CL

(4) ' = "7 sin'cp 4- r C0S*<p,

dr rr= — siny COSf ^f ,

et nous trouverons

(5) ^^r:r.rf9 = :.i=i^./ç,

/— COS'<p ^

(6) 0 — 00= ^ <p --- 2 arctang W j— -^ tangy,

ce qu'on peut encore écrire

I \ ^ * 2Â \//'' — isin2(p

{ "7 ) ô — 9o= ■ 9 — arc tanc -; ^•

^" slk^—\ X-cos2<p — I

D'après la formule (4), nous voyons que les points où la courbe touche la circonférence Tq répondent aux valeurs

y = O, ^ =:: TT, 9 = 27r,

Soient dj , 0^, . . . les valeurs correspondantes de d \ elles se-

6 TDOISIÈMB PlRTtE.

Qt, d'après la formule (6),

'■='■* "iw^r'} ■■■■'

. points où la courbe touche la circonférence r^ réponnt aux valeurs

ient 6",, &„■ ■ ■ les valeurs correspondantes de 6; nous rons

i points tels que M, sont ceux où d6 change de signe, :st-à-dire, d'après la formule (5), ceux pour lesquels

la répond ans valeurs

= j.rco»j, , = .-iarccosl, , = , + iarcoos J, •.■,

l'on calculera aisément les valeurs correspondantes de 6 r la formule (7)5 l'angle M,OMt est égal à

courbe no se composera doue d'un nombre limité de

rlîes telles que M|,M»M(, que si — est cominensu-

1" k<^i. — Dans ce nouveau cas, nous supposerons

d'abord a positif^ nous écrirons l'expression de dA comme il suit :

M = ± ==:^====r dr\

pour que le radical soit réel, il faut qu'on ait

Traçons (/?§". 52) la circonférence OMo de rayon 7*

Tous les points de la courbe seront extérieurs à cette circonférence \ la courbe part de M^ où elle est tangente à la

Fig. 5a.

circonférence 5 d^ est d'abord négatif^ 9 diminue jusqu'à ce que r atteigne la valeur -79 laquelle est supérieure à

nous obtenons ainsi la partie M^Mi tangente en Mj au rayon vecteur', r continuant à croître, 0 croit toujours. Pour r = 00 , 6 est infini, car l'intégrale

, '•\/('"TTî)('*t47)

3l8 TROISIÈBCE PÀB.TIE.

est finie ou infinie en même temps que

f ~ dr J a "^

et cette dernière est infinie.

La courbe est donc en forme de spirale (Jig» 53)

Fig. 53.

Si a est négatif, posons a = — a', et nous aurons

' — 7 dB=z±: dr.

\^héj)['-éi)

On devra avoir r'^ r: ici 6 croit sans cesse : on a la

spirale ci-jointe.

Revenons au premier cas, et cherchons la longueur S de rarcMoMjM4; on a

ds^=dr*-\-r^dQ\

OU, en remplaçant dO par sa valeur (a).

rdi

sj/i^—ids=z

APPLICATION DU CALCUL IN^TÉGRAL. SlQ

en introduisant Tangle 9, on a

donc

Remarquons enfin que, pour /r = i ,

^iad^=

r varie de - à TînAnî; on a encore une spirale, analogue à

Tavant-dernière^ en écrivant

sjiar — à> I [a \

on voit qu on aura

6 — 0«=: h arc sin ( 1 | •

Cherchons [fig- 54 ) la développée de notre courbe dans le second cas , lorsque k est plus grand que 1 . Soit C le

centre de courbure qui correspond au point M, et soient r' et 6' les coordonnées polaires du point C5 Fangle ACB

sera désigne naturellemenl par Y', et Ton aura

sinV'= ^

Nous parlons de la formule rfO = — ' ? d'où

nous tirons

Ar — a tang V =2 »

Ar — <i = / sin V,

V^/-* — (/-r— ay =: rcosV.

Le triangle OMC nous donne

sinV cosV

r'sinV'==: rcosVzL- ^r* — (^r — a)».

Le même triangle nous donne

OC* = OM* -*- CM» — ?. OM . CM cos OMC

OU bien, comme CilVi == -r- = -»

r'^zzi/'^-f-- — — -sinV,

(9) \ /•'/''»=f»(n- A'») — 2Âr(/T~a),

^V2= — r»(X^»— i) -h aa/r.

En éliminant 7' entre les équations (8) et (9), et remplaçant 8in V par -- 1

r'^dB' ,-— .

yjdr'^-hr'UlB'^

et l'on jen conclut

(to) d6'= ^, rfr'.

Or réquatîon diflerentielle d*une épîcycloide engendrée par un poînt d'un cercle de rayon J, roulant sur un cercle de rayon /, est, comme on Ta déjà vu, problème 40 de la troisième Partie,

(II) d^'^l21± ^ -rlr\

et les équations (lo) et (ii) seront identiques si Ton prend

/-H 2b=z rrr^

Donc la courbe qui jouit de la propriété p =^ r^ où. k est

plus grand que i, est l'une des développantes d'une épicycloïde dans laquelle le rapport du rayon du cercle mobile

au rayon du cercle fixe est - ( • —

Problème n^ 45.

Trouver les courbes dans lesquelles le rayon de courbure est proportionnel au cube du rayon vecteur,

r» rdr „ , ^ a?dr 0 = — = -—- ) d ou dp-=i — -- .

a? dp '^ ' r^

T. — Rec, 21

a TROISIEME PARTIE.

tégrant et désignant la constante par aJ, il vient. a' r'J9

tire de là

^vR^^

bien

>us sommes conduits à une intégrale elliptique; nons

Ions chercher néannioins à nous rendre compte des di-

rses formes de la courbe, suivant les valeurs de la cod-

inte arbitraire. Considérons les deux équations du second

gré

) r'+lbr — fl'^o, (3) r'— aér+a'^o;

première a toujours ses racines réelles, l'une positive, lUtre négative : nous les représenterons par r, et — rji seconde n'a ses racines réelles que dans le cas où b* est us grand que a*; elles sont toutes les deux positives ou igatives si b est positif ou négatif. Soient ces racines r, i\; posons, en outre, r^^ —• Nous sommes amenés à stinguer plusieurs cas.

Premier cas : i* |> o* et i ^ o. — Nous avons donc

(/■.= -* + ^/^MTèi j ^.^, + ^/ïi■=^^, ''~^'

expression (i) de d$ va s'écrire

r.){r-r.){r-r,]lr-.,.)

nb ib^

r^ — n=^{ib^^à'— ib sjb^ — a^) = ~ (^6^3r^2 ^)».

nous avons donc

L'expression (5) de rfô ne sera réelle que quand r sera compris entre i\ et r^ ou bien entre r* et -|- 00 . Traçons donc les circonférences ayant pour centre l'origine et pour rayons Tj, To, /'s et i\ \ une partie de la courbe sera comprise entre la première et la troisième de ces circonférences \ une autre sera entièrement extérieure à la quatrième. La courbe sera tangente aux circonférences Tj, rg et r* aux points où elle les rencontre \ elle sera tangente au rayon vecteur aux points où elle rencontre la circonférence Tq. Partons de r = i\\ supposons que pour cette valeur 0 soit nul, et prenons le radical avec le signe -{- \ la valeur de dB est négative tant que r est inférieur à i\ \ donc 0 est négatif et décroissant. Pour /'=:ro, 0 est un minimum*, r continuant à croître, d^ devient positif, 0 croît ^ quand r a atteint la valeur Tj, il doit décroître 5 le radical et dr changent de signe ; 0 augmente toujours jusqu'à ce que r repasse par la valeur i\^ après quoi 0 diminuera. Nous obtenons ainsi la courbe MoMiMjMsM*.. . [fig' 54), composée en général d'une infinité de parties égales entre elles.

Faisons maintenant varier r de r* à -I- 00 •, nous prendrons encore 6 = 0 pour r = 7*4 -, ô croît sans cesse. A-t-il une limite finie pour r infini, c'est-à-dire l'intégrale

J' — ^ ^^ est-elle finie ? Cette

T. — Rec, 21.

intégrale est finie ou infinie en même temps que /

Cette dernière étant finie {fig. 55), fl tend vers une limite

Fî(j. 55.

finie a\ il y a lieu de clierclier si la courbe a une asym-

ptote; il faut voir si r* — est fini pour r infini. Or