V^='XV
ërentiant de nouveau, on a égrons, et nous aurons
'ious sommes ainsi conduit à une dilTérentielle binôme; is pourrons intégrer, quand nous aurons, en appelant t q des nombres entiers positifs ou négatifs,
c — an y
APPLICÂTIOfir DU CALCUL INTÉGRAL. Tk/^X
c'est-à-dîre
^ = -£ ou k=i -r •
En faisant, par exemple, /? = — i , nous avons
équation d'une cycloïde engendrée par un cercle de rayon -^
dont le sommet est à l'origine, la base étant parallèle à O/.
Problème n» 8.
Trouver une courbe telle, que le segment intercepté sur l'ajce des x par la tangente et la normale ait une longueur constante ia.
dx
L'abscisse à l'origine de la tangente est x — y •i^'» celle
de la normale est oc -\- y —\ on aura donc, pour équation différentielle de la courbe,
l dy dx\
OU
bien
(dx \ * dx
d'où
On en tire, en intégrant.
a: = a log qp \^a} — J^ * -h const.;
mais il est plus commode d'introduire une variable auxiliaire. Nous choisirons l'angle a de la tangente avec Ox\ T. — Rec. 16
nom poserons donc
équation (i) donnera
13 aurons ensuite bien
(/«=; 2ai- sia2ajdx;
intégrant et supprimant la constante, en trau^^r tant axes parallèlement à eux-mêmes, il viendra
iiT^dlogaiii'a — aasin'a, j- = isin2«;
prochons la valeur dej, mettons en regard ^ «t j- '
(lie 2acosacos2z dZ ~ siiûi '
is avons [Jîg. 37) tout ce qu'il faut pour construire la rbe.
ng. 37
o, X =■ — «? ) J = o, la courbe est asymptote
à Taxe des x] -r ^^-f sont positifs; xely vont en croissant, tant que a est plus petit que y ; nous obtenons ainsi
la branche AB. Pour a plus grand que 4> a: et j^ vont en
décroissant ; cela ne peut avoir lieu que si Ton a une nouvelle branche de courbe située au-dessous de la tangente BT ; le point 6 est donc un point de rebroussement de première
espèce. Pour a = -> j^ = o, le changement de a en tt — a
ne modifie rien à la valeur de x, tandis que y change de signe. La courbe est donc symétrique par rapport à Oo:; nous obtenons ainsi toute la courbe ABCB'A.
Proposons-nous de trouver Taire U= ABCB'A 5 nous aurons d* abord à former j^rfx 5 nous trouverons
2a'sin2acosacos2a , / , ,
y d.x z=: : aoL = ào' COS'a COS 2 a rfa,
sma
et la valeur de U sera
TT
■i-U = / 4^'cos'a cos2a^a — aireBCD,
±1] z= j 4^^<^s'aC0S2ac?a -h 1 ^a^cOS^0iCOS2ctdx, Jo Jiz
TT
C0S^aC0S2afi?a
TT
1 4- 2 COS 2 a + cosaa «2« = »
' V'- 'Çr«ï
Cherchons la longueur S de l'arc BCB'j on a
2acos2a .
dsz=i ; doL,
siDa
|S = — 2^ J ^-A^ — 2 sinaj di. = 2a[v^— log(v/ï 4- 1)],
S = 4^ [v/2 — log(v/2 -h l)].
On a enfin, pour le rayon de courbure,
2acos2a
" sina
Problème no 9.
Trouver les courbes telles que les portions de leurs normales comprises entre les axes Ox et Oj aient une longueur constante L
Soit p = -j-\ Téquation de la normale est les segments qu'elle intercepte sur Ox et Oy sont
on aura donc
d'où l'on tire
.r-^pX, i — ^
{^'^pxYI^^-^^) = ^,
C'est une équation linéaire par rapport à x et y^ on sait intégrer une telle équation. DiiTérentions et remplaçons
APPLICATIOlf DU CALCUL ISTÉGRAL. 245
dx par — > et nous trouverons P
dp n-»»*^ , ,4'
Nous savons que Tîntégrale générale de cette équation li-
neaire est
Téquation (i) nous donnera ensuite
(/^C)/> . Ip
Soit p = tanga; a sera l'angle de la tangente avec Taxe des x\ les expressions de a: et j^ deviendront
xzrzl sina H — sina cos^a — C sina,
y •=. cos*a -+- C cos«.
Nous avons donc x etj^en fonction de la variable auxiliaire a : nous pourrons construire la courbe; toutes les courbes obtenues en donnant à la constante arbitraire C toutes les valeurs possibles sont des courbes parallèles; car, en faisant
Xo = /sinaH — sinacos^a, JTo^ cos'a,
on a
;r=:ar, -f-CcoslaH J> jr=:jro + Csin(a+-j>
ce qui exprime que le point x, y s'obtient en portant sur la normale, au lieu du point Xo, y^^ une longueur con-
2^Q TROISIEME PABTIE.
stante G. Nous pouvons donc nous borner à discuter Tune
des courbes (a), obtenue en donnant à C une valeur par-
3/ ticulière^ nous prendrons C=-7-> et nous trouverons
On en tire
il en résulte
or = -Q- sma 4- 5 sm 3 a, o o
jr = -TT-COsa — ^cosoa*
dx 3/
-;- = -7- cos2a cosa,
act 4
dx 31
-7— = -7- C0S2 a sma ;
da, 4
ds 31
-p = -7- ces 2 a.
aa 4
Soit p le rayon de courbure 5 on aura donc
-;- cos^a = -7- sina 1 a-H -7 1
D'après le n° 7 du problème 1, troisième Partie, on voit
que la courbe est une épicycloïde engendrée par un point
3/ d'une circonférence de rayon -^ roulafit à l'intérieur d'une
circonférence de rayon -; donc cette épicycloïde et ses
courbes parallèles donnent la solution générale du problème proposé. On peut dire, sî Ton veut, que toutes ces courbes sont les développantes d'une même épicycloïde.
Ce résultat était facile à prévoir •, car la normale de la courbe cbercbée, ayant une longueur constante comprise entre Ox et Oj^ est toujours tangente, comme Ton sait, à une épicycloïde; cette épicycloïde est donc la développée des courbes cherchées, et Tune de ces courbes sera ellemême une épicycloïde.
Problème no 10.
lYoui^er une courbe telle que les tangentes de ses diamètres, aux points où ils rencontrent la courbe, soient parallèles à une direction donnée.
Prenons cette direction pour axe des x, Soitj^=y (jr l'équation de la courbe cherchëe; nous avons vu, problème 32, première Partie, que le coefficient angulaire de la tangente au diamètre au point x, y^ où il rencontre la
courbe, ^^xf\x) 'fnrr\\ nous devons donc avoir
ce qu on peut écrire
Multipliant par dx^ intégrant et désignant la constante arbitraire par loga, il vient
ou bien
log/''(4:) = 31og/'(.r)-loga
Multiplions encore par dx^ intégrons et désignons la constante par &, et nous aurons
On en conclut, en désignant par c une nouvelle constante,
(y — cY=: 2a[b — x).
C'est l'équation d'une parabole dont l'axe est parallèle à Ox] dans ce cas, tous les diamètres sont rectilignes.
Problème no il.
^ Trouver une courbe telle que les tangentes de ses diamètres, aux points où ils rencontrent la courbe, passent toutes par un point fixe.
Prenons ce point pour origine; Téquation
devra être vérifiée, quel que soit x^ quand on y fera X=:^ o, Y = o. On aura donc
Multiplions par dx et désignons la constante par log^, et nous aurons
31og[V(^) -/(.r)] = log/'(x) - loga, ■ «[-/'(x)-/(^)J'=/«'(.r).
ou bien
ax
Intégrant de nouveau et appelant b une constante, on a
^b — ax^
^ a^ ^b — ax^
f[x]=zcx-^x 1
sjb
ax^
Or I == = — 7— >]h — aô^\ il viendra donc
J x'yjb^ax^ ^^
(X-cxY+j^x^—^-^,
équation d'une conique quelconque ayant pour centre le point fixe; tous les diamètres sont donc rectilignes.
Problème n» 12.
Trouver une courbe telle que le coefficient angulaire m de la tangente en un point quelconque de la courbe et le coefficient angulaire m' de la tangente du diamètre au même point soient liés par la relation
mm! =z const. = — A^, Nous aurons
a50 TROISIÈME PARTIE.
i^" 'ire de là successivement
[/'■W + «'f = "/"Wi
ition d'une ellipse ajanl ses axes parallèles aux axes de données, et dans laquelle le rapport du petit axe au d est ëgal à h.
Problème ta» 13.
'rousfer les courbes dans lesquelles l'm-c, compté à ■ir d'un point Jîxe, est une fonction donnée dey.
a: + coDSl. = J \l/"[ï) —• tdjr.
APPLICATION DtJ CALCUL INTÉGRAL.
APPLICATIONS
1° Troui^er {fig. 38) les courbes telles que s^= 8aj. Dans ce cas,
/{jr) =:2v/2âr.
dx
dy.
C'est rëquatîon différentielle d'une cycloïde dont la base
Fig. 38.
est parallèle à Ox, et le sommet est en O, le rayon du cercle générateur étant a *, on a en effet, pour cette courbe,
^ «.« MP v/AP.BP , /BP
dy
a° Trousser les courbes telles que s = \jy^ — û*. On a ici
dv X — x^
=zlog
tt:
25a thoisième partie.
en désignant par Xq la constante. Il en résulte
jr — X0
la courbe est donc une chaînette.
3° Troui^er les courbes telles que y = ae^. On tire de là
/(r) = «logf, /'(j) = f,
/rr
a: — aro = v<^ — .)^' — ^ log
a H- sjar — x^
La longueur de la tangente ou ^^-^^ — ~ est ici égale
à a ^ la courbe cherchée est donc la courbe aux tangentes égales. C'est Tune des développantes de la chaînette de l'exercice précédent.
Problème no 14.
Troui^er la fonction f telle que les trajectoires sous un angle donné ce des courbes représentées par l'équation /• = Cy(0), où, C est un paramètre variable, ne soient autre chose que les courbes proposées qui auraient tourné d'un certain angle.
APPLICATION DU CALCUL INTÉGlUL^ 253
Pour la courbe on a
pour la trajectoire, on doit avoir
rtlQ
I 4- -7- tangV
= tanga.
Soit posé
nous aurons
(3) ^__ = tang«.
11 n'y a pas lieu d'éliminer C entre cette dernière équation et l'équation (i), puisque C a disparu de lui-même. L'équation (3) donne
rd^ I -h (p(9) tanga
dr y(ô) — tanga
OU bien, eu posant
(4) y(ô)=:tangtKô),
nous trouverons
~ = tang[,K0)-a]^O,
et, en intégrant et désignant par C la constante arbitraire,
a54 TROISIÈME PAETIB.
L'équation (5), où C a une certaine valeur, doit représenter une des courbes proposées, qui aurait tourné d'un certain angle i\ nous aurons donc
CV*"«l'l'(*)-«]*'' = C/{e -h/); d'où, en prenant les dérivées logarithmiques,
taiig[^(9) - a] = ^j^^ =^(9 -*- 0 = tang[^(e -4- 0]; nous avons donc
Cette équation, qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de 6, avec des valeurs déterminées de a et de i, est satisfaite quand on prend pour ^{B) une fonction du premier degré
fi Q
en 0'^ nous prendrons tj;(0) = — 9 60 et m étant des constantes^ l'équation (6) donnera
d'où
et =■ — 9 iz=zmcK,\ m
l'équation (4) donne ensuite
ç{0) = tang 9
et Téquation (2)
. 00—9 ,. . sin
/(Ô) 0.^0 ^ ' ces
En intégrant, nous aurons
log/(0) =mlog(cos
APPLICATIOBf DU CALCUL IlïTÉGBAL. a55
d'où
in
cos — j > et Tëquation (i) deviendra (n) r=c[cos^
APPLICATIOirS.
1® 771 = — I. L'équatîon (7) donne
T-cosO = C,
qui, quand C varie, représente des droites perpendiculaires sur Taxe polaire.
a*^ 771 = I . L'équation (i) devient
r=C cos6 ;
elle représente une série de cercles ayant leurs centres sur l'axe polaire et passant par le pôle.
3° m =2 • On a, dans ce cas,
y/cOS 2 0
OU, en coordonnées polaires,
équation d'une série d'hyperboles équilatères ayant leur centre commun au pôle et leurs grands axes dirigés suivant Taxe polaire.
r =:C v^coS2Ô;
on a ici des lemniscates ayant encore pour centre et pour
axe communs le pôle et Taxe polaire.
cos'-
équation d'une série de paraboles ayant pour foyer et pour axe communs le pôle et l'axe polaire.
rz=z Ccos* - = — I — cosO,
équation d*une série de limaçons de Pascal.
Problème n<> 15.
Une courbe plane se meut dans son plan parallèlement à une direction donnée; trouver ses trajectoires sous un angle donné. Est-il possible de déterminer la courbe de façon que les trajectoires soient égales à la courbe pro^ posée?.
Prenons Taxe des y parallèle à la direction donnée ^ l'équation de la courbe donnée, dans une quelconque de ses positions, sera
OÙ X est le paramètre variable^ le coefficient angulaire de cette courbe est f'{x) \ nous aurons donc pour la trajectoire, en appelant a l'angle constant,
(2) — =tanga.
Il n'y a pas lieu d'éliminer X entre cette équation et l'équation (i), ce paramètre ayant disparu de lui-même. L'équa-
APPLlCATlOIf DU CALCUL INTÉGRAL. 257
tion (2) est donc Téquation difierentielle des trajectoires;
on en tire
dy /'(^) -^ tanga
dû! I — /^{^) tanga
et, en désignant par jcx la constante arbitraire, Téquation générale des trajectoires sera
Prenons pour la courbe proposée (4) y + l=ïos
cos.r
nous aurons
/(^) = lcg ,
/'(^) = tangA-,
f'{x) -h tanga , .
^ ^ j;. . , = tang .r 4- a ,
i — /'(^) tanga ^^ '
et l'équation { 3) des trajectoires deviendra
^-h fA=:/tang(ar4- OL)dx
OU
On voit que les trajectoires s'obtiennent^ en déplaçant la courbe donnée pai-allèlement à Taxe des x et faisant ensuite mouvoir la courbe déplacée parallèlement à Taxe des j.
Problème n» 16.
Za base d'une cycloïde se. meut le long de l'axe des y\ on demande de iroui^er les trajectoires orthogonales de la cycloïde dans ses positions successiv^es.
Soit a Je rayon du cercle générateur^ Téquation de la
T. — Rec, 1 7
cycloïde dans une position quelconque est
dx^
OÙ X est le paramètre variable. Le coeflScient angulaire est
donc i / •» et, pour la trajectoire, nous aurons l'c-
quation différentielle
dy ^ x /?.a — .r
-p- 1/ =r — I OU «r== — 1/ «r.
dx y 7.a — .r y x
Faisons x = 2 a — x\ et il viendra, pour Téquation dos trajectoires,
les trajectoires sont donc des cycloïdes égales aux proposées, dont les bases se déplacent parallèlement à Taxe de^ 7, mais dont la concavité est tournée en sens opposé par rapport à Taxe des x.
Problème n» 17.
Trouver la courbe telle que le produit des distances de chacun de ses points aux n sommets d'un polygone régulier soit égal à une constante i".
Désignons par a {Jig- 39) le rayon de la circonférence
circonscrite au polygone régulier, /• et 6 les coordonnées
APPLICATION pu CALCUL INTÉGRAL. aSç
polaires d'un point quelconque du lieu*, nous supposerons que Taxe polaire passe par un des sommets; considérons le sommet A,-; le triangle MOA, nous donne
• MAf= /•' -Ha* — 2arcos
Le produit de toutes les expressions semblables, quand i varie de zéro an — i, doit être égal à &*". Pour obtenir ce produit, nous écrirons
__., / lÎK — nB f . 9.11: — nB
MAf = [r — a cos a k/ — i sm
f 2/Tr — nO j . 9.in — nB
X l /* — <ï cos a J — I sm
\ n Ji
or le produit des valeurs que prend le premier l'acteur est i'qxpression
r" — û" coswô -♦- û" sin/zO sj — i ;
car, en égalant cette expression à zéro, on a une équation dont les racines sont comprises dans la formule
T.ktc — «0 y . 2X'7r — nB
r z=:a cos h a J-^ i sm 5
où h doit recevoir les valeurs o, 1 , . . . , n — i ; de même le produit des valeurs du second facteur qui entre dans MA? est
r" — rt" cos7i9 — «" sin/î6 v^ — 1 ;
donc le carré du produit des distances de chaque point du lieu aux sommets du polygone régulier est
fr" — rt''cos/i6-+-fl"sin«ô\/ — 1 ) (r"— «"cos/zô — rt"sin/i0 v/— i)
L'équation du lieu est donc
( i) T^" — 2 a" /^ " cos /î 6 -+•«*" = ô'".
TROISIÈME PAILTIB.
Si l'on veut discuter ces courbes, la formule suivante, donnant l'angle V, sera très-utile :
(1 est à remarquer que l'expression (i) se simplifie beaucoup pour & = (1 ; on a en eiTet, dans ce cas, (a) r'^za'cosnQ.
Nous arons déjà rencontré celle courbe plusieurs lois. Sa podaire par rapport à l'origine est la courbe
En appelant p la distance de l'origine à la tangente à la courbe ( a ) et p son rayon de courbure, on a les expressions suivantes :
Problème n> 18.
Trouver, quand b varie, les trajectoires orthogonalei des courbes représentées piw l'équation
(i) r" — ia'r'coin^ + a="= 6»
du problème précédent.
Dilléren liant cette équation, on trouve
(f — a"cosne)(f/- + <i"r8innBdB^0,
Nous avons donc pour la trajectoire, en remarquant que If
paramètre b a disparu,
rd^ a'*cosnQ — /"
dr a'^sinnQ
ou bien-
dr reos/ïO r""*"'
dB sinnQ a"sin/t6
ce qui est une équation de Bernoulli ; nous l'écrirons comme il suit :
r" I ncosnO n
dO r" sin // 6 a'* sin n B
Cette équation est linéaire, et son intégrale générale est, en désignant la constante arbitraire par — tang/iSa-
1 /tang/zôo n n d9 \
— zzzsmnBl — - — 1-
r» \ a" a" J sm'wô/
OU bien
— == sin/{d(tang/iOo -h cot/zO);
on en tire
a** coswOo cos/i(6 — ôp)
'JTelle est l'équation générale des trajectoires.
Si Ton demande, par exemple, les trajectoires orthogonales de toutes les ovales de Cassini ayant les mêmes foyers, 2 a étant la distance de ces foyers, il suffira de faire n = a, et Téquation (2) deviendra
