I -+- ^cosm(ô — ôa

Ces courbes seront des ellipses ayant Torigine pour foyer quand on aura

tfoù

m = i oubic» ï — ^cota = i,

tanga = :^-lAS R

ce qui montre que T angle a cherché est le complément de la moitié de l'angle sous lequel le cercle générateur est vu du centre de la surface.

Dans le cas ou ^<R on trouve, en faisant 71= - — - — cota,

Enfin, pour / == R, on a

i-i-cot»a(0 — 0.)*

!i° Quelle doit être la méridienne de la surface de réi^olution pour que les trajectoires sous l'angle constant a. des méridiennes se projettent sur l'équateur, suivant des paraboles de même paramètre ayant l'origine pour foyer?

Reprenons l'équation [a] c?ô=rtanga — \ji -f- ^'^[r)\

nous devons avoir

CCS*

d'où

ô = 2 arc cos^' r ^ -h Ob,

dQ = q^

Portait cette valeur dans l'équation (a), nous aurons

SJT — q

donc la méridienne sera définie par l'équation

i / sin^a

' dx 1 X — q

n est aisé, en partant de là, de montrer que la méri-

diouue est une cycloïJe. Prenons [fig^ 62}, en effet,

0A = o, OB = ^-V-> d'où ABr=ycot^a,

BC = BC'= -fl'cot'a.

Je dis que la méridienne est la cycloïde engendrée par le

cercle de diamètre AB, roulant sans glisser sur la droite CC. Pour cette courbe, on a, en effet,

~z=tangMIH==: — ^V__

HK

ou

dx

sin*a

Pour chaque valeur de a, on trouverait une cycloïde différente pour méridienne de la surface.

Problème n° 51.

Trousser les lignes de courbure et les rayons de courbure principciûx de l'hélicoïde gauche à plan directeur.

Cette surface est engendrée par une droite qui rencontre, à angle droit, Taxe d'un cylindre de révolution et s'appuie constamment sur une hélice tracée sur le cylindre. Elle a pour équation

z^= a arc tang —

Mb

ou, en introduisant les variables auxiliaires p et co, coordonnées polaires sur le plan des x/^

a?=pcos», ^ = psinw, z = ati.

L'équation dîjBférentielle des lignes de courbure est

/ V d.T -hpdz djr -^ qdz

dp dq

On trouve aisément

aûxitù acostù

et l'équation précédente devient

— p//.pcos6i + a'sinb>e/u ^ p^.psinu + ^'cosu^/o»

sinoi» cos&> pd pd

En simplifiant, on trouve

ûrp»=(p»H-«ï')rf«»,

d'où

Les variables sont séparées. En intégrant et désignant la constante par coq, on a

logC vr =± « — «0 ,

On en déduit

— p 4- ^p' -f- a* — ae?=FC—- "0) et p = -[^=*=(«— •0) — ^=f(«»— •)].

Si Ton prend les signes supérieurs, on a les projections des lignes de courbure du premier système ^ les signes inférieurs donnent celles du second système. Toutes ces projections passent par le pôle, et Ton peut les obtenir en faisant tourner autour de ce point la spirale unique ayant pour équatioa

La valeur de chacun des membres de Téq^uation (i) est ou -' (Ri et Rj désignant les deux

rayons de courbure principaux), suivant que, dans l'équation (a), on prend le signe -h ou le signe — . On trouve ainsi

11, == 9 Rj = •

Les deux rayons de courbure sont égaux et de signes contraires; Tindicatrice est donc une hyperbole équilatère. On en conclut que, en chaque point, la génératrice fait un angle de 45 degrés avec chacune des lignes de courbure.

Problème a" 63.

Discuter la surjace qui a pour équation c~'= cosa: cos/,

et trouver ses lignes de courbure.

Prenons (Jîg- 63)

et f par les points de division , dicdoqs des parallèles aux

Fi|j. 83.

axes; la surface, située tout entière au-dessus du plan des jTj-, se composera d'une infinité de parties identiques, se projetant sur les carrés blancs de la figure. On a

— s ^ log COSa: COSJ',

;>=:tangjr, q = tangy.

li'équation différentielle des projections des lignes de cour-

bure sur le plan des xy est, comme on le trouve aisément,

dx dy

djr^ cos^x — r/x'cos*j = o, d'où ^

Les variables sont séparées 5 en intégrant et désignant par a et j3 deux constantes, on aura, pour les équations d^^s projections des lignes de courbure du premier système, les équations

pour celles du second système.

Les projections de toutes les lignes du premier système passent par les points A et C, celles des lignes du second système par les points B et D ; les diagonales AC et BD sont les projections des lignes de courbure qui passent par le centre I du carré.

Problème b9 53.

Trousser les lignes de courbure de la surface dci^eloppable représentée par les deux équations

iz =aa:4-r?(a) "H ^ («)»

^'^ \ 0 = x +Jy'(a)-f•^^'(a),

dans lesquelles a est un paramètre variable, et

R désignant une constante et cp une fonction donnée quelconque.

DiiTérentiant la première des équations (i) et tenant

compte de la seconde, on a

(2) dz=^arix -{- (f[o:)dj;

d'où

p = a et q = if[(x.).

T,. . j ,. j 1 dx-\-pdz d/~\-qdz

Li équation des lignes de courbure j-^ — = ^ — -

devient

[djc -t- (idz)tf'[cc)da.=z [dy ■+- (f[oL)dz]da.

On aperçoit la solution <ia = 0 ou a = const., qui donne les génératrices rectilignes de la surface comme lignes de courbure du premier système. On a ensuite Téquation

y'(a)^~ûÇy -h [a/(a) — (j)(a)]e/z=:o,

qui, combinée avec Téquation (2), donne

dx

dy

dz

i-hç*(a) — a^(a)ç'(a) 9'(a)-h«'y'(a) — «?(«) a-î-Y(a)ç'(a)

xdx -\- ydy H- zdz

ou

z[a-l-y(a)çp'(a)].

ce qui, en tenant compte des équations (i), devient

Si Ton remplace i{/(a) par sa valeur, on trouve

et, en se reportant aux équations (3), on voit qu'il en ré-

35o TROISIÈME PARTIE.

suite

xdje -h jr^y -}- zdz=:o OU bien or^ -h j^ 4- z* = const.;

donc les lignes de courbure du second système sont situées sur des sphères ayant l'origine pour centre commun.

Réciproquement, si Ton demande que les lignes de courbure du second système de la surface dëveloppable, représentées par les équations (i), soient situées sur des sphères ayant l'origine pour centre, il faudra qu'on ait

V=o oubien ^K») [« -H f («)?'(«)] — ^(«llï + «'■*-?'(*)] =o»

ce qui donne

d[i -h a' -4- <p'(a)] f (a) I doL '

et, en intégrant et désignant la constante par R,

Il convient de remarquer le cas où la constante R est nulle; on a alors

et les surfaces en question sont des surfaces coniques quelconques ayant l'origine pour sommet.

Problème n"" 54.

Trouver les lignes géodésiques de l'hélicoïde gauche à plan directeur.

Ces lignes jouissent de cette propriété que, en chacun de leurs points, leur plan osculateur est normal à la surface. On devra donc avoir, p elq ayant la signification ordinaire,

(l) dxd^y — dyd^xz=:p[dyd^Z'-dzd^y)'^q[dzd^JC — dxd}z].

APPLICATION DU CALCUL IlfTÉGBAL. 35 1

Or, pour notre surface, on a

J?=rpCOSw, ^nzpsinw, Z = atù,

et, si l'on substitue ces valeurs dans l'équation (i), en prenant 0) pour variable indépendante, on aura une équation différentielle du second ordre, laquelle, toutes réductions faites, se trouve être

Cette équation est du second ordre ^ elle ne contient pas tù\ on l'abaissera au premier ordre en posant

d'où

d^p I du

et par suite

- ^- lu— p'4-aM =0

OU bien

du 4p

Cette équation du premier ordre est linéaire; en l'intégrant et désignant par b^ une constante arbitraire, on aura

et, en revenant à Téquation (2),

bdp

du =

Telle est, en coordonnées polaires, l'équation des projections des lignes géodésiques. Le problème est donc réduit aux quadratures. On voit qu'on est conduit à une intégrale elliptique.

Discussion. — Premier cas : b<^a. — Le radical de la formule (3) étant toujours réel, p peut prendre toutes les valeurs possibles. Pour p = o, nous prendrons a)= 05 la courbe passe par l'origine, où elle est tangente à Ox] p augmentant, &> augmente. Pour jo = oo , ct) est fini; car

^ : est finie. Il y a lieu

ov/(p'-+-'^')(p'-^ «=-*') ^

de chercher si la courbe a une asymptote ; il faut voir si

p*— a une limite finie quand p tend vers l'infini: or

û*-7- = .; la limite cherchée est

donc égale à &. Il y a, par conséquent, une asymptote distante de l'origine de la quantité J.

Deuxième cas : b^ a. — p peut varier de \Jb* — a' à QO ^ il y a encore une asymptote.

Troisième cas : b^= a. — On a

L'intégration peut s'effectuer, et il vient

d'où

, a -^ slù^'\-a- «0— » = lOg ^- \

La courbe admet l'origine comme point asymptotique et la droite p = . . __ — . pjur asymptote.

Problème n» 55.

Troui^er parmi tous les conoïdes droits ceux dont les ^ajons de courbure principaux sont en chaque point égaux et de signes contraires.

L'équation de ces surfaces est

On doit avoir

(i) (i-h/?')/*4-(H-<7')?— ^pqs=2 0.

Or on trouve

T. — Rec» 23

L'équation (i) devient, après réductions^

j:'[ç^(tf)(i-f-«')-t-2tfy'(w)]=0

En intégrant, et désignant la constante par a, on a