I -i—\ = logfl-hlog
Cl la formule (3) donnera
r =a : d ou u ^=F[r]=: ^
u ^ ' r --. Il
lar
rdQ a
dr ^j.2 j 2 ar
J r sjr^ -h 2
0 — 0.=:=Z:rt
équation d'une spirale facile à construire.
a° Troui^er les courbes telles que p == -r-;-;
^ ^ sm'V
3lO TROISIÈME PARTIE.
On a dans ce cas
/du r du i^ Ç du i r du rdu
du
= - log(i — tt») — logtt -I- loga,
en appelant a la constante arbitraire. On aura donc, d'après la formule (3))
a\li — u*
d'où
u a rdO
i r dr
adr dB=-—,
Ôo—O
On trouve donc les spirales hyperboliques.
3° Troui^er les courbes telles que p = r cot -«
On a
V I — y/i — sin^V
par suite
, , I— tt» i/l — w'
9(tt) — tf = ï
/--r-r — = / " ^=— log(' — Vï — «')-hlogq.
On a donc
\/i—ii'=——9
Juar — a*
^1— tt> "~ r — a "" dr
drJiar — a*
faisant lar — a*= z', il vient
= ^Jlî± = dz (^-^^ -4- -î '—\
z* — a* \z*+ û^ z — a z-ha)^
intégrant et remplaçant z par sa valeur en fonction de r, on a
. sliar — a^ . a — i/aar — a* Q — ôj = arc sin 1- log ^ •
^ a -\- ^7, ar — a^
S = ei loff r.
Problème no 43.
Trouver les courbes dans lesquelles le rayon de courbure p est une fonction donnée <f{r) du rayon vecteur.
Appelons toujours p la distance de Torigine à la tangente 9 nous aurons
3l3 TEOISIÈMB PARTIE.
d'où
>t'dr'-hr'dO'
^^ Al
a intégrant et désignant la constante par 0*,
iroblème se trouve donc ramené aux quadratures : les IX constantes sont C et Bo; la première seule influe sut' "orme de la courbe. Nous allons appliquer celle méihode lusieurs cas particuliers.
Problème H" U.
Trouver les courbes dans lesquelles le rayon de cour- •e est proportionnel au rayon vecteur
__rdr >
tant positif.
p = kr-a, ésignantla constante arbitraire; nous aurons ensuite
APPLICATION DU CALCUL INTÉGRAL. 3l3
Nous ferons d'abord remarquer que, si a = o, on a
dO=:±l —,
ce qui donne une spirale logarithmique. Supposons maintenant a diflérent de zéro, et d'abord k^ï\ Texpression (2) peut s'écrire ;
(3) V^^fl:^-^— '~^ ^r.
s/hiiiKih-^)
nous voyons que a doit être positif. La diflerentielle d9 peut s'intégrer : nous ferons le calcul tout à l'heure, mais on peut discuter sans intégrer.
Pour que la valeur de dd soit réelle, il faut que r soit
compris eutre 7 et 7 • Remarquons que la valeur -7
est comprise entre les limites précédentes*, traçons trois circonférences concentriques de rayon
r«r= - — ; — , r,=z:-, rj= , /•<^''i<'a?
la courbe est comprise tout entière entre les circonférences de rayon r^ et r, \ aux points où elle rencontre ces
circonférences, elle leur est tangente, car la valeur de /'^^
tirée de l'équation (3), est infinie pour /• = /'o et pour r = /•, ^ aux points où la courbe coupe la circonférence de
rayon i\ ^ elle e«t tangente au rayon vecteur, car /' ;7- s annule pour r = /'o. Pour plus de clarté, écrivons comme il
3l4 TBOISliSMB PiHTIB.
suit 1 équation (3) :
^^^ — rfO=db — -=::===z dr^
Nous partons de r=i\^ 0 ayant une certaine valeur M^^OX, et le radical ayant un certain signe, le signe H- par exemple, r va croître à partir de ro, dr sera positif*, /• étant plus petit que Tj , r — r^ sera négatif : Texpression de dO sera négative j 9 va décroître jusqu'à ce qu'on ait r=:ri. Nous obtenons ainsi {Jig. 5i ) la branche MoMi tangente en Mo au cercle r^ et en Mi au rayon vecteur OM^ ^ r dépassant /*,,
dO va devenir positif, 9 va croître jusqu'à ce qu'on ail r = r^'^ cela nous donne la branche Mj Mj tangente en Mj au cercle 7',*, r doit maintenant décroître, dr est négatif^ mais le radical, qui s'est annulé, doit changer de signe; d9 reste donc positif et continue de croître jusqu'à ce que r repasse par la valeur rj, pour décroître ensuite. Nous trouverons ainsi la branche M^MaM^, tangente en M» au rayoB vecteur, en M^ à la petite circonférence.
La courbe se compose, en général, d'une infinité de parties égales à celle qui vient d'être tracée.
APPLIGATIOlf DU CALCUL INTÉGRAL. 3l5
EHëctuons l'intégration dans la formule (3) en posant
tang'(p =
d'où
§in'y cos^y k — I k -\- \ A** — i
