hr[r — r
dr ^(^4.r.)(r-r,)(r-r,){r-r,)
et cette expression, pour r infini, est égale à 2 &. Il y a donc luie asymptote située à la distance ai de l'origine. Remarquons qu'on a 2 i ^ r4 ; nous avons ainsi la branche infinie NoNi. Si nous avions pris le radical avec le signe — , nous aurions eu la branche égale NoN^.
Deuxième cas : i* ]> a' etb<^o. — Dans ce cas, r©, /j et /'4 sont négatifs. Faisons r© =^ — '*i , /'» = — ''i ? ''4 == — i*\t
SaS
et nous aurons
dO
r variera de 7*2 à 4- 00 ^ la partie MqMi... de la courbe n'existera plus 5 il restera une courbe à branches infinies avec asymptotes, tout à fait analogue à la courbe NiNoN,.
Troisième cas : h^ <^a} et b ^ o. — Ici les racines r» et ri, sont imaginaires. Faisons (r-f-Ti) {r — r^) (/• — r4) := R : R sera toujours positif^ nous aurons
dB (r — ro)dr ^
7' varie de r, à -4- 00 en passant par Tq ] 0 est négatif et décroissant tant que r est plus petit que r©; il est croissant pour r^/'oi il y a encore une branche infinie avec une asymptote. Nous obtenons ainsi la branche MoMiMj (Jig* 56), que nous compléterons par la partie symétrique de la précédente par rapport à Ox.
Quatrième cas : b^ <^a^ et b<^o, r^ devient négatif,
Fig. 56.
r varie encore de /'j à H- 00 , mais sans passer par r^ 5 la boucle du cas précédent disparait, et il reste seulement
ne courbe à branches infinies, telle que la courbe N, N^N, II premier cas.
Cinquième cas : b^-h a. — L'expression /■' — air+a' it un carré, et l'on trouve
{yfi — i) <|-<[a; r varie de r, à 4-qo ; maïs S, qui croît int gue r est plus petit que -i qui décroit ensuite, & deîent iafini pour r = a. L'intégrale
il, en effet, infinie. La courbe {Jîg. 5^ ) est donc asymptote Il cercle t= a.
Fie- S,.
En construisant la courbe représentée par l'équation
OÙ r' est plus grand que «, et r varie de r' à H- oo , on aura encore une branche infinie avec asymptote.
Sixième cas : b = — a. — Alors
{2ar-{- a^)dr d9 = ^ — — ^ ;
r varie de r^ à H- oo , 9 croit sans cesse ^ on a une branche infinie analogue à la branche NqNi du premier cas.
Remarque. — Dans les deux derniers cas, Tintégration peut s'eflfectuer.
Revenant à Téquation (i), supposons b = o\ nous trouverons
ou bien
dB =
V'-iW
on en tire, en intégrant,
2(0 — ôo ) = arc CCS ~ 9
ce qui est Téquation d'une hyperbole équilatère dont le demi -axe trans verse est a.
Problème vfi 46.
Trouver les courbes dans lesquelles le rayon de cour* bure est im^ersement proportionnel au rayon vecteur.
donc
it et désignant la constante par — y il vient
- Za'
^dr'-hr'iJS
delà
di =
■r'-lr-+if]
(r'+aS'l*
ilème est ramené aux quadratures. Bien que nous sions pas intégrer, nous allons chercber à nous compte des formes diverses que peut prendre h suivant les valeurs de la constante arbitraire b.
■ium 4^' ■+■ 27^' est, pour les deus équations P=o o,
io8(ô'M-<j') et 108(6'— a*].
:onclut que l'équation P = o n'a jamais qu'unu raille, qui est, du reste, de signe contraire à celui de lation Q ;:^ o n'aura non plus qu'une racine réelle gne contraire à 6 si l'on a 6' V> l' i elle aura, au ■e, ses trois racines réelles si b° est plus petit que a', cines positives quand b sera positif, une seule racine
positive quand b sera négatif. Nous sommes ainsi conduit à distinguer plusieurs cas.
Premier cas: b^^ a^ et b <^o. — Si, avec è* ^ a', on avait i ]> o, l'équation Q = o n'aurait qu'une racine réelle et négative, de même que Téquation P =:= o ^ la quantité placée sous le radical serait négative et la valeur de dd imaginaire pour toutes les valeurs positives de r; avec è* ^ a*, nous prendrons donc è <^ o ; les équations P = o et Q = o auront chacune une racine positive. Soient r' la première,
/■'Ma seconde-, posons, en outre, To = — iv^2. Je dis que r" est plus grand que r'\ car, si l'on substitue ;•'' dans la valeur de P, en tenant compte de la relation
on aura le résultat positif 6a* r''; r'^ et zéro, substitués dans P, donnent des résultats de signes contraires •, la racine /'' est donc comprise entre zéro et r". Je dis maintenant que To est compris entre r' el r'': en effet les résultats de la substitution de To à la place de r, dans P et Q, sont respectivement -I- 3 a' 7*0 et — 3a*ro^ nous avons donc
et l'expression (i) pourra s'écrire
R désignant une fonction de /' qui reste positive pour toutes les valeurs positives de r. Nous voyons que r doit être compris entre r' et r''. Partons de r = r', prenons 0 = o et le radical avec le signe -f- ; r augmentant, 6 diminue -, pour r=: /"o, 0 est un minimum^ /• augmentant, Q augmente ^ r,
•if
33o TROISIÈME FAKTIE.
ayant atteint r'', doit diminuer; 6 augmente encore et ne recommence à diminuer que quand r repasse par la valeur l'o \ il diminue jusqu'à ce que r revienne à sa valeur initiale r'. La courbe aura donc une forme analogue à celle de la courbe MoMiMj... , discutée dans le premier cas du problème précédent.
Deuxième cas : b^ <Ca^ et b^ o, — L'équation P = o n'a pas de racine positive, Téquation Q =:rr o en a deux^ désignons-les par j\ et r,, et supposons f\ < r^ \ l'expression de dd deviendra
Ri désignant une fonction qui reste positive pour toutes les valeurs positives de r. Nous voyons que /• ne peut varier qu'entre les limites i\ et r,, mais que, dQ ne s'annulant plus, Q va toujours en croissant. On a une courbe [fig- 58) telle que Mo M, MjMs. . . .
Considérons en particulier le cas de b=^o\ l'expression (i) de rfÔ va nous donner
rdr 2 3 a
V'-lsT.)
en intégrant, nous trouverons
2(0 — -ôo) =arcsin;^— ;,
r^= 3a*sin2(ô — 0«),
équation d'une lemniscate.
Troisième cas: b^<^a^ et b<^o, — Dans ce cas, les équations P = o et Q = o ont chacune une racine positive. Soient ces racines r\ et r[, r\ <^r\\ nous aurons
dQ=2± — " ///,
R j étant positif en même temps que r ^ la courbe est du même genre que dans le premier cas.
Quatrième cas : b = — a. — L'équation Q = o a deux racines égales à — a, et Ton a
7^ i- i^^ — ià^\dr
r{r-ha) yj[r^-ir 3a^r — 2a')(2a — /*)
r doit être compris entre la racine positive de Téquation
P =0 et 2 a 5 rfô s'annule, dans cet intervalle, pour r=za^2: on rentre encore dans le premier cas.
Problème n» 47.
Trouver les courbes dans lesquelles le rajon de cour-
bure est proportionnel à la puissance - du rayon vecteur,
f' rdr , /a ,
si a dp \ r
d'où, en appelant b la constante,
p = 2 ^ar -f- b ;
on en déduit
^ô^-f- ['^\lar-\-h)dr
(2 ^'ar-h b\dr
r\{r-^ 2 sjar H- 6) (/• — 2 ^ar — b) 0) (rfe = Hr- {:>.sf^r+b)dr
rsi[[,jr+^af-[a-b)\[{fr-sf^)'-[a+b]\
(iJar-^ b) —
{j/r — \fâ -\- ^a -{- b) [^ — ^ — ^a -h b)
du, en faisant r = z*, a=:a*» a — i=r:|3*, a-f-i = y*, d'où
(2az -f- a'— p')<iz 3^(z-ha-f-p)(zH-a— p)(z — a-h7))(z — a — 7)
^Ô=zfc2
Nous laisserons au lecteur la discussion de la courbe; nous nous bornerons à considérer le cas de i = o ; réquation(i) . devient, après réduction.
2 \jadr , 0 — ô.
t/0 = ^^ ' 5 d'où -- -- = arctang i / — j-^
d'où
cos^ — —
équation d'une parabole ayant l'origine pour foyer et 8fl pour paramètre.
ÀPPLlCATIOIf Dr CALCUL INTÉGRAL. 333
Problème n^ AS,
On trace sur un cylindre de rés^olution une courbe dont la première courbure est constante; trousser ce que dey^ient cette coube quand on étale le cylindre sur un plan.
Prenons Taxe du cylindre pour axe des z et le plan de la base pour plan des xj. Soient a le rayon de la base du cylindre, ka le rayon constant de la première courbure de la courbe considérée, o:, j^, z les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, et a Tare de la circonférence de la base du cylindre compris entre Taxe des x et le point x^ Y\ nous aurons
(.) ka =
or . (T
x = a cos - > r = a sm - »
ds*
y/[d^j:Y^{dyY-\-[d^zY—{d'sY Prenant a pour variable indépendante, je trouve
dx . ff -r- — — sm-î dfT a
d^x I ff
-r-- — ces > 7
dy (T -V- -1- cos - j d(r a
— - — sm - ,
dz d^z
ds , / dz^
d^s de da^
da \ dG'
dts^ 1 dz^
Portant ces valeurs dans Téquation (i), il vient, après réduction,
/ dz' Jd^^y
d'où
Remarquons que, quand on étale la surface du cylindre sur un de ses plans tangents, a est l'abscisse et z rôrdonnée d'un point quelconque de la transformée de la courbe-, nous allons construire cette transformée. L'équation (2) est de la forme
On sait que, dans ce cas, pour intégrer, on pose — = a^
. . dz nous ferons ici — = tanga; a sera l'angle que fait la tan-
gente à la courbe avec l'axe des abscisses^ l'équation (a) deviendra
doL
ha -j- cosa =: ^i — /•* cos*a ; da
nous aurons donc
( 3 ) d(T = . da et dz z= -^:z== «a.
V^i — X*'cos*a
y/i — X^^cos^a
On est conduit, comme on voit, à des intégrales elliptiques.
Fig. 59.
néanmoins on peut discuter aisément*, nous distinguerons trois cas :
I** A-<[ I [fig' 59'), OU le rayon constant de la première courbure plus petit que le rayon du cylindre.
Dans les formules (3), le radical est toujours réel ; partons de a = G et prenons a = o, z = o, ce qui ne changera rien à la forme de la courbe^ la courbe passe donc au point O où elle est tangente à Oo"; a augmentant, a et z
d(j dz • •/» T* ^ ^^
augmentent, car ;7- et ~ sont positifs. Pour a = -» — = o, la tangente est parallèle à O^; à partir de là, a décroît, car -7- est négatif 5 en B la tangente est parallèle kOx. En faisant varier a de tt à stt, on trouverait la partie BA'O symétrique de BAO par rapport à Oy, Soient a' et a''' deux valeurs de a dont la somme égale 1 80 degrés
On voit, par la décomposition des intégrales définies en éléments, que
dcL
ces* a
/* " kacosoidx /** ^acosa
Jq ^i — A*cos*a t/o \/i — k^c
r^' Âasinada Ç"" Xasina^a /*^ haûiicidot.
Jo sll — /-^cos^a Jq i/i — A^cos^a Jq i/i~A'cos*a
ce qui montre que la courbe est symétrique par rapport à la droite AA'j elle Test déjà par rapport à BB'^ donc elle admet pour centre le point C.
2° h'^i^ ou le rayon constant de la première courbiu'e plus grand que le rayon du cylindre.
Faisons cos'ao= t» et nous aurons
,. , flfcosa aûnoLdoL
\ 4. ) ao" = - aa, dz z=z ■ •
y ces* ao — CCS* a y ces* a^ — ces* a
Remarquons d'abord que ces équations sont satisfaites par a = a^^ qui donne rfa = o ; nous trouvons donc déjà comme solution l'hélice; on sait, en effet, que le rayon de sa première courbure est constant.
Nous voyons (Jig. 60) que, dans les formules (4), le
radical ne sera réel que pour les valeurs de a comprises entre «o et tt — «o et entre tt 4- a© et 2 tu — a^.
Partons de a = «o^ et prenons en ce point a = z = 0'^
a augmentant, a et z augmentent-, pour a = -> la tangente
est parallèle kOz*^ nous obtenons ainsi la partie OAi de la
courbe. Les valeurs de a comprises entre - et tt — a© iious
donneront la partie Ai B^ symétrique de la précédente par rapport à A^Ci. Si Ton fait varier a de tt -|-ao à 2 7r — a^, on obtiendra un arc de courbe égal à OAi Bj , mais tournant sa concavité vers les abscisses positives. On peut le placer arbitrairement, puisque, entre les valeurs tt — «o et TT -f- «0 de a, (7 et z ont cessé d'être réels ; nous le placerons de manière qu'il fasse suite au premier, et nous aurons ainsi construit la courbe OAi Bj A', Ei , qu'on peut d'ailleurs répéter indéfiniment.
APPLICATION DU CALCUL INTÉGRAL. SSj
3° A = 1 5 OU le rayon de la première courbure égal à celui du cylindre -, on a ici
(5) dc= -
a CCS a
ùina^i -4- ces* a
<fa, dz =
sji -|-cos*a
do..
On peut ejffectuer l'intégration pour ce qui concerne d(j\ en effet on peut écrire
da-^=. —=
£?sina
sma 1/ I sin'a
rf-
sina
V sin'a a
d'où
4/2 \ sin a y sm^ a 2 /
= — --=log
y '-^sin'«
sina
je n'ai pas ajouté de constantes^ cela ne change rien à la forme de la courbe. Pour a = o, (T = — 00 , et Ton peut prendre ^ = o ; a augmentant, a et z augmentent jusqu'à ce
qu'on ait a = -• Nous obtiendrons la courbe KHL {fig* 61)
Fig.
ayant deux asymptotes parallèles dont Tune est Taxe 0(7.
T. — Rec^
Problème n« 49.
Sur un cylindre de rés^olution, on trace une courbe dont les plans osculateurs coupent la surface sous un angle constant; on demande ce que devaient cette courbe quand on dés^eloppe la surface cylindrique sur un plan.
Prenons Taxe du cylindre pour axe des z et le plan de sa base pour plan des xy \ soient a le rayon de ce cylindre, i l'angle constant, x^ y, z les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, a l'arc de la base du cylindre compris entre la projection de ce point et l'axe des x^ \ fx, v les angles que fait avec les axes l'angle du plan osculateur \ nous avons
ces/ = cos> cos — h cosu sIh -»
COS> COSfX cosv
dyd^z — dzd^y dzd^x — dxd^z dxd'^y — dyd^x
cos/
cos - [dyd^z — dzd^y) -f- sin - (dzd^x — dxd^z) a^ 'a '
^{dyd^z -^ dzd^yy-^ [dzd^x ^ dxd'z^-h [dxd^y — dyd^x '
La dernière équation donnera la solution quand on y aura remplacé a:,j^, z par les valeurs suivantes :
x-=. a cos — 5 r = a sm — • a a
Faisons le calcul en prenant a pour variable indépendante \ nous trouverons
ax . ff -7- — — sin-, czo- a
TTT = COS-»
dy 0-
-r- -4- COS - j
da a
d'y I . <r da a a
d'où
dy d^z dz d^r c d*z i . a d^z
— ces : 1 — sin - -— j
d(j da^ d(j dfj^ dz d^x d.x d^z
a da* ff d^z
r=sm —
d(T da"^ d(j da^
dx d^y dy d^x l d(T da^ d(T da^ a
I (j dz CCS- --♦
a dar a a drj
L'équation (i) deviendra
COSi
"dH 1?
//^'^y i dz^ I
On en tire
«tang.- — ^y'
dz"
OU, en introduisant le rayon de courbure p et l'angle a que fait la tangente avec l'axe des abscisses,
a tang/ cos*.a
Or, dans le problème 1 de la troisième Partie, on a vu que cette équation est celle d'une chaînette. Donc le développement de la courbe considérée est une chaînette dont l'axe est parallèle aux génératrices du cylindre.
Problème ii« 80.
Trousser les trajectoires sous un angle constant a des méridiennes d'une surface de rés^olution.
Prenons pour axe des z l'axe de révolution et l'équateur pour plan des xy •, soient r la distance à l'axe d'un point quelconque de la surface, Q l'angle que fait le méridien de
34o TBOISIËHE PIRXIE.
point avec le plan des xz, on aura
x^^rcoiB, j-^rsin9, z^f[r],
supposant que l'équation de la courbe méridienne, dans
plan des zx, soit z = <^{x).
Pour avoir les cosinus des angles que fait avec les axes
coordonnées la tangente à la méridienne passant par le
int considéré, il suffit de dilTérentier les formules (i)
is faire varier 0. Soient ces cosinus ï, fx, v ; nous trou-
rons
COSSi^r siaSdr f'[r)dr dr\/i-\- ^''{r\
S cosinus X', fi', v' des angles correspondants pour la tratoire sont
ds' ^~ ds' ds'
us aurons donc
cose*£r -1- wnflrfy -I- o'[/-)rfs ■ ' ' ' — =cos«.
, en diflférentiant les équations (i) et faisant varier r 9, on a
(fc^cosSrfr — i-sinOf/O,
dy = MnSJr + rcosOf/9,
dz-=f'[r]dT,
ds = \/[l-hf"{r]]dr'+r'd6'.
Portant ces valeurs dans l'équation (2), elle devient
v/lH- <p'^ ( /•) ^A = cosa v/[ I 4- 9'=» ( / ) Jrf/' ^ -f- / »6?0*,
ou
(3) d^= tangce — v^i-+-/2(/').
Dans chaque cas particulier, la fonction y sera donnée ^ l'équation (3) fera connaître 6 en fonction de r, c'est-à-dire Téquation en coordonnées polaires de la projection de la trajectoire sur Féquateur.
APPLICATIONS
1** Trouvfer les trajectoires sous l'angle constant a des méridiennes d'un tore circulaire. Peut -on déterminer l'angle a de Jaçon que les projections des trajectoires sur Véquateur soient des ellipses?
Soient R le rayon du cercle générateur, l la distance de son centre à Taxe \ la fonction y est ici
réquation (3) de Texercice précédent devient
J() = Rtîinga
ce que Ton peut écrire
r ^fO=: — Rtanga
Supposons /^R, c'est-à-dire que la surface ne rencontre
pas l'axe , nous aurons
-cota</ô= —
/ //»— R» I ly
et, en intégrant,
i— g — cota ( 9 — Oo) = arc cos [—^ g 1
^-— COta(ô— %) j
expression de la forme
