h u^ Intégrant de nouveau
^ ( tt ) = a arc tangif H- ô; donc Tcquation des surfaces est
z — b = a arc tang — •
On ne trouve donc que les hélicoïdes gauches à plan directeur.
Problème n» 56.
Trouver, parmi toutes les surfaces gauches engendrées par une droite qui reste constamment parallèle à un plan fixe, celles qui, en chacun de leurs points, ont leurs rayons de courbure principaux égaux et de signes contraires.
Prenons le plan fixe pour plan des xj^ et l'équation générale de nos surfaces sera
(i) y = a:ff[z)-h-^[z),
les deux fonctions cp et ^ étant arbitraires. On doit avoir Téquation
(2) (i + <7')' — ^pqs-\-[\ -f-/?')i = o.
En dîfTérentiant Téqualion (i) successivement par rapport
h X et j^, on trouve
L'équation (2) deviendra
:tp<f'{z) ^ (/.»+ q^) [,r<p" (3) -f- f'(z)] = o
ou bien
Cette équation, devant avoir lieu quelles que soient les variables indépendantes x et z^ se décompose dans les deux suivantes :
la dernière donne, en intégrant,
en intégrant une seconde fois, on a
arctang(p(z) =Cz -h C.
On a de même, en désignant par C une nouvelle cons tante
et réquation de la surface devient
OU bien
arc lang '——rn, = C«-4- C ;
en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes, on peut écrire
z = aarctang^9
et Ton trouve ainsi les hélicoïdes gauches à plan directeur.
Problème n« 57.
Trouver les lignes asymptotiques d'une surface.
On appelle ainsi des lignes qui, en chacun de leurs points, sont tangentes à Tune des asymptotes de l'indicatrice de ce point. Soient a, (3, y les angles formés avec les axes de coordonnées par Tasymptote; on aura
o = /-cos^a 4- 25COsacosp ■+• fcos^p.
La ligne asymptotique devant être tangente à l'asymptote, cosa et cos^ seront égaux respectivement aux valeurs de
-^ et -^) relatives à la ligne asymptotique^ Téquation pré-
cédente deviendra donc
(i) o = rdx^-\- 7.sda:dx -^ tdj^.
Cette équation, dans laquelle r, 5 et t doivent être considérés comme étant des fonctions connues de x et j^ est l'équation difïérentielle des projections des lignes asymptotiques sur le plan des xj \ elle est, comme on voit, du
dy premier ordre et du second degré en — •
Problème n« 58.
Trouver les lignes asymptotiques de l'hyperboloïde à une nappe,
]Sous connaissons d'avance le résultat^ en effet, en chaque point de la surface, les asymptotes de l'indicatrice sont les deux génératrices rectilignes qui passent en ce point ; donc le système des lignes asymptotiques est identique au système des génératrices rectilignes. Voyons comment l'équation (i) du problème précédent va nous fournir ce résultat.
Soit l'équation de la surface
Jjj yi j\
on en tire
- -p^+zr,
0=zpq -hZSy
- =q^^zi.
L'équation (i) donnera donc
Remplaçant z par sa valeur tirée de l'équation de la surface, il vient
OU, en développant et réduisant,
dy^ dx'
ou
bien
c'est l'équation de Clairaut. L'intégrale générale est, en désignant par m une constante arbitraire,
équation qui représente, comme on sait, les projections des génératrices rectilignes sur le plan des xy.
Problème n» 59.
Trouver les lignes asymptotiques des conoïdes.
Quand on cherche les lignes asymptotiques d'une surface réglée, l'équation (i) de l'avant-dernier problème est assez facile à traiter, car, la génératrice étant une de ces lignes, on connaît une solution de cette équation : c'est ici
le cas. Soit z=:fl-] l'équation de la surface.
Nous en tirerons
APPL1CATJ03N DU CALCUL INTÉGRAL. SSq
L'équation (i) deviendra donc
OU bien
ixr--'^^' ^ '»"'- --'-^ • ^"^^
dx/'y-\ (jdlr — jrrfj)-4r/'M-) [ydx — xdyY = o.
On aperçoit la solution
ydx — jsdy -=,0
ou
— =r const. ,
qui donne la génératrice. Supprimant cette solution, nous aurons
^f'U\dx^r{^\ (xdx^xdj)z=o
OU bien
dx \x Y
2 — irr --.-- d-
Les variables sont séparées-, soitC la constante arbitraire;, l'intégrale de l'équation précédente sera
C'est là l'équation du second système de lignes asymplotiques.
Considérons en particulier Thélicoïde gauche à plan di-
36o TROISIÈME PARTIE.
recteur, dont Téquation est
(3) z = aarctang— •
se
On a dans ce cas
arctang— »
et Téquation (2) donnera
7' or'
ou bien
Ces lignes asymptotiques se projettent donc sur le plan des xy suivant des circonférences ayant toutes l'origine pour centre.
Il est à remarquer que ces lignes sont, dans le cas présent, les mêmes que les trajectoires orthogonales des génératrices; en effet nous avons montré, dans le problème SI de la troisième Partie, que les rayons de courbure principaux de la surface (3) sont égaux et de signes contraires^ en tous les points de cette surface, Tindicatrice est donc une hyperbole équilatère, c'est-à-dire que. Tune des asymptotes étant la génératrice, l'autre est toujours perpendiculaire sur cette génératrice.
Problème xfi 60.
Trouver sur un hyperboloïde à une nappe les lignes qui, en chacun de leurs points, sont tangentes aux bissectrices des angles formés par les génératrices rectilignes (fui passent en ce point.
et
APPLICATION DU CALCUL INTÉGRAL. 36l
Soit réquation de la surface
Les équations des deux systèmes de génératrices rectîlignes sont
Si dans ces équations x, j^ z désignent les coordonnées d'un point quelconque de la surface, on en tirera les paramètres correspondants X et fx ^ mais on peut aussi se servir de ces équations pour exprimer les coordonnées x^ y^ z d'un point quelconque de la surface, en fonction des paramètres correspondants X et (a ^ on obtient ainsi
xz=za -~ 5
