AC — B
3rk5
CD
ou bien, en remplaçant A, B, C, D par les valeurs suivantes, trouvées dans le problème 36 de la première Partie,
T. — TTtftf. 19
ago
nous aurons
Nous sommes conduits à poser p ' = i/^ nous en déduirous, par un calcul facile, que Tëquation (i) devient
doi
di}
Cette équation ne contient pas ol ^ nous poserons donc
du
, , d^u pclp
— = /?, d où =
da.
da} du
et, au lieu de Téquation (2), nous aurons
ou bien
^u^du -f- ud,p* — p^du = ^kdu ^du H- c? — =r •!— e/tt.
Intégrons et désignons la constante par 8C, et nous aurons
d'où
du
2rfa =db
^tt
y/C— X--(tt — C)«
Intégrons .sans ajouter de constante, et nous trouverons
tt — C 2a = arc €08-7==»
tt = C -i- y^'C'^- k 0082 a = p ';
d'où
expression de la forme p = -j- Nous avons vu,
(i -♦-/•' cos^a)*^ page 21 4, que cette équation représente des ellipses^ donc la courbe cherchée est une ellipse quelconque ayant une surface égale à la surface donnée.
Problème n« 35.
Trouver {fig^ 44) ^^^ courbe Mo M telle, que l'aire du secteur MoOM, compris entre un rayon vecteur fixe OJVIo, un rayon vecteur quelconque OM et la courbe, soit dans
Fîg. 44.
un rapport constant ai^ec l'aire du triangle OMA, formé par le rayon vecteur OM, la perpendiculaire OA sur le rayon vecteur et la normale MA.
On doit avoir
\ r^ ft ^ ^ k rdr k d.î^
^ ' 2 Jq a 2 dO ^ dO ^
dilTéreritions, et nous trouverons
393 THOlSliUE PAKTIE.
C'est là une équation linéaire qui nous donne, si k en positif, l'n désignant les constantes arbitraires par  et B,
L'expression -j^' pour 0= o, se réduit à t/- (A — B); d'après l'équation (1), elle doit être nulle; nous avons donc
A = B; il en résulte
poar l'équation de la courbe, qui est une spirale.
Supposons, en second lieu, li <^o. Soit k = — k'\ l'équation (a) nous donnera
La valeur de -j^-' pour 6 = 0, est B'\/t;j on doit donc avoir
Faisons A'= a', et il viendra
Du cas intéressant à remarquer est celui du k' = -; od a
alors
/■'^a'cosaO,
équation d'une lemnîscate.
Nous voyons donc {Jig>45) que, dans lalemniscate, Taire
Fîg. 45.
du secteur MOM© est la moitîé de celle du triangle OMA.
Problème n» 36.
Troui^er les courbes dans lesquelles le triangle formé par la tangente, la normale et la perpendiculaire au rayon vecteur, menée par le pôle, a une surface constante.
On pourrait ramener ce problème au précédent, mais il est plus simple de le traiter directement; on trouve
rdr T VO
dQ
dr
d'où
fdr\ » dr
rdr
2dO =
a^ db sja' — r\
a}±:sja^—[r^y
et l'intégration s'efl'ectue aisément.
Problème ii« 37.
Trouver les courbes dans lesquelles la normale et la tangente polaires, N et T, sont liées par la relation
On aura
0 ; ' Ti — = !•
rt» , , dr'
dB
. dr
Soit -— == /'M ; il viendra
abu
u peut prendre toutes les valeurs possibles ; la courbe pourra être construite facilement avec les valeurs précédentes de /' et de dB\ rien n'empêche, du reste, d'efiectuer l'intégration et d'obtenir B en fonction de u. Remarquons que la variable auxiliaire u n'est autre chose que cot V.
Tromper les courbes dans lesquelles la sous -tangente polaire est une Jonction donnée de la sous-normale polaire.
La première de ces longueurs a pour expression --7—» la
seconde -rr •
dO
On aura donc
r'd9 (dr\ dr '^\dB)
. , dr équation entre les quantités — et r*. Si Ton peut résoudre
l'équation, on en tirera
^ = ç(r»), d'où ^ô = -^,
et le problème sera ramené aux quadratures.
Si Ton ne peut pas résoudre l'équation (i) par rapport à
dr ^
~ > on lera
dr
il viendra ensuite
T = sjuf[u) ,
et l'on aura
et les équations (2) et (3) donneront r et d eu fouctiou de la variable auxiliaire u.
APPLICATIONS
1° Troui^er les courbes dans lesquelles la somme de la sous-tangente et de la sous-normale est constante.
On a ici
r*^fO dr
dr dQ
LVFhlCkTlON DU CALCUL IMTÉGRÂL. 297
Problème n« 39.
Troui^er les courbes telles que le rayon de courbure soit dans un rapport constant ai^ec la normale polaire.
Soient p la distance de la tangente à Torigine, /' le rayon vecteur, p le rayon, de courbure, V Tangle de la tangente et
du rayon vecteur; la normale polaire est -r-ri ou —9 en tenant compte de la relation p = r sinV. D'après Texercice suivant, p == -— -, donc, en appelant le rapport constant, nous aurons
rdr r* , .dr dp
-7-=! ^— ou (72 + 1— = -^;
dp (/î -^ |)y? ^ ' r p
en intégrant et désignant pai'a la constante arbitraire, nous aurons
■ ■ • tt
Ainsi, dans les courbes cherchées, la distance de la tangente à l'origine est proportionnelle à la puissance « -I- i du rayon vecteur. Remplaçant, dans la formule précédente, p par
r sm V = — » nous trouverons
^dr^-^r^dB'
dO r
Elevons au carré et résolvons par rapport à d9^ il viendra d9 = - ou bien ndB=i
Intégrons et désignons la constante arbitraire par Oo, et
«(e — e,)=arcsi
où, en faîsai)t abstraction de la constante 6^, qui ne molie pas la forme de la courbe,
r = tf(smnfl)-.
Ces courbes ont été rencontrées déjà dans le problème 14 ! la troisième Partie; il est, par conséquent, inutile de ire des applications en donnant à n des valeurs particu-
Probléme n« 40.
Trouver les courbes dans lesquelles le rayon de courue est dans un rapport constant avec la projection du tjon vecteur sur la normale.
Nous allons commencer par donner une expression du yon de courbure, qui est souvent très-utile. On a
étant l'angle formé par la tangente à la courbe avec le
yon vecteur;
„ dr . ,, rM cosV := — 1 sinV = —^ •
Q déduit, en éliminant ds et d
dr
"cosVrfO+cosVdV"
etle formule p = -; — r-r-» ou encore, en appelant p If
distance de la tangente à Torigine, p = -r—? est celle que
nous voulions obtenir.
La projection du rayon vecteur sur la normale est /• sin V \ en appelant m le rapport constant du rayon de courbure à cette projection, nous aurons donc
pz=mr sin V,
et, en remplaçant p par Texpression que nous venons d'obtenir, nous trouverons
rdr
= /?2./^sinV.
d.r siaV
Intégrant et désignant par G la constante arbitraire, nous avons
et, remplaçant smV par — % nous trouvons
, ^ mr*dO^
d'où
(/» — ij/^-hC
L'expression de dO peut s'intégrer^ car, en faisant r* = «, on a
rfe=.zz,/i^,
et l'on est ramené à un cas où l'on sait efïectuer l'intégration 5 mais il nous sera plus facile de discuter la diflerentielle d3.
Un premier cas à examiner est celui de G = o ^ Texpres-
3oO . TROISIÈME PARTIE.
sion ( I ) devient
dB i/m— I = —, d'où A- = C'e« v^«^. ' r
On trouve ainsi une spirale logarithmique ayant rorigine pour pôle.
Ce premier cas examiné, nous allons en distinguer trois autres :
I** /w^ I. Si C est positif, l'expression de dB ne sera
réelle que si Ton a r' ]> C*, r pourra varier de yjC à -f- oo . Pour r = yC, nous prendrons ô = o-, comme
" rde
d, ^tangV:^!/ ,^^,
V = o, la courbe est tangente à Taxe polaire \ r augmentant,
dr
dB
0 augmente constamment, car — est toujours positif. Pour
r inGni, 0 est infini, car Tintéffrale 1 — i/ -, r-m^
est finie ou infinie en même temps que la suivante : l — »
et cette dernière est infinie : nous avons donc une spirale représentée par \di Jig. 46» Si C est négatif, pour que rfô
Fîg. 46.
soit réel, il faudra qu'on ait
y Tw f~ I '
r variera de cette limite inférieure à -h oo . Pour r = i / ?
—-T— =r tangV est infini^ la courbe est normale à Taxe polaire. Pour r = 00 , fl = 00 , on a la spirale représentée par la/ig'. 47.
2® m<^i. Nous écrirons, dans ce cas, en remarquant
Fig. 47.
que C est nécessairement positif et faisant C = /',
Je dis que la courbe est une épîcycloïde. Soit, en effet {Jig- 48)5 le cercle C de rayon i, roulant extérieurement
Fig. 48.
sur le cercle O de rayon /^ on a, dans le triangle OCM,
3oa TROISIEME PARTIE.
dans le triangle OME,
sinOMË = sm - = sin V = — »
Remplaçant sin- par sa valeur tirée de l'équation (3) et résolvant par rapport à dd^ on a .
/-h2^> dr I r^ — l^
et cette expression devient identique à l'expression (2) si Ton fait
VI — m On en tire, pour le rayon du cercle mobile.
3^* m = I . On a ici
ld^=z-^ SJr^^ l\ d'où tang V = — = ^f—
Je tire de là
