xy X [x^ -^ y^ -^ z

dz xdx -\- ydy -\- zdz

7,xz x[x^'\- y'^'\' z^)

En désignant par C et C" deux constantes arbitraires, on aura, en intégrant après avoir supprimé x en dénomina-

leur,

log« = Iog(.rH-^'-f- 2') 4- logC

bien

on a, du reste,

Tel est le système intégral général des équations (3)^ donc rintégrale générale de l'équation (2) sera, en désignant par y une fonction arbitraire,

C=/(C,C'^) ou bien

Donnant à y deux formes différentes y et 4'? désignant par j3 et 7 deux paramètres variables, nous pourrons prendre pour équations des deux familles de surfaces conjuguées à la famille des surfaces ( i )

Quels que soient les paramètres a, j3, y, une quelconque des surfaces des familles (2 ) ou (3) coupera toujours à angle droit Tune quelconque des surfaces de la famille ( i ) . Reste à exprimer que les surfaces (2) et (3) se coupent aussi mutuellement à angle droit.

Soit posé, pour abréger,

(4J uz= -^ , v= ,

APPLICÀTIOlf DU CALCUL IIîTÉGIlAL. 877

d'où

(5) ^ = ^[li,p), 7— ,J;(tt, p).

Nous devrons avoir identiquement

dff f/-^ d<f d"^ d(f d*^ dx dx dy dy dz dz OU bien

dff du df dv \ fd^ du d-^ dv\

du iijc dv dx I \du dx dv dx

et, en développant,

dZl\di)'^W) '^[d^j J

di9 d^^ ^ f du\^ du

(«) -mmHiHm

(d<f d-^ df d^\ [du dv du dv du dv\ du dv dv du) \ dx dx dy dy dz dz )

En remplaçant u el vf par leurs valeurs ( i ) , on trouve

/^y fd uy /^y r ;

\dx) \dy) \dzj [:r^^y^-hz^'Y

dv\^ (dvy (±y__ [

du dv du dv du dv dx dx dy dy dz dz

L'équation (2) devient donc simplement

d^d^^d^djf^^^

^ ' du du dv dv

Quand on se donnera une fonction cp particulière, en intégrant Téquation (6) linéaire du premier ordre aux dérivées partielles par rapport à ^, on aura cette dernière

3n8 TROISIÈME PARTIE.

fonction \ il existe donc une inanité de systèmes orthogonaux dont fait partie la famille de surfaces (i).

On peut se représenter tous ces système^ d'une façon simple, comme nous allons le toir.

Transformons ces systèmes par rayons vecteurs réciproques, en prenant sur le rayon vecteur mené de l'origine au point m[x^y^ z) un point M(X, Y, Z) tel que

0/wXOM = i; les coordonnées X, Y, Z seront les fonctions suivantes de

et notre système orthogonal deviendra

(8) X=i, p = ?(Y,Z), 7 = ,KT,Z).

Ce nouveau système sera aussi orthogonal^ il est composé de plans perpendiculaires à Taxe des X et de cylindres parallèles à OX, et dont les bases sur le plan des YZ sont des courbes orthogonales. Réciproquement, si Ton considère le système le plus général satisfaisant aux conditions précédentes, et qu'on le transforme par rayons vecteurs réciproques, on aura le système le plus général demandé. La réponse à la qliestion posée est donc la suivante :

Que l'on considère le système orthogonal triple forme de cylindres orthogonaux parallèles à l'axe des X, et de plans perpendiculaires sur cet axe, et qu'on transforme ce système par rayons vecteurs réciproques, on aura une in-

.r» + jr'

x^-hy^

(înité de systèmes orthogonaux, quî sont les systèmes cherches.

Prenons, par exemple, pour nos cylindres les plans perpendiculaires aux axes des Y et des Z, ayant par conséquent pour équations

Y==const. =r ->

Z = const. = - •

Nous aurons à transformer par rayons vecteurs réciproques le système

ce qui donnera le système triple orthogonal

formé de sphères passant par Toriginc et ayant leurs centres sur les axes O j:, Oj^, O^.

Prenons en second lieu pour bases des cylindres sur le plan des YZ les ellipses et les hyperboles homofocales représentées par les équations

Nous en déduirons le système triple orthogonal

ar' -h j'' H- z^ = a a:.

38o TROISIÈME PARTIE.

Problème n» 65.

Trouver les systèmes orthogonaux dont font partie les cônes

où a «5^ i/Ti paramètre variable.

Déterminons d'abord la fonction F de façon que les surfaces représentées par Téquation

coupent à angle droit tous les cônes proposés, quel que soit le paramètre p.

Nous devrons avoir identiquement

dp dot. dp doL dp da dx dx djr dy dz dz

OU bien, en remplaçant a par sa valeur (1),

/ \ dp dp dp

^ ' ^ dx dy ^ '^ dz

Pour obtenir l'intégrale générale de cette équation linéaîic, nous devons intégrer le système suivant d'équations simultanées :

dx dy dz dp

yz xz — nxy o

xdv=iydy =: z <f 2 = ~ •

Nous avons

par suite Tintëgrale géDérale de réquatîon (i) sera

F étant une fonction arbitraire.

Donnant à la fonction F deux formes distinctes, désignant par |3 et y deux paramètres variables, nous prendrons

Posons, pour abréger,

(4) W = 2*-f-2ar% V=:Z^-\-7.f^'j

nous aurons

Quels que soient les paramètres (3 et y. Tune quelconque des surfaces (2) ou (3) coupe à angle droit toutes les surfaces (1)5 reste à exprimer que les surfaces (2) et (3) se coupent mutuellement à angle droit, ce qui, d'après Texercice précédent, donne Téquation

A -^s[(sMj)'-(S)']

(d^ d^ d(f d-^\ /du dv du dv du d\>\ -- • ■■ -^ — — — — I I — — J— — —^ — |— - — j ^ o. du dv dv du) \dv dx dy dy dz dzj

Cette équation, qui doit être vérifiée, quels que soient x, y^ «, devient, quand on y remplace ueXvf par leurs valeurs (4),

/ . / -\ ^® ^'i* / . , .d9 d^ • fdo d-h da d'ItX

S8a TROISIÈME PÀHTIE.

Exprimons x etjr k Taide de z, u et i^, au moyen des équations (4)) et nous aurons

et cette équation, devant être vérifiée quels que soient u, i> et Zy se partage immédiatement en deux autres

dtf d"^ df d^

ta ' "

tt — = — - -t- V — =- — ^ = o, du du dv dv

dff d^ df d-^ dtf /A|i dn d^

»* «IMw ^^^^^ ^H^^B ^^m^^ ^v^v^ ^^H^ ^^^^^ ^mm^m^ ^^^^ ^^^^^ ^H^a^ ^^B^a* ^X

™""" ^^^-^ ^^^^ ^^-^^ ^^^^^ ^^^^ ^M^B^ ^^^^^ ^^^^ M^B^^ ^^^^^ ^«^Bi^ 1/ A

£^ic c/c «/t' du du du dv dv

La dernière équation peut s'écrire

d'où en premier lieu

do dtf du dv

Cette équation étant intégrée donne

tf = f[u ■+■(*),

ç étant une fonction arbitraire^ et l'équation (7), quand on y remplace <f par la valeur précédente, devient

Pour obtenir l'intégrale générale de cette équation, j'intègre le système

du dv d^

qui donne

L'intégrale générale de Téquation (9) est donc

^ = ^(Ln

^ étant une fonction arbitraire^ nous avons ainsi le système orthogonal *

qui n'est pas plus général que le suivant : ou bien

Nous trouvons ainsi pour surfaces conjuguées des proposées des cônes ayant même sommet que les proposés et des sphères ayant Torigine pour centre.

Si dans Téquation (8) on avait annulé le second facteur, on serait évidemment tombé sur le système

Problème n^ 66.

L'une des familles d'un système triple orthogonal étant représentée par l'équation

(i) cf.z=xxz,

dans laquelle a est un paramètre variable, on demande de trousser les deux autres familles ,

Soit [3 := F(a:, /, z) l'équation générale des surfaces qui coupent à angle droit les surfaces (1); nous devrons avoir,

384 TROISIÈME PAUTIE.

quels que soient x^j^ z,

d^dx d¥ d% d? doL dx eLe dy dy dz dz '

OU, en remplaçant les dérivées de a par leurs valeurs tirées de Téquation (i),

£ £F 2^ £F I rfF

^ ' X dx y dy z dz

Pour intégrer cette équation linéaire aux dérivées partielles, je considère le système suivant d'équations diiTérentielles simultanées :

et j'en tire

C,= F; donc l'intégrale générale de l'équation (2) est

cp désignant une fonction arbitraire. Posons

et, en désignant par 4* une nouvelle fonction arbitraire, nous prendrons pour les équations des familles de surfaces cherchées

(3 et y étant les paramètres variables. Il nous reste à exprimer qu'une quelconque des surfaces (3 coupe à angle

droit une quelconque des surfaces y, c'est-à-dire que

dfû d'^ d'if d^ dff d^ dx dx dy dy dz dz

Cette équation, quand on y introduit u et v^ devient

du TTu \\dx\ "*" \^/ "^ \dz) y"Jv~di L\^/ "^ \!h') J

, V/«p d-h dtD fAI/X I du dv du dv ,

f/tt dv dv du) \da; (h: dy dy

Remplaçons les dérivées de u et (^ par leurs valeurs tirées des équations (3), et nous aurons

\du dv dv du) ^ *^ '

Mettons dans cette dernière équation, pour x^ et j^*, leurs expressions en u,^v et 2* tirées des formules (3), et il viendra

du du^ ' dv dif ^ ' \du dv dv du j

Cette équation, devant avoir lieu quels que soient a, (^ et 2', se partage en deux autres :

^d^ d^^d^ 1^=0 ilu du dv dv '

du du dv dv \du dv dv du )

On déduit de là

T. — Ree, 2 5

et par suite

1 flj' du

atf ^ 'du

Ces équations aux dérivées partielles sont linéaires. Intégrons la première; nous serons conduits à trouver l'intégrale générale de Téquation différentielle homogène

/^. du w -*- v^tt*-4- Z\^

Je pose u = i^ — — afin de séparer les variables et de

chasser le radical en une seule fois \ j'en tire

I — — ïT- 3 -f-&'

i///' -H St»' = T — r,

et Téquation (6) devient

En intégrant et désignant la constante par C, j'aurai donc

Remettant pour 0 sa valeur en u et i^, je trouve, après quelques réductions,

Q! = (y/^-h 3r»-*- 2tt)' (s/tt'-i- 3p»— tt). L'intégrale générale de la première équation (5) sera donc

P = çf (C) OU simplement (3 == C, c'est-à-dire On aurait de même

Remettons à la place de u et t^ leurs valeurs en JC^y^ z^

remplaçons (3 et y par — ^ et — 75 et, après quelques

calculs assez simples, nous aurons le système triple orthogonal demande sous la forme

ÎY = (j*-f-z> — 2x*) (2'-*- .r*— . 27') (x^H- j2 — 22*) A -h2(a:*-4-jr<-*- 2< — j2^»__ z'^x^ — x'^y'^y .

D'après le théorème de Dupîn, les lignes de courbure de la surface

a = xjrz

seront les intersections de cette surface par les surfaces (7)

Problème ii« 67.

Déterminer les fonctions X, Y, Z ne contenant, la première que x^ la deuxième (jue y^ la troisième que z, de telle façon que les surfaces représentées par les équa-

388 thoisièmr partie.

lions

^' ApL — a pi — o pt — c

oii Pî (A? V sont des paramètres variables, a, £, c <ie5 constantes données, constituent un système triple orthogonal, c est'-à'dire de façon quune quelconque des surfaces de l'une des familles coupe à angle droit une quelconque des surfaces des deux autres.

De la première des équations (i) on tire

p»— P»(X-+-Yh-Z H-a-f 6-f-c) H- p[X(6 -4- c) •4-Y(c-|- a) -f-Z(a-f- 6) -^ bc -^ ca -^ ab]

— [X ^<7 -h Y Car 4- Z aè -f- abc] = o.

Les racines de cette équation du troisième degré sont p, pi, v; on a donc

p-hpt-f-v = X-f-Y-f-Z + «-f-^4-c,

piv -j- vp 4- ppi = X ( è -f- c) -4- Y (c H- a ) ^ ^ ^ -f-Z(rt-f- è) -4-èc4-r7« + û^,

ppiv = X èc -f- Y ca -f- Z aft -h atc,

et Ton déduira de ces formules, en les difiereutiant par rapport à x,

dx (Ix dx àp du , dv ^, -

APPLICJTION nv CALCUL IHTÉGKIL. 089

En multipliant ces équations, la première par p*, la deuxième par — p, la troisième par i, et ajoutant, on irouye

et l'on trouvera de même les valeurs de -

J'écrii

ces valeurs comme il suit :

(ir dj

JJ (p p)(p-v)

Ut. dy

JJ- (p,)(^p) -

ft— c

th A

rfv

dT dy

Les conditions d'orthogonaiité, qui sont

</p (/(i rfp rfft (/p rfft

^ dx dy dy dz dt '

rffi (/ï rfp; lAi dy. dv

dx dx dy dy dz dz

dv da dy dp *''' ^

d* dx dy t/y dz dz

vont devenir, en substituant pour -^i

(P--)!!--») (P- »)(!'- »)(p-«) II»-')"

, en relranchatit deax à deux les équations (i), après la ^pression d'un facteur commun, on trouve

la comparaison des formules (4) et (5) donne inu atement

:s relations devant avoir lieu quels que soient :r,^, z, les pportï précédents doivent être constants ; on aura donc

'i^ 2/ÂX

a intégrant et désignant la constante par x<i, on t

APFLIGÀTIOK DU CALCUL INTÉGKÀL. Sqi

et par suîte

En déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, et faisant k= I , ce qui n'enlève rien à la généralité de la solution, on aura donc

et le système orthogonal cherché sera

pi — a |x — o |ji — c

C'est le système orthogonal connu des surfaces homofocalcs du second degré.

Problème n"* 68.

Déterminer la fonction U de x^ y^ z^ de façon que le système des surfaces représentées par les trois équa^ fions

OÙ p'i l^t'^ sont des paramètres variables, a^by c des constantes, soit un système orthogonal.

392 TROISIÈME PÀHTIB.

En opérant comme précédemment, on trouve

rflT dx

alJr

2Uz

rfU

dt.

2Ur

aUz

rfr

' Tz

aUz

V — c cfe

Les conditions d'orthogonalîté -r^ -!- -4- . . . = o devîennent, en tenant compte des relations

/rfU\» /^/U\' /^/U\'

dz \ù — c

Les deux autres écpiations se déduiraient de la précédente en remplaçant p el [l par jx et v, puis par v et p. Nous sap poserons écrites ces deux nouvelles équations \ en retranv

APPLICATION DU CALCUL INTÉGRAL. SgS

chant la première de réquation (4), on aura

(-1 !Ur^f-î 'A

\p — a V — a] dy \p — b v — 0)

"di

c'est-à-dire

dH ^ dH

d.r (Ir dz

-^ -, TT-f TT -\- 1 V~. î =0,

et Ton aurait deux autres relations pareilles en /ia et j9^ et en V et fx. Comparant, comme dans Texercice précédent, ces relations aux formules (3), on en déduira

'^ dy

'-dz

ou bien

dH d.x^

dV "" d.y^ '

dV " d.z'^

d'où l'on concl

*-hj'-f-2')=*

en posant

UZZ

-hz\

On tire de là

et l'équation (4) va devenir

4tt(i>'»(tt)-i-4 --^— ^ -h -^ — - -h

^■^O fi

c'est-à-dire, en tenant compte des formules (i),

4>'(tt) [«*'(«) -f- 2*(l/)]=0.

On a donc

i® *'(«) = o, 4> ( tt ) = const. ;

on peut prendre 4>(m) = i, et Ton retombe aînsî sur les surfaces homofocales du second degré.

OU bien

d'où, en intégrant, et faisant la constante égale ai,

Le système auquel nous arrivons est donc le suivant :

fx — a ^ — 6 a — c

C'est le système des surfaces homofocales du second degré dans lequel, à la, place de x, jy, zr, on met —

;•, c'est donc ce système trans-

formé par rayons vecteurs réciproques.

iPPLICATlOS DU CILCDL IHTiGBAl,. SgS

Déterminer les fonctions les plus générales 9 e( ip, i façon que les surfaces représentées par l'équation

oit a. est un paramètre variable, constituent l'une desf, milles d'un système triple orthogonal.

Nous changerons de variables et nous prendrons d coordonnées polaires dans le plan des xy i

nous tirons de là

\ d.x r dy r

L'équation (i) deviendra

et nous en tirerons

Nous chercherons d'abord l'équation générale des su faces qui coupent à angle droit toutes les surfaces (1) ; ■ lieu de faire figurer dans cette équation x, jy z, nous

896 TROISlàME PARTIE.

ferons entrer r, 6 et z. Soit

l'équation de ces surfaces où ^ est un paramètre variable; nous aurons

d^ sinô d^

j=cose-Ti- £9

ai: dr r dO

r/B . ^r/B cos9 rfS

dy dr r dB

d^d^ dz dz

La condition d'orthogonalilé

da, r/p doL r/p ûte d.T dy dy

dx d^ dz dz

va devenir, en tenant compte des relations {i) et (5),

~/W<f(3)S-+-/(0)o'(z)JÇ=O

Pour intégrer cette équation linéaire aux dérivées partielles, nous considérons le système suivant d'équations simultanées :

r'dO

qui, en appelant C|, Ct, Cs trois constantes arbitraires, nous donne

L'intégrale générale de l'équation (6) est donc Nous poserons, pour abréger,

et nous aurons

Donnant à la fonction arbitraire ;^ deux formes distinctes Zi ^^ X«î nous ferons

et nous aurons là, en considérant P et y comme des paramètres variables, lés deux autres familles du système orthogonal, pourvu que nous puissions déterminer les fonctions jji et ;(,, de façon que l'une quelconque des surfaces P coupe à angle droit l'une quelconque des surfaces y, c'est-à-dire de manière qu'on ait, quels que soient x, y, z^

<7p dy dp dy dfi dy dx dx dy dy dz dz

équation qui, en exprimant les dérivées de |3 et 7 relatives à x^y^ z au moyen de celles relatives à r et u, devient

du du \\dx)

^ \ dr dr \\dxj \"X/ J \"" «'' ^^ ^"/

(du dr du dr .

)8 TBOISlkHE FAKTIE.

r de la valeur (9) de u on tire

^ = 2rF{e) cosfl — r¥'(i] sine, ^=;2rF(r)dQÇ + /r(e]cose,

n sabstituant ces valeurs de -;-) -—, —- et celles de -z du dy dt a

-t — ( l'équation (10) deviendra

j3l!:[;rfii.i«ij.,.ci«ij.«'./.ii^3:^

ette équation, dans laquelle B doit être remplacé par sa ateur en z, r et u, tirée de l'équation (9), doit avoir lieu uels que soient k, r ei z, et en particulier z en doit disaraitre; toutes les dérivées de l'équaiion (1 ■), prises par ipport à z, devront être nulles. Remarquons que z n'entre ue par *{z) et4''(z). Pour plus de clarté, nous emploie- ^ns les notations suivantes, en remarquant que, les fonçons *(z) et F(Ô) une fois connues, on en peut déduire ''*[z) en fonction de 4" (z) et F'* (6) en fonction deF(fl):

>r la formule (9) donne

[ous aurons donc

et réquatîon (i i) deviendra

dr dr \dr du du dr ) r

Cette équation doit avoir lieu quel que soit \\ prenons-en la dérivée première et la dérivée seconde par rapport à X, et nous aurons

'^\drTu^TuTr)-?-°'

Écartant l'hypothèse

d^ dj du du

qui ne conduit à rien, comme on s'en assure aisément, il reste

('3) . 8+r,(îi±^y+r'*'.(X) = o.

et cette équation doit avoir lieu, quels que soient m, X et r, ou quels que soient — —, r* et Xj on doit donc avoir