F.[F(Ô)1 = F»(G)=-4F»(0)4-8AF(0)-|-4(C«-A
F'(G) =zb2v^— [F(0)-A]»-f-C%
En intégrant, on aura
F(9)=AdrCcos2(Ô — 0«), et la première équation (8) donnera
^==+2Csm2(9-9.).
On tiré de là, en supprimant la constante do et n'en met* tant pas d'autre dans la nouvelle intégration,
/(e) = (tango) *C; donc
On peut écrire simplement a i= 3" - • Voici donc la conclusion à laquelle nous arrivons : pour que les surfaces représentées par l'équation a = ç(z)ij^(— j constituent Pune des familles d'un système triple orthogonal, il faut que ç(z) = 2* et ^(-) =— » c'est-à-dire que l'équation pro-
posée soit a = z" - •
T. — Rée. a6
4oa TROISIEME PARTIE.
Problème n» 70.
Etant donnée l'une des familles de surfaces d'un système orthogonal, représentée par l'équation
trousser les deux autres familles du système.
Nous pourrions nous appuyer siv les formules de Texercice précédent) mais nous préférons traiter le problème directement. Soit |3 = o Tune quelconque des surfaces des deux familles cherchées ; nous devons avoir
doL dp doL û?p doL df^ ___ dx dx dy dy dz dz
Cette équation devient, quand on y remplace les dérivées de a par leurs valeurs tirées de l'équation (i),
^ ' X dx y dy z dz
Pour trouver l'intégrale générale de cette équation, nous avons à intégrer le système suivant d'équations simultanées :
zdz d^
— jr x^y y ^—^—.
Nous en tirons
C,= 2»— /ÎJ»,
et, par suite, l'intégrale générale de l'équation (a) est
APPLICATION DU CALCUL INTÉttRAL.
(f étant une fonction arbitraire. Nous poserons
tt r:r j:' -4- j-', v z=z z'^ — /?/%
et nous aurons
Il nous reste à exprimer que la condition
//|3 fiy dp dy dp dy __ dx. dx djr dy dz dz
est vérifiée, quels que soient Xy fy z. On peut écrire cette relation comme il suit :
ilu m Wdjc) "^ \dP) j'^did'v l\dx) "^ \dz) J
/dp dy dp dy\ /du dv \ ^ \du dif dv du) \dy dy.)
ou bien, en remplaçant les dérivées de u et ^' par leurs valeurs tirées des équations (3),
du dv dv du
Remplaçons, dans cette équation, x^ et z^ par leurs valeurs en Uy V et^*, tirées des équations (3), et nous trouverons
dp dy dp dy , ^
-Htt^nh-
Cette équation, qui doit avoir lieu quels que soient u, ^
4o4 TEOISliÈ;ME PÀETIE*
et y*, va se dédoubler, et il viendra
i/j3 dy
du du V
dp dy u
dtf d9
dp dy du f/u
dv dv
d'où l'on
lire
.dp
dv
dy
dy \ ^ ' u
dv
Considérons la deuxième de ces équations aux différences partielles ; nous en déduirons les équations simultanées
du — (iv dy
Pour intégrer la première de ces équations, nous poserons
( n H- 1 )* H- - = 4 ^*> et il en résultera ^ ' u
du
itdt
On ti*ouve, en intégrant,
iLPPLIGÀTlON DU CALCUL INTÉGRAL. 4^5
OU, en remplaçant t par sa valeur,
On a donc, comme mtégrale générale de Téquation (6),
y = V ( Cl ) ou simplement y = Ci , c')est-à-dîre
On trouverait de même
x[y/{« + i)*-f-^^-i-f-/iJ .
Ces équations, dans lesquelles il faut remplacer u et ^ par i/'=a7*-f-^', if = z* — ^J*9 sont celles des familles cherchées.
On aura donc le système suivant de surfaces orthogonales :
Comme vérification, faisons n = i ; nous aurons
OU
= ^/x^-h z» — v'x^+jr'
C'est bien le système trouvé par M. A. Serret pour les
surfaces qui, avec le paraboloïde a = — j forment un sys-
tème orthogonal.
Nous remarquerons, en terminant, que, d'après le théorème de Dupin, nous saurons maintenant trouver les lignes de courbure de tous les conoïdes représentés par Téquation
z'*—=a; ces lignes sont les intersections du conoïde par
les surfaces (9) ou par les surfaces (10).
Remarquons encore que chacune des surfaces (9) et { 10) peut être engendrée par l'intersection des cylindres
•^' -H j^ = const. , i' — nx^ = const. ,
se déplaçant suivant une loi déterminée.
Problème n"" 71.
Trajectoires orthogonales d'une famille de courbes planes en coordonnées curvilignes. Application à la recherche des trajectoires orthogonales d'une famille de cercles.
Soit
un système de coordonnées curvilignes dans le plan des x^y (les axes O^ et Oy étant rectangulaires). Soit, d'autre part,
APPLICATION DU CALCUL IJfTÉGRAL. 407
un faisceau de courbes dépendant de la constante C. On demande de trouver les trajectoires orthogonales de ce faisceau*
Soit Uoj (^0 ou Mo un point du plan, ç = g(u), i; = ^, (u) deux courbes passant en ce point, i^' et v\ les valeurs en ce point des dérivées de g^ et de g^^ . Le coefficient angulaire de la tangente en Mo à chacune de ces courbes est donné par les égalités
f __^ dy ^ du âv » ^ ( dy\ ^^^ dv ^
■'-(dx),
dx dx dx , V dx J \ àx dx ,
du dp du dv
Pour que ces deux courbes se coupent normalement en Mo, il faut et il suffit qu'on ait yy\ = — i, c'est-àdire
E -f- F(p'-t- P'i) -+- Gf'Vi = o,
en posant
\du/ \àu/ ' du dv du dv' \àv J \àsf /
E, F, G sont les coefficients du ds^ du plan exprimé en fonction de u, i^] ds^ = Erfa^-h 2F du dv + Gdv* (*). Ceci posé, si la courbe V = ^i (m) est une courbe du
faisceau, {^\ est égal à — ^* et pour que çz=zg(u) s^il
dv orthogonale au faisceau il faut et il suffit que la fonction i^{u) satisfasse à la condition
Supposons, en particulier, que la famille de courbes
(*) Ce résultat subsiste si le ds* est le ds* d'une surface quelconque, sur laquelle on cherche les trajectoires orthogonales d'une famille de courbes : /( 11, v ) =3 C.
4o8 TROISIÈME PARTIE.
considérée soit une famille de cercles; appelons u le paramètre dont dépend cette famille, ^(u), 7)(u) les coordonnées du centre d'un des cercles, r{u) son rayon; nous pouvons écrire
pour cliaque valeur de w, le point x^ y parcourt un cercle du faisceau quand v varie. Les équations (4) définisseDt un système de coordonnées curvilignes où le faisceau considéré vérifie l'égalité w = C. Appliquons la formule (3);
on dL-f- = 1, -f- =o, donc
au ' ov '
du" G'
D'autre part, on trouve
\; 1 -+-('«] (1-4- 1'»)» v^ i + p^y (i-Hp2)»
G = rî '^^' ^ 4r«(f — p«)« ^ 4r«
Ç', Vj • • • désignant les dérivées de Ç, rj, • . . par rapport
Il vient donc
dv Tj' p* -+- a ^V — ri du "" 2r
équation de Riccati. Quand on connaît une, deux ou trois trajectoires particulières, l'équation s'intègre par deux ou par une quadratures ou sans quadrature. Par exemple, quand la famille de cercles est. astreinte à avoir
APPLICATION DtJ CALCUL INTÉGRAL. 4<^9
ses centres sur une droite donnée (ou à couper normalement une courbe donnée), deux quadratures suffisent pour déterminer toutes les trajectoires orthogonales.
Quand un cercle est assujetti à couper orthogonalement deux cercles donnés, son centre décrit l'axe radical des deux cercles, on connaît trois trajectoires particulières, les autres s'obtiennent donc algébriquement; on voit aussitôt que ce sont les cercles qui passent par les deux points communs aux deux cercles donnés.
Problème n"" 72.
Trajectoires orthogonales d'une famille de droites. Application aux génératrices rectilignes du paraboloïde Gz = xy.
Nous pouvons écrire les équations d'une des droites D ainsi
a.^ ^^y et a^ b, c étant fonctions d'un paramètre u, et ç représentant la distance du point a?, y^ z au point a, i, c de la droite (comptée positivement dans le sens a, p, y)* Ceci revient à rapporter les points de la surface réglée engendrée par D aux coordonnées curvilignes m, v.
Soiup = (p(m) une ligne de la surface qui coupe orthogonalement toutes les génératrices; les cosinus directeurs de la tangente à cette courbe en un point (m, c), sont proportionnels à
dx = adv -H (a'p -+- a') du,
dy=^ ^dv-v{^'V'^V)du, dz^^dv -^ (y'p -h c')du,
et pour que cette direction soit normale à la droite D, qui passe par le point (2/, t^), il faut et il suffit qu'on ait
0 = a rfar -f- p ûTk -H Y ^^
4lO TROISIÈME PARTIE.
OU bien (en tenant compte des relation a*4- p^-|- y^ = ,^
(a) dv r= — (aa'-4- ^b''^^c')du,
\f est donné en fonction de u par une quadrature. Quand on connaît une des trajectoires, toutes les autres s^en déduisent en augmentant v d'une constante.
En particulier, si la droite enveloppe une courbe (plane ou gauche), prenons comme paramètre u Tare s de l'enveloppe compté dans un certain sens, comme point a, 6, c le point de contact; les équations (i) deviennent
et l'équation (2)
dv = — (a'*H- b'^'\-c'^)ds =— ds, ph-5 = const.,
résultat classique.
Comme exemple, cherchons les trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes du paraboloïde équilatère xy=Cz.
Les génératrices rectilignes du premier système ont pour équations
(i) a? = GX, 7 = î.
Pour la trajectoire orthogonale, onjdoit avdir
dy 'h'k dz ^ o
ou bien, en remplaçant X par sa valeur —9 tirée de la seconde équation (i),
y dy -\' z dz = o.
Intégrant et désignant par k la constante arbitraire, on a
Ainsi les trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes du premier système ont pour projections, sur le plan des^z, des circonférences dont Torigine est le centre commun.
La même chose a lieu^ sur le plan des xz^ pour les tra' jectoires orthogonales des génératrices r'ectilignes du second système.
Problème n"* 73
Trajectoires orthogonales d^ une famille de courbes planes dans Vespace et^ 1?/I particulier^ d^une famille de cercles.
Le plan P d'une des courbes C, dépendant d'un paramètre arbitraire, enveloppe une surface développable dont l'arête de rebroussement est une certaine courbe F. Rapportons la courbe plane mobile C à la tangente M ^ et à la normale principale Mtj de F, menées au point M où le plan P est osculateur à F. Soit s l'arc de l'arête de rebroussement F compté dans un certain sens à partir d'une origine fixe; pour chaque valeur de 5, le plan P et la courbe C sont déterminés, ^ et t) sont exprimables en fonction d'un paramètre p,
(l) 5 = Cp(5,p), Yj=ll(5, p).
D'autre part, soit (a, b, c) les coordonnées du point d'osculation M rapporté au trièdre fixe Oxyz] soit (a, p, y), (a^, po Yi) et (a2, ^2? Y2) les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale en M à F; soit enfin R et t les rayons de courbure et de torsion de la courbe F en M. Les coordonnées a?, y, z du point (Ç, Tj) de C sont
(2) a: = a-h aç -+-ai7)y J^= ^ 4- PÇ H- Pi*n» z = c -H Y? + Yi^Q.
D'après ces formules, Xj y^ z sont des fonctions de s et
4l2 TROISIÈME PARTIE.
de u, et les courbes données correspondent à une valeur constante et arbitraire de s. Les cosinus directeurs de la tangente en un point (5, v) (ou ^, 7|) d'une courbe C sont proportionnels à
Soit maintenant i^ = F(s) l'équation d'une trajectoire orthogonale aux courbes C. En un point (s y 1^) de cette courbe, les cosinus directeurs de la tangente sont proportionnels à s
c' + Y'T + Y'.-l'-^-T (S + S i) +ir. (S + S S)'
a', a', ... désignant les dérivées de a, a, . • • par rapport à s. Ces quantités peuvent s'écrire encore
a* /a otj \ , do d<l dv / do dà \
P R^ \R T/^ ds '^^ ds ds Y dç * dv ) Yi /y Yi\ , d'à di/ dt> / d<B M\
Pour qu'il j ait orthogonalité, il faut qu'en multipliant ces trois quantités respectivement par
et faisant la somme, on trouve un résultat nul. Il vient, en tenant compte des relations
^ dsl\dv/ ^\dvj y dvds^dv ds dçRV di> ^ dv)
APPLICATION DU GALCU]b INTÉGRAL. 4^3
Telle est l'équation difTérentielle des trajectoires orthogonales cherchées.
Celte formule met en évidence un fait remarquable : c'est que la torsion ne figure pas dans le résultat final ; la courbure subsiste seule. D'après cela, supposons qu'on déforme la courbe F sans altérer sa longueur ni sjt courbure; au point O, origine des arcs sur F, correspond sur la courbe déformée F' un point O'; au point M (tel que OM soit égal à s) correspond sur F' un point M' (tel que O'M' soit égal à 5)5 si l'on transporte les axes MÇ, Mtj sur les axes correspondants M'Ç', M'rj', la courbe G vient en G' et l'on obtient ainsi un nouveau faisceau de courbes planes. Quand on considère un point P déterminé sur chaque courbe G, ce point décrit une courbe D quand G varie; le point correspondant P' de G' décrit une certaine courbe D'. Si D est orthogonale au faisceau G, D' est orthogonale au faisceau G', autrement dit la transformation en question consente les trajectoires orthogonales du faisceau G. G 'est ce qui résulte aussitôt de ce fait que les trajectoires orthogonales des deux faisceaux G . et G^ sont définies par la même équation (3).
En particulier, quand on développe sur un plan ladéveloppable dont F est l'arête de rebroussement, F se transforme en une courbe plane F telle que, pour les mêmes valeurs de 5, les courburesde F et F' soient égales. La famille de courbes G devient une famille de courbes G' situées dans un plan. La recherche des trajectoires orthogonales d'une famille de courbes planes Cpeut donc toujours être ramenée au cas où ces courbes sont distribuées dans un plan xOy.
Si notamment les courbes G sont des cercles, la recherche des trajectoires doit dépendre, d'après l'exercice précédent, d'une équation de Riccati. Il est bien aisé de le vérifier; on peut prendre comme fonc-
lions cp, <p
TReiSIÊME PAaTIB.
îl = B(5) -+./-(#)
Nous savons déjà qu'on a on trouve aussitôt
4rp
(i-hp«)»
réquation (3) est donc ici
as
Les remarques qui terminent l'exercice [ s'appliquent donc encore au cas où les cercles sont distribués dans l'espace.
Problème n*" 74.
Etant donné, dans le plan xOy^ un faisceau de courbes C, déterminer les courbes G telles que, si Von mène une tangente commune MM' à la courbe G et à une courbe C quelconque^ V angle MOM' soit droit. Cas oii les courbes C se réduisent à des points.
Soit/(.r, y) = c {fig* 65) l'équation du faisceau donné. Représentons par x^^ y^ le point M de G et par x^ y k point M' de G'; on a, par hypothèse,
dx^ dy 'df^" di' àyo
et, en même temps, Des deux équations
on tire aussitôt
vdx — xdy ydx — xdy
xdx -\- ydy
En portant ces valeurs de a?oy^o clans l'équation
dy dx
df
dxQ
df dyo
on obtient l'équation difTérenlielle cherchée.
Dans le cas où les courbes C se réduisent à un point, le problème s'énonce ainsi : étant donnée une courbe fixe F, par chaque point C de F on mène une tangente CM' à une courbe C. Déterminer Q de façon que l'angle GO M' soit droit. Il suffit alors de porter les deux valeurs trouvées pour x^^y^ dans l'équation de F
Dans ce cas particulier, substituons aux coordonnées rectilignes les coordonnées polaires r, 0; soit r^^Fi'Oo)
TBOISIEME PABTIE.
le lieu des points C ; on a
et l'équation différentielle s'écrit
ou encore
dO
en posant p = - • ^
Les courbes C sont donc données par une quadrature.
La transformation par polaires réciproques de l'énoncé ci-dessus rend immédiat ce dernier résultat. Quand on prend comme conique directrice le cercle x^-{-y^ + i = o, on voit aussitôt que les courbes transformées C'^ des C sont les trajectoires orthogonales des transformées C4 des C. Si l'on applique^ à l'équation différentielle formée plus haut la transformation
l'équation ainsi obtenue est l'équation des trajectoires orthogonales au faisceau G|. Quand les courbes G sont des points, le faisceau C| est un faisceau de droites qui ont une enveloppe, les courbes Cj sont les développantes de cette enveloppe, et les courbes G' les polaires réciproques de ces développantes.
Problème n"" 75.
Surfaces dont les normales appartiennent à un complexe linéaire. Former l'équation aux dérivées par-
tielles à laquelle satisfont ces sur/aces et intégrer cette
équation.
Soit
X = az -¥- aj y = ^z -^ b
les équations d'une droite rapportée au Irièdre trireclangle Oxyz, Si l'on choisit comme axe des z Taxe du complexe linéaire, les droites du complexe satisfont à la condition (*)
(K étant une constante donnée).
Les normales à une surface z=:zf(^x,y) ont comme équations (X, Y, Z représentant les coordonnées courantes, et j?, yy z les coordonnées du point d'incidence)
Xz= — pZ -h X -^pz, Y= — gZ-^y -\- qz.
Pour qu'elles appartiennent au complexe, il faut et il suffit qu'on ait
ou bien
— py ~^~ ^^ — ^'
Telle est l'équation linéaire aux dérivées partielles que vérifient les surfaces en question. Pour intégrer cette équa-
(• ) On sait qu'on appelle complexe de droites tout ensemble de droites assujetti à une condition : les droites du complexe qui passent par un point P de l'espace forment un cône. Le complexe est dit linéaire si, quel que soit le point P, ce c6ne se réduit à un plan.
Soit Oxyz un trièdre trirectangle, et
les équations d'une droite. Quand on prend comme axe des z une droite convenablement choisie (dite axe du complexe)^ Téquation du complexe s'écrit (voir, par exemple, Picard, Traité d'Analyse^ p. 3 1 3-3x5)
T — Rec, 27
4l8 TROISIÈME PARTIE*
lion, on doit intégrer le système
dx
dy dz ^
— ■ r X K ^ la première équation donne
arî-f-^ï = G; d'autre part, on trouve immédiatement
dz xdy — vdx , y
ou bien
z — K arc tane - = C
Lorsqu'on définit un point M par ses coordonnées polaires r, 6 (dans le plan des x^ y^ et par son ordonnée 2, toutes les surfaces cherchées ont comme équation
^Ke=:(p(r),
çp désignant une fonction arbitraire. Si l'on veut, par exemple, que la surface passe par l'axe O^r, on doit avoir
n étant un entier positif, négatif ou nuL L'équation de la surface est donc
Zr= K(0-h/l7û),
équation qu'on peut réduire à ^ = K8, car la surface géométrique est la même, quel que soit l'entier n\ c'est un hélicoïde gauche à plan directeur.
Problème n"" 76.
Étant donné un faisceau de surf aces S : i^ former Inéquation aux dérivées partielles qui définit les surfaces S| orthogonales au faisceau S \ 2^ former Véqua-
tion aux dérivées partielles qui définit les surfaces S', telles que les points de contact M, d'un plan tangent commun à S' et à une sur/ace S quelconque, soient vus de l'origine sous un angle droit, Application au faisceau de surfaces xyz = a.
Soit
l'équation du faisceau des surfaces donné. En un point ("^?JKî '^) d'une de ces surfaces, les cosinus directeurs sont
proportionnels à -j- * j-> Y' Si zz=::f(^x^y) est l'équation d'une surface orthogonale au faisceau, en tout point [x^ y^ z) de cette surface, on a
aF
ÔF
dF
dy ^ dz
Telle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface z:=:f{x^y) soit orthogonale au faisceau. L'équation (2) est linéaire.
Pour intégrer cette équation, il faut intégrer le système
dx dy
ÔF^ dx
dF
dy
dz
dz
ce système définit précisément les trajectoires orthogonales r des surfaces S. Soit a = cp(^,j^, ^), p = ifix^y^ z) l'intégrale de (3); les surfaces S| ont pour équation p = ^(a), ^ désignant une fonction arbitraire. Autrement dit, toutes les surfaces S| s'obtiennent en prenant une famille quelconque à un paramètre de trajectoires orthogonales r du faisceau S.
Ce résultat est évident géométriquement : en tout point M d'une surface S' engendrée par une trajectoire F dépendant d^un paramètre, le plan tangent à S' contient la tan-
génie à F, c*est-à-dire la normale à la surface S qui passe par M. Inversement, si S4 est une surface orthogonale au faisceau S, les trajectoires orthogonales des intersections C de S| et du faisceau S sont orthogonales aux surfaces S.
Quand les surfaces S sont des plans, soit Fi et F2 deux trajectoires orthogonales des surfaces S, et soitMf, M2 deux points d'intersection des courbes F|, F2 par un plan S; la distance M4M2 reste constante quand S varie, puisque la droite MiMj reste normale à Fi et Fq. D'après cela, considérons une famille à un paramètre de trajectoires F, et soit G la courbe de section de cette famille par un des plans S ; quand S varie, la courbe C reste invariable; car soit C la section par un second plan S; si Ton fait correspondre les points de C et de C situés sur la même trajectoire F, la distance de deux points quelconques de C et la distance des deux points correspondants de C sont égales ; C et C peuvent être amenées en coïncidence. Il suit de là que toute surface orthogonale à un faisceau de plans S est coupée par ces plans suivant une courbe invariable.
Passons aux surfaces S', telles que M et M' étant les points de contact de S et S' avec un plan tangent commun, l'angle MOJVF soit droit. Appelons x^^ yo^ ^0 les coordonnées du point M, et x^y^ z celles de M'. On aies conditions
dza ) \ dzn )
\âxo/
(x — xo) p-^{y—yQ)q = z — Zq', xxo -^yyo H- zz^ = o.
Pour former l'équation aux dérivées partielles des surfaces S', il suffît d'éliminer x^^ y^, Zo entre les quatre
équations précédentes. Dans le cas particulier où les surfaces S se réduisent à des points, la condition imposée aux surfaces S' est la suivante : si de chaque point M d'une courbe fixe F on mène un plan tangent à S', Tangle MO]\r doit être droit (M' désignant le point de contact de S' et du plan). Soient alors
les équations de F ; il suffit d'éliminer Zq entre les équations
a^f^izo) -hyii(zo) -^- zzq = o,
pour avoir l'équation cherchée.
L'équation aux dérivées partielles des surfaces S' n'est plus linéaire, mais on la ramène à la forme linéaire par l'emploi de la transformation
ia:= -=i^ y = :Zll ,
) Pï^i-^qiyi — zi -" ^j.ri-+-^i7i — ^1 (4) ',
\ Pi^i-^Çiyi — Zi ^ zx ^ zi
La chose est évidente géométriquement; si l'on transforme par polaires réciproques la condition imposée aux surfaces S', en prenant comme quadrique directrice la sphère
on voit que les surfaces S' sont les transformées des surfaces S| orthogonales au faisceau S, 2 désignant le transformé du faisceau S. Comme Téquation des surfaces S| est linéaire, la proposition est démontrée. Dans le cas où ces surfaces S se réduisent à des points, le faisceau S est formé de plans.
Exemple. — Supposons que le faisceau S soit représenté par l'équation
xyz = G.
L'équation des surfaces Sf orthogonales au faisceau est
(5) yzp'\'Zxq = xy\
le système différentiel attaché à Téquation, à savoir
dx __ dy __ dz yz zx ~~ xy ou
xdx = ydy = zdz
S intègre aussitôt et donne
les surfaces Sf ont donc comme équation
(p désignant une fonction arbitraire.
Quant aux surfaces S', leur équation s'obtient en éliminant iCo, jKo) ^0 entre les quatre équations
— Zo =/?a"o = qyoy xXo-^yyo-{-zzo= o,
(x^xo)p -+-{y—yo)q = z^zq.
Les trois premières entraînent la conséquence
Zo ( ~~ Z -H^) — o.
L'équation cherchée est donc
Cette équation est bien de la classe de celles que la transformation de Legendre ramène à la forme linéaire. Si on lui applique les formules (4), elle devient
q\Xi-\'Pxyx xiyi
ZiipiXi-^qiyi^Zi) «f (/^lO^iH-^ijKi— -î) ou bien
On retombe donc sur l'équation (5). Ce résultat s'aper* cevrait encore en remarquant que le faisceau xyz = C se transforme en lui-même dans la transformation par polaires réciproques (4). En effet, les formules (4) donnent
aussitôt
et, par suite,
Les surfaces S^ sont donc (dans l'exemple actuel) les polaires réciproques des surfaces Sf .
Problème n^ 77.
Rappel des propriétés des lignes de courbure et des lignes asymptotiques»
On sait que les lignes de courbure jouissent de ces deux propriétés dont chacune suffit à les définir :
i^ Elles sont tangentes en chaque point à une section, principale ;
2° Le^ normales à la surface, le long d'une ligne de courbure, engendrent une développable.
Quand une courbe C, commune à deux surfaces S et S| , est ligne de courbure pour S et Si, les deux surfaces se coupent le long de G sous un angle constant. Inversement, quand S et S{ se coupent sou& un angle constant le long d'une courbe qui est ligne de courbure de S, C est aussi ligne de courbure de Si {théorème de Joachimsthal), Quand une sphère ou un plan coupe une surface S sous un angle constant, Tinterseclion est ligne de'courbure de S.
Lorsqu'une surface, soit /(^,J^, ^) = o, fait partie d'une famille de surfaces triplement orthogonales
elle est coupée par les autres surfaces de la famille [cp = ^3, i = y1) suivant ses lignes de courbure (théorème de Du pin).
D'après ce théorème, si l'on transforme par rayons vecteurs réciproques une surface S, les transformées des lignes de courbure de S sont lignes de courbure de la surface transformée.
Considérons toutes les transformations obtenues en combinant un d«!'placement dans l'espace avec une transformation homothétique ou une inversion. Si une telle transformation (dépendant au moins d*une constante arbitraire) change en elle-même une surface S, les transformées d'une ligne de courbure sont encore lignes de courbure. On connaît donc une transformation continue de l'équation différentielle des lignes de courbure : cette équation s'intègre par quadratures (*).
Les lignes asympto tiques peuvent être définies par une des deux propriétés suivantes:
1° Elles sont tangentes en chaque point à une asymptote de rindicàtrice;
(*) Voici comment on établit simplement ce dernier point. Rapportons la surface à des coordonnées curvilignes a, p, et soit
(i) Ac/a + Bû?p-=o
l'équation des lignes de courbures. La transformation continue en question substituée un pointa, p deS le point a, = <ï>(a, p, c), p, = V(a, p,c). On peut toujours supposer, comme on le montre aisément, que pour une valeur de c (c = o par exemple), <t» et W se réduisent identiquement à a et p, et l'on a, dans ces conditions,
(2) a,= a + C'f(x,?)-h..., p.= p + c^Ka,p)-i-....
Soit maintenant F(a, p)-^ G l'intégrale de (i); la transformation (2) conservant Icquation (i), si l'on remplace dans F(a„p^) les variables a,, p, par leurs valeurs (2), la fonction F, (a, p, c) ainsi obtenue doit, être (quel que soitc) une simple fonction de F, soit G(F, c), et Ton peut écrire
F.(a,p,c)^F(a,p)-hc(^«p-f- j^ ^H-...^G(F,o) + c G:,(F,o)-1....,
a** Leur plan osculateur en chaque point est tangent en ce point à la surface.
Cette dernière propriété étant projective, il est clair que, si l'on transforme homographiquement une surface S, les transformées des asymptotiques de S sont les asymptotiques de la surface transformée S{.
Quand une transformation homographique, dépendant d'un paramètre arbitraire, change en elle-même une surface S, les transformées d'une asymptotique sont encore des asymptotiques de S. L'équation des asymptotiques s'intègre par quadrature.
Considérons toutes les transformations obtenues en combinant un déplacement dans l'espace avec une transformation homothétique : quand une telle transformation (dépendant d'une constante arbitraire) change en ellemême une surface S, les lignes de courbure et les lignes asymptotiques de S s'obtiennent par quadratures.
Quand on rapporte une surface S à des coordonnées curvilignes quelconques a, p, l'équation des lignes de courbure s'écrit en appelant u, s^^ w les cosinus directeurs de la normale (ou des quantités proportionnelles).
dx u du dy V dv dz w dw
d'où régalité
ou encore
g\^g4,^G;(F,o)^II(lO,
X[A?-hB^]=H(F),
X désignant un multiplicateur de (x): mais 77-rrT- est aussi un multipli-
cateur. L'expression — ^ est donc un multiplicateur do l'équation (i) qui s'intègre, par suite, à Taide d'une quadrature de difléreatielle totale.
4a6 TROISIEME PARTIE.
Par exemple, on peut prendre
dy dz dy dz
doL d^ d^ doL
L'équalion des asjmptotiques est
/àx , dx ,o\ dx dx
(dz
\dOL
dy dy
da d?
OÙ Ton a fait, pour abréger,
dx
dp
'^'I^«^?^-Sf^^
Appliquons cette équation aux surfaces réglées
(^ désignant la distance du point x, y, z au point oti , j^i ^ >Zi); on trouve aussitôt
da = o
et
^^ = PP«H-QP + R,
P, Q, R étant des fonctions de a. Les lignes a = const. sont les génératrices rectilignes de la surface; la seconde famille d'as^^mptoliques dépend d'une équation de Riccati; elle s*oblienl par quadratures si Ton connaît une ligne particulière de cette famille.
» Problème n*" 78.
Lignes de courbure et lignes asymptotiques de la surface
a? = rcosO, j^ = rsinO, z=a6-i-F(r}
et de la surface
(2) ar=rcosO, ^=rsinO, ^ = a6 -h F(re-*ô).
Cas particulier où z est égal à a^ (hélicoïde gauche à plan directeur).
Définissons un point de l'espace par son ordonnée z et par les coordonnées polaires r, 8 de sa projection sur le plan xOy. La transformation
est la combinaison d'une transformation homothétique r = Xri , et d'un déplacement dans l'espace 6 = ô| + to, z = Zi-\-C, Or la surface (i), qui a pour équation
z=:a6-f-F(r) se change en elle-même dans la transformation
co désignant une constante arbitraire.
De même la surface (2), ou
se change en elle-même dans la transformation
Posons 7'e~*^=p; pour la surface (i), k est nul et p se confond avec r. Soit Q = (p(p) l'équation d'une asymptotique (ou d'une ligne de courbure) ; l'équation 8-|- w=: cp(p) définit encore une asymptotique (ou une ligne de courbure). L'équation des asymplotiques et celle des lignes de courbure doivent donc être de la forme
Pour le vérifier, formons d'abord l'équation des asym-
f/0 eAÔ
^/ee*o
ptoliques; il vient 2 dp(k cosB— sin6)
p e*^ (A- cos 6 — - sin 6) e^^ cos 6
û?8p[(A:*— OcosO — aArsine] ) i î6fp(A: sînO -h cosô) j .a . ^
