SUR LES ROULETTES
Problème n» 20.
Une courbe AH [fig* 40 roule sans glisser sur une couiife MG •, on demande de troui^er le lieu décrit par un point N invariablement lié à la courbe mobile.
Soient x et y les coordonnées du point de contact M à un moment donné, j^ =y*(x) Téquation de la courbe MG,
264 TltOlSlèHE PAmTlE.
a Tangle de sa tangente MT avec Ox; soient X et Y les coordonnées du point N, r la distance NM, Y= F(X) l'équation du lieu du point N*, on sait que la tangente à ce
Fig. 4i.
lieu est la droite NE perpendiculaire sur NM^ si P est Tangle qu'elle fait avec Oj:, on aura
tangp==F'(X).
Soit encore A un point déterminé de la courbe mobile
Ô = ANM,
0 et /• seront les coordonnées polaires d*un point quelconque M de cette courbe mobile, dont Téquation, avec ces coordonnées, sera
Nous aurons
X = .r — rsinp, Y=^'-t-rcosp
ou bien, en remplaçant y par /(x), Y par F(X), tangP parF(X),
V désignant l'angle TMN, on a
tangV
di
APPLICATION DU CALCUL INTÉGRAL. a65
i-f- tangptanga i -f- F'(X)/'{a:)' nous aurons donc
rr(X
Ces formules vont nous permettre de résoudre aisément les trois problèmes suivants :
1® On donne la courbe fixe et la courbe mobile; trous^er le lieu décrit par le point N.
Nous connaissons les fonctions f(x) et ^{r)\ si, entre les trois équations (i), nous éliminons x et r, il nous restera une équation entre X, F(X), F'(X), d'où nous déduirons la fonction F(X), et par suite Téquation Y = F(X) du lieu du point N.
2** On donne la courbe fixe, et Von demande quelle courbe il faut faire rouler sur elle pour que le lieu du point N soit une courbe donnée.
Nous connaissons les fonctions /*( a:) etF(X): si, entre les trois équations (i), nous éliminons x et X, nous aurons une équation entre r et f'{r)^ d*où nous tirerons cp(r), et par suite l'équation ô =r (j>(r) de la courbe AH,
3** On donne la courbe AM et le lieu du point N; on demande de tr ouvrer la courbe fixe MG.
Nous connaissons les fonctions <f[r) et F(X)5 entre les trtis équations (i), nous éliminerons r et X, et nous trouveras une équation entre x, f{x) et /'(^), d'où nous tîrerins Téquation j^ =/(x) de la courbe fixe.
206 TROISIÈME PÀRTIB.
Avant de faire des applicatioDS, nous supposerons dans les formules (i) que la courbe fixe se réduit à une ligne droite, Taxe des a:; elles deviendront
Problème n» 21.
Une déi^eloppante de cercle roule sans glisser sur l'axe des x; quel est le lieu décrit par le pôle de cette courbe?
L*équation de la développante de cercle en coordonnées polaires se trouve immédiatement en exprimant que la distance d'une normale quelconque au pôle est constante ^ on trouve ainsi-
rdr rcosV = « ou ^= fiy
d'où
ou a donc, en admettant les notations de l'article précédent,
ar
Les formules (2) de cet article donneront
l'éliminaliou de /* entre ces deux équations donne
APPLICATION DtJ CALCUL tNTÉGUAL. 267
OU bien
YdY=adX,
On en tîre
la courbe décrite est donc une parabole dont l'axe est la droite fixe sur laquelle roule la développante de cercle.
Problème n<» 22.
Un,€ épicycloïde roule sans glisser sur une droite fixe; quel est le lieu décrit par le pôle de cette épicycloïde? (Le pôle est ici le centre du cercle fixe de rayon a sur leque* a roulé un cercle mobile de rayon b pour engendrer Tépîcycloïde.)
L*équation différentielle de Tépicycloïde en coordonnées polaires est, comme on le verra plus loin (problème 40),
dOz= dr*,
^ rsl[a-JfibY— r^
on a donc
et les formules (2) deviendront
fl 4- 7.b sjr^-^ a} 1
V/I4-F'^(X) Éliminons r entre ces deux équations, et nous trouverons
F(X)F(X) = fii±±^^lî^li:W
268 TROiaiÈMB PARTIE.
OU bien
adX = [a -f zb)
d'où, eu intégrant,
ainsi, quand une épicycloïde' roule sans glisser sur une droite fixe, le pôle de répfcycloïde décrit une ellipse dont l'un des axes coïncide avec la droite fixe^ ces deux axes
ont du reste pour valeurs — ^ '- et a (^H- ai).
Problème n"" 23.
Quelle courbe doit-on faire rouler sur une ellipse pour qu'un point lié i/wariablement à cette courbe décrispe le grand axe de l'ellipse?
Nous avons ici/(a:) = - yja* — x*, F(X) = o-, les équa-
lions (i) de l'article cité plus haut deviendront
,. — I asjà' — a^
/\x) - ' ba:'
Eliminons x entre ces deux équations, et nous trouverons ou bien
b slb^—r^'^
d'où, en intégrant,
- (6 — 0,) = arc sin 7»
r=: èsin-(ô — ô,).
Telle est Téquation de la courbe cherchée.
Problème n"* 24.
Sur quelle courbe doit-on faire rouler une cardioïde pour que son pôle décrii^e une ligne droite ?
L'équation de la cardioïde rapportée à son pôle est
r=:a(i + cos0); on a donc
0 = arccos = y(r), d'où ç'(r) = ~
Les équations (i), quand on y fera F(X) = o, deviendront
Si Ton élimine r entre ces deux équations, on obtient
Posons Y=x — f{x)^ et nous aurons
dx
ce qui est Téquation d'une cycloïde engendrée par un cercle de rayon a roulant sans glisser sur Ox,
Problème n® 25.
Trouver les courbes dans lesquelles il existe une relation donnée entrée le rayon de courbure p et le rayon de courbure correspondant p' de la dés^eloppée.
Soit p^=(f[p)'^ soît, en outre, a Tangle de la tangente à la courbe cherchée avec l'axe des x^ on a
p= rt -7- > ' «a
par suite
De cette équation on tirera p en fonction de a, et l'on rentrera dans les conditions d'un problème traité précédemmenL
APPLICATIONS
1° Trouver les courbes telles que la distance de chacun de leurs points au centre de courbure correspondant de la dés^eloppée soit constante.
Soit a cette longueur constante ; nous aurons
dx
a — ao = in arc sin - »
p=zhrtsin(a — a,);
donc les courbes cherchées sont des cycloïdes.
Troui^er les courbes telles que le rayon de courbure de la courbe et celui de la déi^eloppée soient liés par la relation
On aura
dp
-fa — aol =dr arcsin-1 a ' a
p =:dz« sin- (a — «,); a ^ '
donc les courbes cherchées sont des épîcycloïdcs. 3** Trousser les courbes telles que Von ait
p'* lap.
Nous aurons
P' V/2«P àzj^,
\jiap
» «.-- +-iAp»
On tire de lày en appelant p'^ le rayon de courbure de la développée de la développée,
Cette dernière courbe est donc un cercle, et la courbe
cherchée est l'une des développantes de la développante de cercle.
4° Trouver tes courbes telles que le triangle formé par chaque point de la courbe, le point correspondant de la déi^eloppée et le centre de courbure de cette développée aient une surjace constante.
On doil avoir
OU, en ne tenant pas compte de la constante, ce qui ne change pas la iorme de la courbe,
,- ds
on en déduira
fLr = a yacosa^a
djr = a Raisin ctdoL^
« Jo
cosatfa,
1 « Jo
sinaaa;
jj=rv';si.
on aura donc, par deux quadratures, x ely en fonction de la variable auxiliaire a^ l'arc de la courbe représentée par les équations (i) se trouve aisément; on a, en eiFet,
ds •=- a sJoL </«, pour la longueur de Tarç compté à partir de Toriglne.
APPLICATIOH Dt) CALCUL INTÉGRAL. 278
Problème n^ 26.
jTroui^er les courbes telles que, entre les rayons de courbure de la courbe et des deux premières développées, on ait la relation
On tire de là
dot} dot
dx en intégrant et désignant par m la constante, il vient
log— = logf>-hlogm,
dp dp
doL '^ p
intégrant de nouveau et appelant loga la constante, on aura
m 01 = logp — loga, pz=: aë^\
les courbes cherchées sont donc les spirales logarithmiques.
En partant de Téquation (i) pour arriver à Féquation (a),
d^s nous avons admis implicitement que p" était égal à -f- —7\
d^s "mais il peut être égal aussi à — y-^« Dans ce cas, nous
aurons
T. — Rec. l8
a^4 TROISIÈME PARTIE.
OU, en appelant i* une constante^
dp h^
Nous retombons sur le dernier exemple du problème précédent.
Problème n» 27.
Tromper les courbes telles que la différence des rayons de courbure de la courbe et de la seconde déi^eloppée soit constante.
On doit avoir Prenons
^ dd? ^ dot}
L'intégrale générale de cette équation linéaire est, en désignant par a et a^ deux constantes arbitraires,
p = / -h a sin ( a — a©), Si Ton avait seulement •
p = a sin (a — ao),
la courbe cherchée serait une cycloïde. On voit qu'il suflSt de porter sur les normales de cette cycloïde une longueur constante / pour avoir la courbe demandée^ cette courbe est donc une courbe parallèle à la cycloïde.
Si Ton prend p"= -7-^» on trouvera
l'intégrale générale de cette équation est
a etb désignant les deux constantes, la courbe cherchée est une courbe parallèle à celle qui vérifie Téquation
p =z ae* 4- be-^.
Pour cette dernière, on aura
.r == ^S^ cos a dct -r- bfe^^ cosctda, y = (^f^ sin (x.dat. -\- bje-"- sin a doi
OU, en effectuant les intégrations et ne tenant pas compte des constantes,
i2x= <ie*(cosa -h sina) — ètf-*(cosa — sin a), 2/ =r — «eî*(c0Sa — sina) — />e~*(coSa -f- sina].
En appelant r le rayon vecteur de cette couî*be, on a 2r^=û*e*-f- ^'f^** ou :ir'*'= f^- 2.ab,
Ainsi cette courbe jouit de cette propriété
p r= y/2 V^/'^ H- ab.
On la construira d'ailleurs aisément à Taide des équa lions (i).
Problème n» 28.
Trouver les courbes pour lesquelles on a
L'intégrale générale de cette équation linéaire est
donc la courbe demandée est une courbe parallèle à une épicycloïde.
L'intégrale générale de cette équation est
p = h ^^'* -h oe""* ;
la courbe cherchée est parallèle à celle représentée par
Téquation
p = éie"* H- be-''\
Pour cette dernière, on trouve sans difficulté
.T= ^"^ // cosa -!- sma) : <?-''* /zoos a — sma ),
«'-hl ^ ' «'-4-1 '
e"* « sin a — cosa ) . : £?""* « sm a -+- cos a ) .
Remarque, — On voit que, si Ton demande de trouvei une courbe telle qu'il existe entre les rayons de courbure successifs une équation de la forme
où )., X', . . . , A^''+*^ sont des constantes, on aura à intégrer Téqualion linéaire et à coefficients constants
lp±\
''^P-^V^±...±lin,^P
da'
doi!
=rX(«+^\
qui fera connaître p en fonction de a et de /i constantes arbitraires, après quoi l'on rentrera dans un problème déjà traité.
Problème no 29.
Trouver les courbes qui sont égales à leurs développées.
Nous connaissons deux courbes jouissant de cette curieuse propriété, la cycloïde et la spirale logarithmique^ nous nous proposons de chercher les autres courbes, s'il y en a.
Nous chercherons l'équation de la courbe sous la forme
qui, comme nous l'avons vu déjà plusieurs fois, détermine entièrement la forme de la courbe. Pour la développée, on aura
TT
par suite
Cette équation devra coïncider avec celle de la courbe (i), qui aurait tourné d'un certain angle «o ^ ainsi nous devrons avoir
ou simplement
Cette équation (2) devra avoir lieu, quel que soit a, avec une valeur déterminée de la constante «o- Si nous supposons que, pour faire coïncider la courbe proposée avec sa développée, on est obligé de la retourner, nous aurons l'équation
(3J di/'(a) =/(«.-«).
Le problème dépend maintenant des équations (2) et (3). Considérons d'abord cette dernière équation; nous eu déduirons, en prenant les dérivées par rapport à a,
mais, en changeant dans Téquation (3) a en a^ — a, on a
et, en multipliant membre à membre les équations (4) et (5), il vient
L'intégrale générale de cette équation linéaire est
/(a) =asin(a — a'),
a' et a désignant deux constantes; nous avons donc
p = «sin(a — a'),
ce qui est Téquation de la cycloïde; nous retrouvons donc cette courbe, et nous voyons que c'est la seule qui vérifie Téquation (3).
Occupons-nous maintenant de l'équation (2).
Supposons que la fonction /*(«) puisse se développer comme il suit :
(6) /(a) ^iM^"'* -t-Ne^^-f-. . .,
M, N, m, n, . . . étant des constantes, et voyons si l'on peut déterminer ces constantes de façon que Téquation (2) soit vérifiée; on devra avoir, quel que soit a,
ce qui conduit aux équations
Ainsi les coeflScients M de Texpression de /(a) restent arbitraires; mais toutes les quantités m, n, . . . doivent vérifier Téquation (7). Nous ne considérerons que le signe -fdans cette équation, et nous prendrons
En changeant en effet, dans cette dernière équation, m en . — m et «0 «11 — «oî on aurait l'équation
Nous avons discuté l'équation (8), page 100, et nous avons vu que, si «o est négatif, elle a toujours une racine
positive 5 si «0 est positif et plus petit que -> elle en a deux, m et 72, liées par la relation
fo] . logm^log^^
Nous pourrons donc prendre
et aussi
(10) /(a) --= M^« H- Ne"*,
/7î et 72 vérifiant la condition (9) -, nous trouvons ainsi après la cycloïde, comme courbes égales à leurs développées, la spirale logarithmique et la courbe définie par Téquation (lo)', nous avons, du reste, montré directement, page 97, que cette dernière courbe est bien égale à sa développée.
Voyons maintenant si l'équation (8) admet des racines imaginaires. On voit immédiatement que, si elle admet la
racine m-=m'-^ m" y/ — 1 , elle admettra aussi sa conjuguée
171=: m' — m" \j — i^ cette racine donnera donc, dans l'ex-
a8o TROISIEME PARTIE.
pression (6),
OU, en changeant les constantes M et N en d'autres convenablement choisies P et Q,
(il) /(a) = P^'»''cosm"a -h Qc«'*sin/7i"a.
Cherchons donc les racines imaginaires de l'équation ( 8) ; posons
{12) w = — (cosf -h y/ — isint'),
et nous devrons avoir
-(cOSf -h yf—I sinp) = eU€osf+y/^iuiin¥
=^e^'^*[cos{usirn>) -h \/ — i siu(w sinp)].
Nous tirons de là
et par suite
^UCOS*'
u smt>
sinp
-. f'—vcoXv
smp
Kgs
Telles sont les équations propres à déterminer u et ^. Posons
F{v) — ^e-i^co\ç^
sine et nous trouverons
F'(('j = -rV ^'^''^""'[(t' --sinpcosp)' H- sin*pl.
et faisons varier i^ de zéro à 4- oo *, de zéro à tt, F'(i') est positif 5 cette dérivée est négative quand ^ varie de tt à 2 :r : de 2 7r à 3îr, elle est positive, etc.. Donc, i* variant de zéro à TT, la fonction F est constamment croissante; elle est constamment décroissante quand i^ varie de w à 27r, . . . . On a, du reste, en désignant par 6 une quantité infiniment petite,
F( w-4-e)=zo, F(27r — e) = — OO F(27r-+-8)z=0, F(37r — e)=-l-00
Donc, t^ variant de zéro à tt, la fonction F passe une fois et une fois seulement par chaque valeur positive supérieure
h -: u variant de ir à 2ir, la fonction F passe une fois et
une fois seulement par une valeur négative donnée, et d'ailleurs quelconque, etc. Donc, que, dans la dernière équation (i3), <x^ soit positif ou négatif, il y aura une infinité de valeurs de f^ vérifiant cette équation, et la première équation (i3) donnera toujours une valeur de u correspondant à chaque valeur de t^. En mettant, pour plus de clarté, dans l'expression (i i), au lieu de m' et m'' respectivement.
Il cosv u „ u' . V
m'= = — cot s^^ ni"=^ — sm i^ = — » appelant p'i , i^j, . . .
les racines de Téquation -: — e~*'*^°'''==ao, nous aurons donc
^ sinp
les solutions, en nombre infini,
rf \ fn *'• , rx ' *^* \ ?«<***''
/(a) = (Picos- a-f- Q, sin — a)e*« , f[0Lj=i I Pj ces — a -^- Qî SIQ — a ) <?*o ,
et celles qu'on peut former avec les précédentes par voie d'addition et de soustraction.
Voilà donc une infinité de courbes égales à leurs développées.
Problème n» 30.
On demande {fig- 4^) de troui^er une courbe telle que, C désignant un point quelconque de cette courbe. G' le
Fig. 42.
point correspondant de la dés^eloppée, Q" le point correspondant de la déi^eloppée de la déi^eloppée, . . . , les points C, C", O', . . . soient en ligne droite»
On doit avoir, dans les triangles rectangles CC'C,
c'c" oro''
»nm
crc
ou ^r-^b-r
Or, a désignant Taugle que fait avec Ox la tangente au point C, on a
P — -^ "Ta 1
il en résul tera donc
doi ?
d^ dcà
iPPLICATIOW DU CALCUL IJMTÉGRAL. 288
Nous ne considérerons que le cas du signe -{-, et nous aurons alors
intégrant et désignant la constante par A, il viendra
Remarquons qu'on tirera de là
doL"-^^
et par suite tous les points C, C, C*^, C^*,. .. seront en
ligne droite, et aussi tous les points C, C', C,
Dans Téquation (i), prenons h =: — 77^*, et nous aiu*ons
d'où, en désignant les constantes par a et «©>
p =: a sinm (ex — ««),
ce qui, comme on Ta vu, page 211, représente des cpicycloïdes.
Faisons maintenant /r = 4- /w', et il viendra
d'où, en appelant les constantes A et B,
(2) p=:i A<?"*4-Bér-'"*.
Nous avons déjà rencontré cette équation, page aSS; elle comprend, comme cas particulier, la spirale logarithmique.
on a
-3pS-5(|)-^,.
p étant le rayon de courbure de la courbe cherchée et a l'angle fait avec une droite fixe par la tangente de cette conrbe. L'angle )., qui doit être constant, est défini par l'équation
tang2> =
2B ^ tta
On aura donc
doL
\doL ) ^ r/a»
OU bien
. dp d^y
dp
en intégrant, on trouve
5 logp — 3 log "— = — 3 X-a.
■ doL
Je ne mets pas de constante ; cela ne change rien à la forme de la courbe. Il vient ensuite
e^^dci=:p ^dp.
TROISIEME 1>ABTI£,
tegrons de nouveau et désignons par k' une constante bitralre, et n
et y seraient déterminés ensuite par les formules x=:fpC08adx, y—ffima-da.
□rsque k'^ o, on retrouve la spirale logarilbmique.
ProbUme n" 32.
Ti'ouver une courbe telle que la conique, qui en chacun s ses points a avec elle un contact du quatrième ordre, lit toujours une parabole.
Nous devrons avoir AC — B' ^= o, et, en remplaçant A, , C par les valeurs lappelées dans l'exercice précédcni, DUS aurons
ette équation ditTérentielIc du second ordre ne contenaut as a, nous ferons
équation (t) deviendra
Zap'Ip , .
Voilà une équation linéaire qui va nous donner
on en conclut
s/ecp^-g %V
6Cp'
\/6Cp'^-
en intégrant sans ajouter de constante, on aura
2 a =: arc ces
3p ^ = C -f- CcoS2a=: 2CC0S*a,
cos'a
En prenant Taxe des j^ pour celui des x et inversement,
l'équation précédente pourra s'écrire p = -r-j- » et nous
avons vu, page 208, que cette équation est celle d'une parabole. Ainsi les courbes cherchées sont des paraboles, et alors la conique coïncide avec la courbe dans toute son étendue.
Problème n"" 33.
Trouy^er la courbe telle qu'en chacun de ses points il existe une hjperbole équ\latère ayant' av^ec la courbe un contact du quatrième ordre.
Conservant les notations précédentes, nous devons avoir
A H- C = o ou bien 3p —■- — 5 ( -r^ )
^ do} \</a/
TROISIEME PAUTIE.
Faisons encore ~ = p^ d'où ^ = -j^ ^ €t nous
dd
dy>
aurons
-Tr:f?'=:i2p;
Tinti^grale générale de cette équation linéaire est
rfa==
vcy-9 9'
£fa~
Intégrant sans ajouter de constante, nous avons
VLOL
3p • arc ces -h;—^
— ces 2 a,
(cos2a) *,
(cos2a)'
X et y désignant ensuite les coordonnées d'un point quel-
APPLICATION DU CALCUL IliTÉGRAL. 289
conque de la courbe, il viendra
— •»'• Tp , r dûiiOL sina
z=. \ ^ COSada =: I =z «>
^ " J (i-2sin'a)' Vcos2«
Y — r. Tp . . /* d cosa cosa - — ^= / i-smac?«=:— / — ,
"" J "" J (2COS'a~i)'' V^«S2«
d'où Ton déduit
( J — r«)' — (^ — ^iY = «*•
Ainsi la courbe est elle-même une hyperbole équilatère, et la conique coïncide entièrement avec elle.
Problème n® 34.
Troui^er une courbe telle que l'ellipse, qui a en chacun de ses points a^ec elle un contact du quatrième ordre, ait une sur/ace constante,
L*équatîon de Tellipse rapportée à la tangente et à la normale de la courbe étant
\yi 4- 2Ba:j>' -h C^' -f- 2Dj = o,
sa surface est
wCD»
On doit donc avoir
