X-f- fX

Xa — I

Si, entre ces trois équations, on éliminait X et fx, on retrouverait Téquation (i) de la surface^ on obtiendra tous les points de cette surface, en donnant à X et ji toutes les valeurs possibles ; X et fx peuvent être regardés comme étant les coordonnées d'un point quelconque de la surface; une ligne tracée sur la surface aura pour équation une certaine

302 thoisième partie.

relation entre i et /Ji ; par exemple les équations (2) représenteront une génératrice rectilîgne du premier système quand on y fera X = const. ^ [i = const. donnerait au contraire une génératrice du second système. Soit ds la dis tance de deux points de la surface infiniment voisins. répondant aux valeurs X, /x et X -4- rfi, |ui -h d/x des coordonnées ^ on aura

-=[(S)'-(S)'-fê)']-

(djc âx dy dy dz dz\ ,^ d\ dll d\ d^L d\ d^l) ^

m<^Hi)>'-

Remplaçant les dérivées partielles •^<^** par leurs valeurs déduites des équations (2), on trouve, en faisant

(4) dz^^AdX'-^- ^Bd'kdiX'^Cdj.^

Soient ijig' 64 ) M le point dont les coordonnées sont \

[x^ M' le point X -h rfX, /x -i- d(x^ P le point X, fjt -|- dfi^ Q ^ point X 4- rfX, /x. On pourra déduire la distance MP de le-

quatîou (4) en y faisant dX = o, MQ, en faisant dfi=:= o\ on. aura ainsi

MP = =hv^4i, MQ—±s/Ad\;

RIP et MQ sont les directions des génératrices rectilignes du point M. Si MM' est la tangente à la courbe cherchée, c'est-à-dire la bissectrice de Tangle PMQ ou de son supplément, on devra avoir

OQ, en remplaçant  let C par leurs valeurs (3),

dl

En prenant le signe -4- et le signe — , on aura, entre les coordonnées X et |ui, les équations différentielles des lignes cherchées. Dans Téquation (5), les variables sont séparées ^ en intégrant immédiatement, on introduit des fonctions transcendantes^ néanmoins l'intégrale est algébrique. Ce résultat fondamental est du à Ëuler. L'intégrale est ici, en

prenant le signe -h et faisant A* = ^ ^ — »

6) ^X^+2 /-n^-t- 1 — v/f*'+ 2/V-1- 1 — (X — fx) v^2C -4- (X -h/x)»,

C désignant la constante arbitraire. 11 ne reste plus qu'à remettre, pour X et ^l^ leurs valeurs* en x,^, r, à éliminer z avec l'équation de la surface, pour avoir les équations des projections des lignes cherchées sur le plan des xy.

Pour faire, aisément ce calcul, nous déduirons de l'équa-

364 TROISIÈME PAUTIE.

lion (6) les formules suivanles :

— v^X<-f-2^»X'-i-i ^/x» + aX'Y'-h I,

(/•«-,) il±Ji)! =: , u Vfx>+ A-»(V4- p»)

-f- Vx*-f- a/n»H- I \/p* -h 2 /•>'-*- I,

Dans celte dernière équation, remplaçons -^ : » >

r — - par leurs valeurs tirées des équations (a), et nous

trouverons

Entre cette équation et Téquation (i) de la surface, élimi-

nous A, remplaçons C par C= - C - — -^ A * par — ^ ^ ?

et nous obtiendrons

Le lecteur reconnaîtra aisément là Téquation des projections des lignes de courbure de rhyperboloïde sur le plan des xf\ cela devait être. En effet, en un point quelconque de la surface, les génératrices rectilignes sont les asymptotes de l'indicatrice; lés bissectrices des angles des génératrices rectilignes sont les axes de l'indicatrice ou les tangentes des sections principales. Donc les lignes chercliées sont tangentes en chacun de leurs points à l'^ine des sec-

lions principales qui passent en ce point; ce sont donc les lignes de courbure.

La même question se résout plus facilement dans le cas du paraboloïde équilatère xy = az'^ on a, dans ce cas, les formules

a:=:a)., jrz=zayi., z=za\it.

L'équation (5) devient

dy, , du.

■ = dz ]

d'où, en intégrant,

En partant de là, on n'aura pas de peine à obtenir, sur le plan des xy^ Téquation des projections des lignes cherchées.

Problème n» 61.

Trouver les trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes du paraboloïde équilatère xy = az.

Les génératrices rectilignes du premier système ont pour équations

Pour la trajectoire orthogonale, on doit avoir

dy -f->.rfz = o

ou bien, en remplaçant X par sa valeur - j tirée de la seconde

équation (i),

jrdjr ••\'zdz=z o.

Intégrant et désignant par k la constante arbitraire, on a

Ainsi les trajectoires orthogonales des génératrices rectiligncs du premier système ont pour projections, sur le plan des 7'«, des circoniérences dont Torigine est le centre commun.

La même chose a lieu, sur le plan des œz^ pour les trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes du second système.

Montrer que la famille des surfaces représentées par V équation a = ~ > dans laquelle a est le -paramètre variable, fait partie d'un système triple orthogonal, et troui^er les deux autres familles.

On sait que les surfaces représentées par l'équation oL = F{x^j^^ z) ne font pas généralement partie d'un système orthogonal^ la fonction F doit vérifier une certaine équation aux dérivées partielles du troisième ordre, qu'a fait connaître M. Darboux ( ' ),

Soit ^=f(x^y,z) l'une des familles cherchées; on devra vérifier identiquement Téquation

ou bien

da d^ dad^ da d^ dx dx dy dy dz dz ^ ^

X dx y dy z dz

C'est là une équation linéaire du premier ordre aux déri-

( ') M. Bonnet a indiqué une autre méthode qui fait dépendre la solution du problème des systèmes triples orthogonaux de l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre.

Tées partielles. Pour Tintégrer, noas formons les équations différentielles

xdx=ydy= — zdz=^ — •

Les équations intégrales de ce système sont

et l'on sait que, ^ désignant une fonction arbitraire, l'intégrale générale de l'équation (i) sera

En désignant de même par W une fonction arbitraire, la troisième famille cherchée sera donnée par l'équation

Y = ^(Gi,G2).

Ainsi, quelles que soient les fonctions ^ et Y des quantités Ci =:^*-|-x*, Cs=: z*-t-jK*î chacune des surfaces (3 coupera orthogonalement chacune des surfaces a, et il en sera de même de chacune des surfaces y. Il reste a exprimer que deux quelconques des surfaces j3 et y se coupent orthogonalement^ il faut avoir

dx dx dy dy dz dz

ou bien

dCt^ dC,

rf4> d^

dC^ dC2

-hz^

d^\ f d^ dV

dÇty dCjJ \dC^ dCi

ou, en remplaçant xeijr par leurs valeurs en fonction de

JZj Va\ et v-ig,

d^ d^r d^ dW / d^ dr c?* ^ \ __

dCt dCi dC^ dCi \dCt dCi dCt dCiJ

Cette équation devant avoir lieu quelles que soient les

quantités Cd €« et 2, on doit poser les deux équations

d^ dW d^ dW __

dCi dCi dCt dQt

tl^ d^ d^ dW ^

dCi c/Cs dCi dCi

De ces deux équations on tire

f— \dC

'^■'^y=<£}'- Mî)=<^(s)'

et par suite

Chacune de ces équations est une équation linéaire du premier ordre, aux dérivées partielles. Pour intégrer la première, on considère le système d'équations difierentielles

,. . dCi dCt rf* , j • r t

ordm aires -—l ==p —= = — > qui admet pour intégrales

a = ^JCl ± yJCl^ i = *. On a donc ou simplement

Ainsi le système triple demandé est

a=— » p = ^z» 4- .r* -h V 3' -h J\ 7 = v^z» -h x^ — ^z^ -hf.

On voit que les surfaces (3 et y peuvent être définies comme étant le lieu géométrique des points dont la somme ou la difTérence des distances aux axes des x et des j est constante.

Ces surfaces ont été trouvées par M. J.-A. Serret.

A-PPLlCATIOlff "DTj calcul INTÉGRAL. 869

Problème n? 63.

De la transformation par rayons vecteurs réciproques. Considérons un système de points m, ni\ mf ^ ... et un point fixe O ; aux points m, m\ . . . , nous faisons correspondre une série de points M, M', M'^, . . . , définis connue il suit : sur les rayons vecteurs Om, Ow', Om^, . . . , nous prenons des points M, M', RF, ..., tels queOMxOm = A*, 0]M'xOm'= Ar*, ..., Ar étant une constante donnée^ la ligure MM'M"'. . . est dite la transformée par rayons vecteurs réciproques de la figure mm'm". . . relativement au point O. Cette transformation entraine des relations simples entre les deux figures \ nous allons faire connaître les plus importantes.

Soient x^j^ z les coordonnées d'un point quelconque de la figure proposée, X, Y, Z les coordonnées du point cor- ' respondant de la transformée, r = Om, r'=Om', ..., R = OM, R'= OM', . . • 5 on trouve aisément

j:^ -hj^' -h z^

kH

X'+Y'-hZ»

X'-f-Y'-hZ^

Rr= as-

soient p la distance de deux points m et m' de la figure

T. — Rce 24

3^0 TROISIÈME PAUTIE.

proposée, P la distance des points correspondants M et M'^ on a

P= (X»-+-Y»H-Z') -f- (X'»-hr»-f.Z'») — 2{XX'4-YY'4-ZZ'),

Prenons pour première figure Tensemble des points du plan défini par l'équation ax-|-ij^+c«-f-rf==o^la transiormée aura pour équation, d'après la formule (2),

i/(X»-+- Y»4-Z^) -*- X»(flX 4- ^»Y-+- cZ) = o.

Ce sera une sphère, excepté lorsque le plan donné passe par l'origine, auquel cas la transformée est ce plan luimême ', le centre de la sphère se trouve sur la perpendiculaire abaissée du point O sur le plan. Â deux plans parallèles répondent deux sphères tangentes au point O. Prenons pour première figure la sphère

la transformée sera

D(X»H-Y»-f-Z») — 2A-»(AX-HBY-f-CZ)H-i;-* = o.

C'est une sphère, excepté dans le cas où D = o ; alors la sphère donnée passe par l'origine ; la transformée est un plan.

Une circonférence de cercle pourant être considérée comme l'intersection d'un plan et d'une sphère aura généralement pour transformée une circonférence de cercle; elle ne sera une ligne droite que quand la circonférence proposée passera par le point O.

APPLICATION DU CALCUL IKÏÉGKAL. 3'Jl

Une propriété remarquable de cette transformation consiste en ce que les deux triangles, formés par trois points infiniment voisins quelconques de la figure primitive et les trois points correspondants de sa transformée , sont semblables l'un à l'autre, en sorte que, si deux lignes se coupent dans Tune des figures sous un certain angle, les lignes correspondantes de l'autre figure se. couperont sous le même angle. •

La démonstration de cette propriété repose sur l'équation (3)

Supposons, en effet, que les deux points m, m' soient infiniment voisins et que leur distance soit représentée par ds-^ soit ^S la distance des points correspondants M et M'; nous aurons, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à ds^

Pds

dS

Considérons un troisième point m'' infiniment voisin de m et m\ et soient ds' et ds^^ ses distances à ces deux points, dS^ et rfS'' les distances correspondantes MM'', M'M'': nous aurons aussi

d'où

ds'^dP"^ d/

Ainsi le triangle infinitésimal mm' m" est semblable au triangle correspondant MM'M^j l'angle de ds avec ds' est donc le même que l'angle de dS> avec rfS'.

3^2 TROISIEME PAaTtE.

En particulier, si deux surfaces se coupent sous un certain angle, leurs transformées se coupent sous le même angle.

On déduit aisément de là un théorème important :

Les transformées des lignes de courbure d'une surface sont les lignes de courbure de la surface transformée.

Représentons-nous, en effet, les lignes de courbure de la surface proposée, les deux séries de surfaces développables orthogonales entre elles et à la surface donnée,- qui sont formées par les normales successives, et la série des surfaces parallèles à la proposée; nous aurons là un système triple orthogonal. La transformation par rayons vecteurs réciproques nous donnera, d'a'près ce qui précède, un nouveau système triple orthogonal, et le théorème de Dupin nous apprend que ces surfaces se couperont mutuellement suivant leurs lignes de courbure*, les lignes de courbure de la surface donnée resteront donc lignes de courbure de sa transformée.

Considérons, comme application de ce qui précède, le système orthogonal formé des surfaces homofocales du second degré, savoir :

ou

nous en déduirons, en transformant par rayons vecteurs réciproques ce nouveau système orthogonal , iormé de sur-

APPLICATION DU CALCUL INTÉGUAL. Sy^

faces du quatrième degré,

(X^ + Y'-f-ZO'

p» — îî»'2

(X^-hY^ + Z^)^

fX'-i-Y'+Z')^

Ces surfaces se couperont mutuellement suivant leurs lignes de courbure. On saura, par exemple, trouver les lignes de courbure de la surface, lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre de Tellipsoïde

sur ses plans tangents; Téquation de cette surface, qui est

rentre, en effet, dans la forme (4).

Considérons encore le système orthogonal dont nous nous sommes occupé, p. 348,

P = /z' 4- .r' + v^z- H- jr%

Appliquons-lui la transformation par rayons vecteurs réciproques; nous en déduirons ce nouveau système orthogonal

Z(X' + Y'-f-ZO

'— VZ^+ y^— v/Z^ -4-X' 7 — — -xTZY^'-f. z»

3^4 TROISIÈME PÀHTIB.

Nous saurons trouver les lignes de courbure des familles de surfaces représentées par ces trois équations.

Proposons-nous, comme dernière application, de trouver les lignes de courbure de la surface enveloppe des sphères qui touchent trois sphères données.

Soient O et P les points d'intersection de ces trois sphères. Prenons le point O pour origine, et opérons une transformation par rayons vecteurs réciproques. Dans la figure transformée, les trois sphères données seront remplacées par trois plans, qui se couperont en un point II correspondant au point P. La surface enveloppe des sphères tangentes aux trois plans sera un cône circulaire droit, ayant son sommet au point II . Les lignes de courbure de cette surface conique sont : i^ les génératrices recti lignes qui passent toutes par le point II ^ dans le retour à la première figure, ces droites deviendront des cercles passant tous par le point P; 2° les parallèles, qui deviendront aussi des cercles. Les lignes de courbure de la surface enveloppe des sphères tangentes à trois sphères données sont donc des circonférences de cercle.

Ce qui précède est extrait, presque textuellement, d'un beau Mémoire de M. Liouville, publié au tome XII du Journal de Mathématiques pures et appliquées.

Problème n^ 64.

Trousser les systèmes orthogonaux dont font partie les sphères représentées par l'équation

a:' -H j"' 4- z* = aa?,

OÙ a est un paramètre ^yariable.

Les sphères proposées passent par Torigine et ont leurs centres sur l'axe des x. Ecrivons leur équation comme il

suit :

ar' -I- j^' -4- a*

Nous allons d'abord chercher la forme la plus générale des fonctions F, telles que les surfaces représentées par l'équa-tîon p = F [oc^y^ z) coupent à angle droit toutes les sphères proposées, quel que soit le paramètre variable p \ nous devrons avoir identiquement

dY doL rfF doL dF da ^ dx dx df djr dz dz

ou, en remplaçant et par sa valeur (i),

C'est là une équation linéaire, du premier ordre, aux dérivées partielles. Pour en trouver l'intégrale générale, il nous faut intégrer le système suivant d'équations différentielles simultanées :

. . dx ^ dy dz dF

œ^ — y^ — z^ ixy 2xz o

Mettons à la suite de ces trois rapports égaux le suivant,

. 1 • ^ 1 j • xdx-^ydy -^ zdz égal aussi a chacun des premiers, — , ^ ^ ^r— > et

considérons les deux équations

dy xdx -\- ydy -h zdz