COS2O

"" COS2(0 — ô,)'

ce qui est Téquation d'une série d'hyperboles équilatères ayant l'origine pour centre.

Problème a« 19.

Soient (fig* 4o) PiPfPi. . .P« Ï/7Ï polygone quelconque, /•j, r,,. . . , /'„ les distances d'un point quelconque M aux

Fig. 4o.

sommets du polygone, «i, a,,..., a„ /ej angles MPiPj, MPjPa, . . . , mj, Wj, mj, . . . ,• m„ rfej nombres donnés; les équations

(2) m, a, -t- /?ï,a,-i-. . .-f-/n„art={/W| -H Wa-f-. . . -ï- m„)0,

représenteront des courbes orthogonales, quels que soient les paramètres variables a et Qq,

Soient, en effet, x ely les coordonnées du point M, a, et bi celles du point Pi, a^ et b^ celles de Ps,...^ nous avons

(a: ^ a,y -]- (y — b,)\ rj = .,.,

tanga, =

ai — a, X — ai

rtj — «1 X — a,

9 tanga, rz: . .

Différentions logaritlimiquement Téquation (i)^ en tenant

compte des formules (3), il viendra

dx ( /»! :^ h /Wj ^2 H ... I

-*- dy\m^ '^ — 5 h m, ^ h. . . | =o.

La formule (2) différentiée donne

or, eo partant de (4), après des réductions faciles, on trouve

[y — bx)d.T -^ [x — a^)dx^ aoLi =: ,

nous aurons donc, pour la courbe (2),

d,% I m, 5 h Wj

Wîa h . . . 1 = O.

Les équations (5) et (6), d'où les paramètres variables a

dy et 60 ont disparu, donnent toujours des valeurs de — dont

eux

le produit est égal à — i -, donc, quels que soient les paramètres a et Ô09 les courbes (i)^et (2) se coupent toujours à angle droit.