COS*V

rcosV==:/,

ce qui exprime que la distance de la normale à roriginc est constante-, toutes les normales de la courbe sont donc tangentes au cercle de rayon /, ayant pour centre l'origiaei par suite la courbe est une développante de ce cercle.

APPLICATION DU CALCUL INTÉGRAL. 3o3

Problème n<> 41.

Trouver les courbes telles que le rayon de courbure

p = . > a désignant une constante et V l'angle que fait

la tangente avec le rayon vecteur.

On a, d'après le problème précédent,

rdr ° r/.rsinV

et par suite

dr a

di siii''*V

sin V h cosV</V

on en conclut

^smV . „ ï 8m"*V

-— h sin V - — :

dr r a

c'est l'équation de BernouUi. On la ramène à être linéaire en l'écrivant comme il suit :

+ sm<-«V- = -

I — m dr r a

ou bien

rfsin'-^V I — /» . . „ I — m - H sm'-* V =

En intégrant et désignant la constante arbitraire par C, on a

ou bien

8in«—V = r— ' (C 4- ' ^ Cr'-'^dÀ

sînV= C/--»H -)

3o4 TROISIÈME PARTIE

La formule tanffV = --— donne ensuîte

dO = —

V sin'V

Remplaçant sînV par sa valeur précédente, on a donc

fet le problème se trouve ramené aux quadratures.

Examinons le cas particulier de w= — i ou de p = a sînV. On a, dans ce cas,

dO =

nr*

Si C est positif, 1 équation r* — C — -5— = o a ses tix>is

racines réelles, deux positives, r" et /•'", une négative, /•'. On a donc

• dO=z —df,

et Ton voit que r varie de r'' à r'". On a une courbe telle que celle ci-jointe (/?§•. 49)9 comprise entre deux cercles concentriques.

Si C est négatif, posons-le égal à — C^; alors nou^s devrons avoir

+ >o ou r>{^

iPPLICÀTIOn DU CALCUL INTÉGRAL.

L'équation /** -i- C — ^— == o n*a qu'une racine réelle r^;

Fig. 49.

elJe est positive et plus grande que r^'^ r varie donc entre Ti et 7',^ seulement, dans ce cas, dâ s'annule pour r ^=.i\\ la courbe a la forme ci-dessous [fig^ 5o).

En laissant m quelconque, il est un cas où Texpression ( i )

Fîg. 5o.

de rffl peut s'intégrer : c'est le cas de C = o. Nous allons donc trouver des courbes particulières, et non pas toutes les courbes, jouissant de la propriété demandée. On a alors

dO'^

4 //i — /n\''*-' /rX"»-'

Faisons

dd =

et nous aurons du

Vc::r"-'

T. — JRec.

3o6 TROISIÈME PARTIE*

en intégrant et désignant la constante par ^o) nous aurons

m — I d'où

-=• arc tang

(1 — /wX'»-' I

ces'

et) en revenant à r,

rcos*""' = a.

Soit m — I = 71 ^ nous trouvons donc la courbe

r ces" - = a 9

qui aurait tourné d'un angle quelconque autour du pôle, et cette courbe jouit de cette propriété que son rayon de courbure p = . ,.,,.'

Il y a un autre cas où Texpression (i) àe dO peut s'intégrer en laissant la constante C quelconque : c'est le cas de

TO = 3 ou de p = . . ■' On a. en effet, dans ce cas,

^ sin'V

-di

en intégrant, on a

- = --»- \/c -J- ~ CQS(G — ôa;,

PLICATION