on ne pourra
faire disparaître que par une diSerentiation, ce qui, avec rfp,
introduira j^'''. L'intégrale générale devra donc renfermer
trois constantes.
ds A. cause de p = -^^ j il viendra ' ax
ds
da =
d'où, en désignant par a^ une constante,
r ds
une fois l'intégration effectuée, on tirera de l'équation précédente s en fonction de sr, et l'on rentrera dans le dernier problème.
A.PPLICATIONS.
/ds s -;^arctang-
* = atailg(a— a.}; courbe est donc une cKalnettc.
a" /) = ms ou /(s) = ms :
courbe est donc une spirale logaritbmitjue. 3° p'4- J' = «' ouy(j) = y'a' — s' :
a — a, = I -^zr^ ;:::: arC ElO - :
J=;asin(a — a,); courbe est donc une cycloïde.
courbe est donc une cpicycloïde.
r ds 11
J s[%as V ^
la courbe est donc une développante de cercle.
iProblème n» 4.
Tromper une courbe telle que, si on lui mène une normaie en un point quelconque M, laquelle rencontre Ox en P, le lieu du milieu de MP soit la parabole y* = ax.
Soient x et j^ les coordonnées du point M; oti et ji celles du milieu de MP 5 on a
2 dx
7i — ir»
jr] __ axi ;
il en résulte
a dx
ou bien
dx a
c'est une équation iinéaire, relativement ^^ J^\ intégrant par la formule connue et désignant la constante arbitraire par Cy il vient
Il est à remarquer que Tune des courbes ainsi obtenues
a36 TKOISIÈHE FAUTIE.
) parabole
t même axe que la proposée et un paramètre qua- .le.
rouifer les courbes telles, que l'ordonnée à l'origine i tangente soil égale à kx'"y''.
: une équation de Bemoulli \ on peut l'écrire
itégrant cette équation linéaire, il viendra
que m + /( ^ I , il faut prendre
r-=a'-"[C-X[,-;i)bg^].
iiand on fait ni = o, h = a, l'équation {i) donne
l'équation d'une hyperbole dont les asymptotes soDt Hèles aux axes coordonnés.
Lorsque m = o, n = — i , on a
on trouve donc une série d'ellipses ou d'hyperboles ayanr leurs axes dirigés suivant les axes Ox et Oy^ et tangentes
aux droites j^ = dtz. ^.
T'rouifev une cowbe AM telle, que l'abscisse Xx du centre de gras^ité G du segment compris entre Vaxe
Fig. 35.
de or, Vaxe des y^ la courbe et l'ordonnée variable MP soit une fonction donnée f(x) de l'abscisse x du point M.
On a
on- en tire
I jcjr dos I jrda:
Jxydx-=if[x] I 0 *^o
ydx
et, en difierentiant,
itiant de nouveau, nous avons
ables se séparent immédiatement :
;rant et désignant la constante arbitraire para, nous
mple. — f(^) = a", =: ftj;.
;rouve
p*=3,ona
été connue du centre de gravité du triangle.
- donne
-p donne
X=ib>Ja:,
parabole ayant son sommet à l'origine et tangente à l'axe desj^^ on a donc
k=^ -j donne
X z=z bx^.
parabole ayant son sommet à Toriginc, et tangente à Taxe
desj^5 on a donc
dans le cas actuel.
Problème n<» 7.
Troui^er une courbe AM telle^ que l'abscisse Xi du centre de gravait é de l'arc compris entre un point Jïxe A {Jig» 36) et un point quelconque M de la courbe soit
Fig. 36.
proportionnelle à l'abscisse x du point M. On aura
= kx
a4o TROISIÈME PARTIE.
bien
difiTérentiant, il vient
